32908函数模型的应用举例教案12第2课时人教A版必修1

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1、函数与方程-3.2.2函数模型的应用举例第2课时函数模型的应用举例导入新课思路1.（事例导入）一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为Vo,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写岀它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？1 2v=v o+at,s=v ot+ at ,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型2不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.思路2.（直接导入）前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.推进新课新知探究提出问题 我市某企业常年

2、生产一种岀口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下,该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，头 4年年产量f（x）（万件）如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44仁画岀20002003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1 ）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之2006年（即x = 7）因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定 2006年的年产量应该约为多少？ 什么是函数拟合？ 总结建立函数模型解决实际问题的基本过程讨论结果：1如图3-2-2-5，设 f（x） = ax+

3、b,代入（1，4）、（ 3，7） ,得 产 b 4,解得 a=，b=.Qa + b = 7,2235二 f（x）= x+ .2 2检验：f（2） = 5.5，|5.58-5.5|=0.080.1 ;f（4） = 8.5，|8.44-8.5|=0.0670% = 9.1，2006年年产量应约为9.1万件.图 3-2-2-5 函数拟合：根据搜集的数据或给岀的数据画岀散点图，然后选择函数模型并求岀函数解析式， 再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程 建立函数模型解决实际问题的基本过程为：图 3-2-2-6应用示例思路1例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元.

4、销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作岀分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少 40桶.设在进价基础上增加 x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480 40(x 1)=520 40x(桶).由于 x 0,且 520 40x 0,即 0v x V 13,于是可得2y=(520 40x)x 200= 40x +520x 200,0 V x V 13.易知,当x=6.5时,y有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可

5、获得最大的利润.变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1 )如果增加x台机器，每天的生产总量为 y件，请你写岀y与x之间的关系式；(2 )增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：(1)设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384-4X件，机器台数为 80+x，由题意有 y=(80+x)(384-4x).(2)整理得 y=-4x 2+64x+30720，由 y=-4x2+64x+30720,得 y=-4(x-8)

6、 2+30976，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为 30976件.点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/ cm60708090100110120130140150160170体重/ kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年 男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写岀这个函数模型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于 0.8倍为偏瘦

7、，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：根据表的数据画岀散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用 y=abx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系.解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画岀散点图(图3-2-2-7 ).根据点的分布特征，可以考虑用y=abx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70, 7.90) ,(160,47.25),代入y=a -bx得= 3 *b

8、,j47.25=abl00.用计算器算得a-2,b -1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2X1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作岀上述函数的图象(图3-2-2-8 )，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.将 x=175 代入 y=2 X1.02x，得 y=2X1.02175,由计算器算得y-63.98.由于 78W3.98- 1.221.2,所以这个男生偏胖.图 3-2-2-7 图 3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会(IPCC )提供的一项报告指岀：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人

9、类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的 CO2浓度分别比1989年增加了 1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一 个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=abx+c(其中a、b、c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了 16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：(1)若以f(x)=px 2+qx+r作模拟函数，p q r =1,则依题意得 4p + 2q + r = 3，解得1PW1q ,所以2r = 0,f(x)=W+1x.2

10、2若以g(x)=a bx+c作模拟函数，则ab c = 1,8a 一 323 ab +c = 3，解得 b= 9p +3q + r = 6,ab3 c = 6,83所以 g(x)=(-)x-3.3 2利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，- |f(5) 16|g(5) - 16|,1 2 1故选f(x)= X + x作为模拟函数与 1994年的实际数据较为接近.2 2思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨淇中O

11、W t 24.(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少 ？最少水量是多少吨？若蓄水池中水量少于80吨时，就会岀现供水紧张现象，请问:在一天的24小时内，有几小时岀现供水紧张现象？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题解：设供水t小时，水池中存水 y吨，则 y=400+60t-120. 6t =60(、t - . 6+40(1 W t W 24),当 t=6 时，ymin=40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为 40吨.依条件知 60( t i.：.：6 )2+4080,1 W t W

12、 24,解得 8t32,323338=8.3故一天24小时内有8小时岀现供水紧张例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，岀厂价为 60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为 x ( 0x1 )，则每个蛋糕的岀厂价相应提高的百分率为0.5X，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=(岀厂价一成本)X日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写岀y与x的关系式；为使日利润有所增加，求x的取值范围解：(1)由题意得y= : 60 X1+0.5x)-40 (Xx) X1000 X1+0

13、.8x) =2000(-4x 2+3x+10)(0x1).y (60 40)000a0,(2)要保证日利润有所增加，当且仅当丿0 ex “2阳4x +3xa0,”口3即解得0x .0 x v1.43所以为保证日利润有所增加，x应满足0x 25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2,则12300y2= (3x -3x+300)+200 X8 )0.85=+3x+303(x 25).Xx函数y2在25,+ a)上是增函数，当x=25时，y2取得最小值为 390.而3900,二次函数f(a)图象开口方向向上当a= (a1+a2+an)时，y有最小值,n 1所以a= (a1+a2+an)即为所求.

14、n点评：此题在高考中是具有导向意义的试题， 科中的统计问题为背景，给岀一个新的定义， 语言转化为符号语言，即 关键是将函数式化成以 课堂小结它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字2-+(a-an)，然后运用函数的思想方法去解决问题.解题12 2 y=(a-a 1) +(a-a2) +并会用函数拟合思想解决实际问题a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习)1. y2.2. 设第1轮病毒发作时有ai=10台被感染

15、第2轮，第3轮,依次有a2台4台，被感染，依题意有4a5=10 X20 =160.答:在第5轮病毒发作时会有 160万台被感染.(课本第101页练习)三个函数图象如下：图 3-2-2-9由图象可以看到，函数以 爆炸”式的速度增长 屈数增长缓慢，并渐渐趋于稳定 屈数以稳定 的速度增加.(课本第104页练习)1. (1)已知人口模型为 y=yoe：其中y表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口 5亿，年增长率为0.3%估计，有y=5e.003t. 当y=10时,解得t 231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2

16、倍.由此看岀，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况22. 由题意有 75t-4.9t =100,解得 t= 75-6.52沢4.9即 b1.4804 13.827.所以，子弹保持在100m以上的时间t=t2-t1 - 12.35在此过程中，子弹最大速率V1=vo-9.8t=75-9.8 1.4B0=60.498m/s.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中，子弹速率的范围是v (0,60.498).(课本第106页练习)1. (1)由题意可得 y1=150+0.25x,150y2=+0.25,Xy3=0.35x,y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1

17、x-150.画岀y4=0.1x-150的图象如下.图 3-2-2-10由图象可知，当x1500件时,公司赢利.2. (1)列表.(2)画散点图.图 3-2-2-113. 确定函数模型.甲:y1=-x2+12x+41, x乙:y2=-52.07 (X778 +92.5.(4)做岀函数图象进行比较.图 3-2-2-12图 3-2-2-13图 3-2-2-14计算 x=6 时,yi=77,y2=80.9.可见,乙选择的模型较好.(课本第107页习题3.2)A组1. (1)列表.描点.图 3-2-2-15(3)根据点的分布特征，可以考虑以d=kf+b作为刻画长度与拉力的函数模型，取两组数据(1,14.

18、2)、k +b =14.2,(4,57.5),有丿4k + b = 57.5,k 4.4,解得丿所以 d=14.4f-0.2.b 0.2.将已知数据带入上述解析式或作岀函数图象说明它能较好地反映长度与拉力的关系，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好,20 2 1 ,2.由 3 =(60) a,得 a=.由10336 5 3因为3010100,所以这辆车没有超速图 3-2-2-161 23 =x ,得 x=3010.10336 5 35060t,0 Et 乞2.5,3.(1)x= 150,2.5 ： t 乞 3.5,150 -50(t 3.5t),3.5 ：t6.5.60,0 乞 t 乞

19、 2.5,(2)v= 10_x.k = 4.805 灯0二当 x=5596m 时,y=0.772 X05(Pa)0.775 1X5(Pa).答:这位游客的决定是冒险的决定.8 t6.由 500 2500() 1500,解得 2.3t 7.2.10答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.B组1. (1)利用计算器画岀19902000年国内生产总值的图象如下.图 3-2-2-18根据以上图象的特征，可考虑用函数y=kx+b刻画国民生产总值发展变化的趋势.取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式 ，得46670 = 1994k +b, ”= 7574.275,

20、丿解得丿76967.1 =1998k + b, b =-1505643435.J这样,我们就得到了函数模型作岀上述函数图象如下.图 3-2-2-19根据上述函数图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.以x=2004代入以上模型可得y=122412.75亿元，由此可预测 2004年的国民生产总值约为122412.75 亿元.2. (1)点A,B的实际意义为当乘客量为0时，亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时，收支持平;射线AB上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损，当乘客量大于1.5时公司将赢利.(2)图2的建议是：降低成本而保持票价不变；图3的建议是：提高票价而保持成本不变.