清华大学复变函数与积分变换复习用的资料

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1、word复变函数复习重点 (一)复数的概念1.复数的概念：，是实数, .注：一般两个复数不比拟大小，但其模为实数有大小.1模：；2幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为多值函数；主值是位于中的幅角。3与之间的关系如下： 当； 当；4三角表示：，其中；注：中间一定是“+号。5指数表示：，其中。 (二) 复数的运算：1假如，如此；。2假如, 如此；1） 假如，如此。2） 假如，如此有个相异的值三复变函数1复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2复初等函数1指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。注意与实函数不同3） 对数函数： 多值函数

2、；主值：。单值函数的每一个主值分支在除去原点与负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。与实函数不同3乘幂与幂函数：；注：在除去原点与负实轴的平面内处处解析，且。4三角函数：在平面内解析，且注：有界性不再成立；与实函数不同四解析函数的概念1复变函数的导数1点可导：=；2区域可导：在区域内点点可导。2解析函数的概念1点解析：在与其的邻域内可导，称在点解析；2区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；3假如在点不解析，称为的奇点；3解析函数的运算法如此：解析函数的和、差、积、商除分母为零的点仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；五函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件：

3、在可导和在可微，且在 处满足条件： 此时，有。2函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。注意： 假如在区域具有一阶连续偏导数，如此在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1利用定义 题目要求用定义，如第二章习题12利用充要条件 函数以形式给出，如第二章习题23利用可导或解析函数的四如此运算定理。函数是以的形式给出，如第二章习题3六复变函数积分的概念与性质1 复变函数积分的概念：，是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质1） 与的方向相反；2

4、） 是常数；3 假如曲线由与连接而成，如此。3复变函数积分的一般计算法1化为线积分：；常用于理论证明2参数方法：设曲线：，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，如此 。七关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨根本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，如此2复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，如此 其中与均取正向；，其中由与所组成的复合闭路。3闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单

5、连域内解析，为在内的一个原函数，如此 说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，如此6高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于。7重要结论：。 是包含的任意正向简单闭曲线8复变函数积分的计算方法1假如在区域内处处不解析，用一般积分法2设在区域内解析，l 是内一条正向简单闭曲线，如此由柯西古萨定理，l 是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，如此有3设在区域内不解析l 曲线内仅有一个奇点：在内解

6、析l 曲线内有多于一个奇点：内只有一个奇点 或：留数根本定理l 假如被积函数不能表示成，如此须改用第五章留数定理来计算。八解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：假如二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，为内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系l 解析函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。l 两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是假如如果满足柯西黎曼方程，如此一定是解析函数。3解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。1偏微分法：假如实部，利用条件，得；对两边积分，得 *再对*式两边对求偏导，得 * 由条件，得，可求出 ；代入*式，可求得 虚部 。 2线积分法：

7、假如实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径如折线计算它，其中与 是解析区域中的两点。3不定积分法：假如实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数，故 为实常数注：假如虚部也可用类似方法求出实部九复数项级数1复数列的极限1复数列收敛于复数的充要条件为 同时成立2复数列收敛实数列同时收敛。2复数项级数1复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛；2级数收敛的必要条件是。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。十幂级数的敛散性1幂级数的概念：表达式或为幂级数。2幂级数的敛散性1幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abe

8、l)：如果幂级数在处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足的一切，级数必发散。2幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。l 比值法 如果，如此收敛半径；l 根值法 ，如此收敛半径；l 如果，如此；说明在整个复平面上处处收敛；如果，如此；说明仅在或点收敛；注：假如幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。如3幂级数的性质1代数性质：设的收敛半径分别为与，记，如此当时，有 线性运算 乘积运算2复合性质：设当时，当时，解析且，如此当时，。3） 分析运算性质：设幂级数的收

9、敛半径为，如此l 其和函数是收敛圆内的解析函数；l 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；十一幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数在圆域内解析，如此在此圆域内可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯一的。注：假如在解析，如此在的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径；其中为从到的距最近一个奇点之间的距离。2常用函数在的泰勒展开式12343解析函数展开成泰勒级数的方法1直接法：直接求出，于是。2间接法：利用函数的泰勒展开式与幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。十二幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念：，含正幂项和负幂项。 2洛朗展开定理：

10、设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，如此在此在圆环域内，有 ，且展开式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设在内解析，为内的任何一条正向简单闭曲线，如此 。其中为在内洛朗展开式中的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系数。十三孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义 ：在点不解析,但在的内解析。2。孤立奇点的类型：1可去奇点：展开式中不含的负幂项；2极点：展开式中含有限项的负幂项；其中在解析，且；3本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；十四孤立奇点的判别方法1可去奇点：常数；2极点：3本性奇点：不

11、存在且不为。4零点与极点的关系1零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成，其中在解析，为正整数，称为的级零点；2零点级数判别的充要条件是的级零点3零点与极点的关系：是的级零点是的级极点；4重要结论假如分别是与的级与级零点，如此l 是的级零点；l 当时，是的级零点；当时，是的级极点；当时，是的可去奇点；l 当时，是的级零点，当时，是的级零点，其中十五留数的概念 1留数的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，如此称积分为在的留数或残留，记作 2留数的计算方法假如是的孤立奇点，如此，其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。1可去奇点处的留数：假如是的可去奇点

12、，如此2级极点处的留数法如此I 假如是的级极点，如此 特别地，假如是的一级极点，如此注：如果极点的实际级数比低，上述规如此仍然有效。法如此II 设，在解析，如此十六留数根本定理设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，如此说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念ll二、几个常用函数的傅里叶变换llll三、傅里叶变换的性质l 位移性时域：l 位移性频域：l 位移性推论：l 位移性推论：l 微分性时域：，l 微分性频域：l 相似性：四、拉普拉斯变换的概念l五、几个常用函数的拉普拉

13、斯变换l ； l 是自然数；l ；llll 设，如此。是以为周期的周期函数六、拉普拉斯变换的性质l 微分性时域：l 微分性频域：，l 积分性时域：l 积分性频域：收敛l 位移性时域：l 位移性频域：,l 相似性：七、卷积与卷积定理llll八、几个积分公式lll 13l模拟试卷一1. .2. I=,如此I=.3. 能否在内展成Lraurent级数？4其中c为的正向：=5. ，如此=1.在何处解析(A)0 (B)1(C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分. = (A)2. (B) 0. (C). (D)以上都不对.3的收敛域为(A). (B)(C). (D)无法确定4. 设z=a是的m级极点,如此在

14、点z=a的留数是.(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对.1.为解析函数，求u2设函数与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数.在z=a处极点如何？3求如下函数在指定点z0处的Taylor级数与其收敛半径。4求拉氏变换k为实数5. 求方程满足条件的解.z的Taylor展式，证明不等式 (a为非零常数) 证明：模拟试卷一答案1. 2.0 3.否 4 5. 1. (D) 2. (A) 3(A)4.(C) 1.2函数在z=a处极点为m+n级345. .模拟试卷二正向，如此=2.为解析函数，如此l, m, n分别为 .3.4. 级数.收敛半径为5. -函数的筛选性质是1，如

15、此(A).(B)(C)2(D) 以上都不对2，如此(A).(B).(C).(D) 以上都不对3C为的正向，(A).1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分 =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.1. 求sin(3+4i). 2计算其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，ab.3求函数在指定点z0处的Taylor级数与其收敛半径。4求拉氏变换k为实数1.收敛，而发散，证明收敛半径为1，(a为正常数)证明：模拟试卷二答案1. 2.3.1 4. 1 5. -1 (B) 2(C)3 (C)4.(A)1. 2当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时 当a

16、在c之内, b在c之外时 当b在c之内, a在c之外时 3.4模拟试卷三1 z=0为的级零点,2. .3. a,b,c均为复数，问一定相等吗？.4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？5. =.1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数为.(A)u. (B)-u.(C)2u(D)以上都不对。2级数.(A). 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定3C为的正向, 如此.(A).1 (B)2 (C)(D) 以上都不对4，如此.(A) (B) (C) (D) 以上都不对2求在指定圆环域内的Laurent级数. 3利用留数计算定积分: 4求拉氏变

17、换k为实数.是否正确，为什么？模拟试卷三答案14 2.1 3. 不一定 4. 否 5. 01. (B) 2 (A) 3 (C) 4 (D) 1.2. 34模拟试卷四1. 复数 三角表示形式.2. 设为调和函数，其共轭调和函数为3. 能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.4. 为 的级极点5. 卷积定理为 1如此=(A).7 (B)1(C)2(D) 以上都不对2. 假如，n为整数.n=(A)6k(B)3(C)3k(D)63. C是直线OA，O为原点，A为2+i, 如此=(A).0. (B)1+i/2. (C).2+i. (D). 以上都不对.4设，如此(A).(B)(C)(D) 以上都不对1

18、求在指定圆环域内的Laurent级数与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数.在z=a极点如何？3求傅氏变换。4求拉氏变换.求证,证明：.模拟试卷四答案1. 2. 3. 否4. 155. 略1(B) 2. (C)3. (C) 4(C)12.当mn时， z=a为的m-n级极点当mn时， z=a为的可去奇点34.模拟试卷五1.根为,2. 和是否相等3. 表示傅氏积分定理4. 拉氏变换的主要性质1如此的收敛圆环为(A). (B)(C). (D)无法确定2. 将z平面上映射成w平面上的 (A).直线 (B)u+v=1(C) (D)以上都不对3z=0是什么奇点 (A).可去(B)本性奇点 (C)2 级极

19、点 (D) 以上都不对4.的傅氏变换为(A) 1 (B) (C) (D) 以上都不对1. 解方程.2.利用留数计算定积分: 3利用能量积分求dx的拉氏逆变换.1. 试证argz在原点与负实轴上不连续.2. 如下推导是否正确？假如不正确，把它改正：模拟试卷五答案1.2. 相等3. 略4. 略1 (B) 2. (C) 3 (B)4. (B) 1. .2.34. 复变函数与积分变换试题本科一、填空题每一小题2分，共12分1、设，如此其三角表示式为_；2、满足|z+3|-|z-1|=0的z的轨迹是_；3、_;4、的傅氏变换为_；5、的拉氏逆变换为_.6、在处展开成幂级数为_。二、选择题每一小题2分，共

20、10分1、设，如此如下命题正确的答案是 A、是有界的； B、以为周期；C、； D、在复平面上处处解析。2、设，如此的值等于 A、1； B、-1； C、； D、。3、设C是正向圆周如此 A、； B、； C、； D、。4、z=0是的孤立奇点的类型为 A、二阶极点； B、简单极点； C、可去奇点； D、本性奇点。5、假如幂级数在处发散，如此该级数在z=2处的敛散性为 A、绝对收敛； B、条件收敛； C、发散； D、不能确定；三、调和函数，求解析函数，并求。8分四、设，试确定在何处可导，何处解析,并求可导点处的导数。6分五、求如下函数的积分每一小题6分，共24分1、沿算出积分的值； 2、；3、；4、，其中六、将如下函数展开为级数每一小题7分，共14分1、 将函数在处展开成幂级数，并指出其收敛区间。2、 将函数以为中心的圆环域内展开为洛朗级数。七、 求微分方程的解。6分八、 求如下函数的积分变换每一小题6分，共12分1、 求的傅氏变换。 2 、 求的拉氏变换九、证明题每一小题4分，共8分1、设复数全部满足，且和都收敛，证明也收敛。2、在0|z|1内解析，且，证明z=0是的一级极点，并求其留数。 24 / 25