D111常数项级数40251实用教案

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1、一、常数项级数一、常数项级数(j sh)的概念的概念 引例引例(yn l)1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次(yc)作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页第一页，共24页。引例引例(yn l)2.小球从 1 米高处自由落下(lu xi), 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动(yndng)? 说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录

2、 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页第二页，共24页。定义定义(dngy)：给定一个(y )数列将各项依即称上式为无穷(wqing)级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共23页第三页，共24页。当级数(j sh)收敛时, 称差值为级数(j sh)的余项.则称无穷级数(j sh)发散 .显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页第四页，共24页。例例1. 讨论讨论(toln)等比级数等比级数 (又称几何级数(j h j sh)(

3、 q 称为(chn wi)公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页第五页，共24页。2). 若因此(ync)级数发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页第六页，共24页。例例2. 判别判别(pnbi)下列级下列级数的敛散性数的敛散性:解解: (1) 所以(suy)级数 (1) 发散 ;技巧技巧(jqio):利用 “拆项相消

4、拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页第七页，共24页。(2) 所以级数(j sh) (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页第八页，共24页。 例例3.判别(pnbi)级数的敛散性 .解解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/共23页第九页，共24页。二、无穷级数的基本二、无穷级数的基本(jbn)性性质质 性质性质(xngzh)1. 若若级数级数1nnu收敛(shulin)于 S ,则各项乘以常数 c 所得级

5、数也收敛 ,证证: 令则这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页第十页，共24页。性质性质2. 设有两个收敛设有两个收敛(shulin)级数级数则级数(j sh)也收敛(shulin), 其和为证证: 令,1nkknuS则这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页第十一页，共24页。说明说明(shumng):(2) 若两级数(j sh)中一个收敛一个发散 , 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散 ,)(

6、1nnnvu 不一定发散.例如例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页第十二页，共24页。性质性质(xngzh)3.在级数前面加上或去掉有限(yuxin)项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数将级数(j sh)的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页第十三页，共24页。性质性质(xngzh)4. 收敛级数(j sh)加括弧后所成的级数(j sh)仍收敛于原

7、级数(j sh)的和.证证: 设收敛设收敛(shulin)级数级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页第十四页，共24页。例例4.判断判断(pndun)级级数的敛散性数的敛散性:解解: 考虑加括号考虑加括号(kuho)后的后的级数级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共23页第十五页，共24页。三、级数收

8、敛三、级数收敛(shulin)的必要条件的必要条件 设收敛(shulin)级数则必有证证: 可见: 若级数的一般(ybn)项不趋于0 , 则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共23页第十六页，共24页。注意注意(zh y):并非级数(j sh)收敛的充分条件.例如例如(lr), 调和调和级数级数虽然但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共23页第十七页，共24页。例例5. 判断下列判断下列(xili)级数的敛散性级数的敛散性,

9、 若收若收敛求其和敛求其和:解解: (1) 令则故从而(cng r)这说明级数(j sh)(1) 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页第十八页，共24页。因进行进行(jnxng)拆拆项相消项相消这说明原级数(j sh)收敛 ,其和为(2) 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页第十九页，共24页。211212nn1212nn这说明原级数(j sh)收敛, 其和为 3 .(3) 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共23页第二十页，共24页。内容(nirng)(nirng)小结判别级数(j sh)敛散的方法定义(dngy)部分和数

10、列是否存在极限性质必要条件一般项不趋于一般项不趋于0 , 级数必发散级数必发散 .第21页/共23页第二十一页，共24页。作业作业(zuy) P192 2(2), (3)； 3(2)； 4(1), (3), (5)第二节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结一、常数项级数的概念。这个和逼近于圆的面积 A .。第2页/共23页。级数的前 n 项和。并称 S 为级数的和,。综合 1)、2)可知,。不存在 , 因此(ync)级数发散.。所以级数 (1) 发散。利用 “拆项相消” 求和。故原级数收敛 , 其和为。说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .。性质2. 设有两个收敛级数。的前 k 项去掉,。例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:。第22页/共23页。感谢您的欣赏第二十四页，共24页。