福建师范大学21秋《复变函数》复习考核试题库答案参考套卷97

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1、福建师范大学21秋复变函数复习考核试题库答案参考1. 过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长A过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长AB的方差设弦长AB=Y，则Y=2R|sinX|，由于，所以X的概率密度为，由函数的期望公式求得；EY2=2R2；2. 设A，B是同阶方阵，且满足， 求证：A2=A的充分必要条件是B2=E设A，B是同阶方阵，且满足，求证：A2=A的充分必要条件是B2=E由于B与E可交换，故(B+E)2=B2+2B+E，故 3. 求抛物

2、线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近正确答案：4. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n2)正确答案：因为i是A的一个特征值设为对应于的特征向量且=(12n)则A=i从而f(12n)一TA=Ti=T=i(1222n2)因为i是A的一个特征值,设为对应于的特征向量,且=(1,2n),则A=i从而f(1,2n)一TA=Ti=T=i(12,22n2)5. 什么是刚性方程组?为什

3、么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 6. 设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为( )的概率最大；其概率为( )设随机变量XB(n，p)，EX=0

4、.8，EX2=1.28则X取值为()的概率最大；其概率为()0和1$0.847. Fx中，x23x1除3x34x25x6的余式为A、31x13B、3x1C、3x13D、31x7Fx中，x2-3x+1除3x3+4x2-5x+6的余式为A、31x+13B、3x+1C、3x+13D、31x-7正确答案： D8. VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵 VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？例 设VE=R3=(a，b，c)|a，b，cR，1=(2，1，1)，2=(0，3，0)，3=(1，0，-2)；1=(1

5、，1，0)，2=(1，-1，0)，3=(0，0，1)是两组正交基，且 ， ，不为正交矩阵 9. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-sinfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 10. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关向量组1，2，k线性相关，则必然含有零

6、向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量11. 若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1( )若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1()参考答案：错误错误12. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2

7、)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。13. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+。( )A.正确B.错误参考答案：B14. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W=(x，y，z)TR3|2x-2y+z

8、=0，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为1=，e1e1+，e2e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=-1=8.15. 求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a1)，求2yx求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a1)，求2yx (4)yxlogax(a0，a1)，求2yx (5)yxsinax，求yx (6)yxx33，求3yx正确答案：16. 判断下列级数的敛散性：(1)_；(2)_； (3)_；(4)_；(5)_。判断下列级数的敛散性：(1)_；

9、(2)_；(3)_；(4)_；(5)_。收敛$发散$发散$发散$收敛17. 计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)由定义得 又由于，而 从而max(ATA)=32，所以 18. 设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0，则1，2，s线性无关B若1，2，s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0C1，2，s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD1

10、，2，s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B19. 设k（s，t)，0s1，0t1，为0，10，1上的可测函数。假设 , 对xL20，1，令 ，0s1 求证：A为L20，1上的设k（s，t)，0s1，0t1，为0，10，1上的可测函数。假设,对xL20，1，令，0s1求证：A为L20，1上的有界线性算子且A()1/2，且任取xL20，1有，0s1对于0s1，我们有 因此 我们注意到被积函数为非负的，故我们可以变换积分顺序。因此 所以有Ax()1/2。x对所有的xL20，1成立。这首先证明了任取xL20，1，有AxL20，1。然后表明A为有界的且A()1/2。又显然A为线性的

11、，故A为L20，1上的有界线性算子。这就证明了第一部分。 为证第二部分，设 ，k2(s，t)=|k(s，t)|， 对于xL20，1，设 ，0s1， i=1，2 重复上面的证明，可知B1和B2为L20，1上的有界线性算子。若x，yL20，1，则 我们希望能够变换上面的积分顺序。由于，我们有 =(B2|x|)，|y|， 上式为有限的，因为B2(|x|)及|y|都在L20，1中。因此我们可以应用Fubini定理来变换积分顺序： 这证明了B1=A* 20. 节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责

12、洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价21. 证明：当n3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系证明：当n3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系正确答案：n=3时结论显然成立因此下设n3rn 由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积从而也就是一些形如rn (ab)(cd)或(ab)(

13、ac)的项之积其中abcd是12n中互异的元素但由于rn (ab)(cd)=(abc)(bcd) (ab)(ac)=(acb)rn故An中的每个元素又都是一些3一循环之积即An由全体3一循环生成n=3时,结论显然成立因此下设n3由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积,从而也就是一些形如(ab)(cd)或(ab)(ac)的项之积其中a,b,c,d是1,2,n中互异的元素但由于(ab)(cd)=(abc)(bcd),(ab)(ac)=(acb),故An中的每个元素又都是一些3一循环之积,即An由全体3一循环生成22. 试证试证(sinh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z试证(s

14、inh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z正确答案：23. 某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于的5%，该公司要求顾客交多少保险费?24. 证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。 (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，2)，作出由Qi，V1，V2决

15、定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 25. 极限( ) A2 B-2 C0 D不存在极限()A2B-2C0D不存在D26. 设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集证明记X，Y上的拓扑分别为X，Y 充分性 设BY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集

16、于是T-1(B)=T-1(Ac)=T-1(A)cX，这表明T连续 必要性 设T连续，A是闭集，则AcY，从而T-1(A)c=T-1(Ac)X这表明T-1(A)是X的闭集 27. 设方程组 (1) 与方程组 (2) 是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值设方程组(1)与方程组(2)是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值方程组(2)的同解方程组为 (3) 令x3=0，得方程组(2)的解*=(-2，5，0，-10)T 与方程组(3)对应的齐次线性方程组为 (4) 令x3=1，则方程组(4)的基础解系为=(-3，2，1，0)T. 故方程组(2)的通解为 (R) 将其代入方程组(

17、1)中，得 即 令=1，得r=-2，p=3，q=2 28. 设f(x)C2a，b，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设f(x)C2a，b，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解设a=x0x1xn=b，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解记(x)=f(x)-s(x)，则 (x)C2a，b，(xi)=0，i=0，1，n， (4.54) (x0)=0， (xn)=0， 且s(x)在每一个小区间上是常数于是 (4.55) 如果 (4.56) 则由(4.55)式有 现证明(4.56)式利用(4.54)式可得 =0$记(x)=f(x)-s(x)，(x)=s(x)-sa(

18、x)，则 (4.57) 如果 (4.58) 则由(4.57)式得 现证明(4.58)式注意到 (x)C2a，b，(xi)=0，i=0，1，n， (x0)=(xn)=0， 以及(x)在每一个小区间上为常数，得 =0 29. 设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:， $，. 30. 设A=(aij)nn，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A设A=(aij)nn，试证下列等式成立：若|A|0，则(A*)*=|A|n-2A证明因A*=|A|A-1，故 (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|-1A)=|A|n-2A 31. 设曲

19、线y=x3ax与曲线y=bx2c在点(1，0)处相切，其中a，b，c为常数，则( ) (A) a=b=1，c=1 (B) a=1，b2，c=设曲线y=x3+ax与曲线y=bx2+c在点(-1，0)处相切，其中a，b，c为常数，则()(A)a=b=-1，c=1(B) a=-1，b-2，c=-2(C)a=1，b=-2，t=2(D)a=c=1，b=-132. 设布尔代数(0，1，)上的一个布尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)设布尔代数(0，1，)上的一个布尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)E(1，0，1)=(10

20、)(01)=11(10)=133. f在a，b上为增函数，则f的导数f&39;L1a，b。( )A.正确B.错误参考答案：A34. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( )A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数参考答案：AB35. 设随机变量X的分布律为，求证：X没有数学期望设随机变量X的分布律为，求证：X没有数学期望证 没有数学期望的随机变量 由定义，数学期望应为 由微积分，右边的级数发散因此，随机变量X没有数学期望 36. 设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则 F(xy，uv)F(x，u)+F(

21、x，v)+F(y，u)+F(y，v)设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v) 37. 一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )正确答案： 38. 证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的

22、法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：39. 试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=040. 对原始资料审核的重点是_。对原始资料审核的重点是_。资料的准确性41. 1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：y=c1+2c2x，y=2c2，代入方程后得 $y=3c1e3x+4c2e4x,y=9c1e3x+16c2x

23、4x，于是 左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x) =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2) =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求导两次，得 xy+y=c1ex-c2e-x xy+2y=c1ex+c2e-x 注意到c1ex+c2e-x=xy，上面的第二个关系式便说明 xy+2y=xy 成立，即所给函数满足微分方程. 注意，此题亦可单独计算y，y，再代入微分方程中验证，但计算量较大$，y=4c1e2x+25c2e-5x，于是 =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(2

24、5-15-10)+2x =右边$于所给函数关系两边求导二次，有 解得，代入微分方程中： 42. 拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、1.0D、2.0拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、-1.0D、-2.0正确答案： C43. 利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数 $ $两边同时求微分得 xdx+ydy=xdy-ydx 移项得 (y-x)dy=-(x+y)dx 解得 ， 44. 曲线( ) A只有水平渐近线 B只有垂直渐近线 C没有渐近线 D既有水平渐近线也有垂直渐近线曲线()

25、A只有水平渐近线B只有垂直渐近线C没有渐近线D既有水平渐近线也有垂直渐近线D45. 设1，2，n是取自总体的一个样本，B(1，p)，其中p为未知，0p1 求总体参数的矩估计与最大似然估计设1，2，n是取自总体的一个样本，B(1，p)，其中p为未知，0p1 求总体参数的矩估计与最大似然估计(1)矩估计法：因为B(1，p)，1，1，n是取自总体的样本，知 E=p，D=p(1-p) 按矩估计法，用来估计p由1=E=p解得p=1，从而p的矩估计为 (2)最大似然估计法：设的分布律为 似然函数 令y=xi，有， 解得所以p的最大似然估计量为 46. 设有方程组，问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、

26、有无穷多解?设有方程组5a+3b=r（A/B），问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?线性代数，计算呗，最后我的结果 a0,b1，有唯一解 a1/2,b=1，无解 a=1/2,b=1，无穷多解47. 对积分上限的函数求导时应注意些什么？对积分上限的函数求导时应注意些什么？(1)首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况，这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导，例如上个问题中

27、的，对它求导时，应先把它写作，然后应用乘积的求导公式求导 (2)当积分上限，甚至积分下限，都是x的函数时，就要应用复合函数的求导法则进行求导一般说来，有下述结果(证明从略)： 当函数(x)，(x)均在a，b上可导，函数f(x)在a，b上连续时，则有 =(x)f(x)-(x)f(x) 48. 设A表示“甲射击击中目标”，B表示“乙射击击中目标”，C表示“丙射击击中目标”，试用语言表述下列各事件：设A表示“甲射击击中目标”，B表示“乙射击击中目标”，C表示“丙射击击中目标”，试用语言表述下列各事件：甲、乙、丙至少有一个不命中，即甲、乙、丙不都命中：=$甲、乙都不命中：；$乙、丙同时命中：；$甲、乙

28、、丙没有一个命中，即甲、乙、丙都不命中：；$甲、乙不都命中，即甲、乙至少有一个不命中：49. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：甲：88，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高50. 设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差的值最大，其最大值max=( )设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=()时，成功次数的标准差的值最大，其最大值max=()