1997考研数二真题与解析

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1、 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 已知在处连续,则 .(2) 设,则 .(3) .(4) .(5) 已知向量组的秩为2,则 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设时,与是同阶无穷小,则为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(2) 设在区间上记,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函数对一切满足,若 则 ( )(A) 是的极大值 (B) 是的极小值(C) 是曲线的

2、拐点 (D) 不是的极值,也不是曲线的拐点(4) 则 ( )(A) 为正常数 (B) 为负常数(C) 恒为零 (D) 不为常数(5) 设为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1) 求极限.(2) 设由所确定,求.(3) 计算.(4) 求微分方程的通解.(5) 已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6) 已知,且,其中是三阶单位矩阵,求矩阵.四、(本题满分8分.)取何值时,方程组无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.五、(本题满分8分)设曲线的极坐标方程为,为上任一点,为上一定点,若极径与曲线所围成的

3、曲边扇形面积值等于上两点间弧长值的一半,求曲线的方程.六、(本题满分8分)设函数在闭区间上连续,在开区间内大于零,并满足(为常数),又曲线与所围成的图形的面积值为2,求函数,并问为何值时,图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、(本题满分8分.)已知函数连续,且,设,求,并讨论的连续性.八、(本题满分8分)就的不同取值情况,确定方程在开区间内根的个数,并证明你的结论.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】由于在处连续,故 【相关知识点】1.函数在点连续：设函数在点的某一邻域内有定义,如果

4、则称函数在点连续.2.如果函数在处连续,则有. (2)【答案】【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：,.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】或【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：方法1：原式.方法2：原式.(4)【答案】【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：原式.(5)【答案】3【解析】方法1：利用初等变换.以为行构成矩阵,对其作初等变换：因为所以.方法2：利用秩的定义.由于则矩阵中任一三阶子行列式应等于零.,应有,

5、解得.方法3：利用线性相关性.因为故线性相关,以组成的线性齐次方程组有非零解,因故有非零解.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(C)【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：与同阶,故应选(C).(2)【答案】(D)【解析】方法1：用几何意义.由可知,曲线是上半平面的一段下降的凹弧,的图形大致如右图.Ca bEDxyOAB是曲边梯形的面积；是矩形的面积；是梯形的面积.由图可见,应选(D).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的都成立的结果,故可以取满

6、足条件的特定的来观察结果是什么.例如取,则.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点,使成立,再由所以是单调递减的,故从而.为证,令则由于,所以是单调递增的,故,即在上单调递增的.由于所以,从而,即.因此,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数在积分区间上连续,则在上至少存在一个点,使下式成立：.这个公式叫做积分中值公式.2. 拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.(3)【答案】(B)【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：由知

7、为的驻点.把代入恒等式,即.由于分子、分母同号,故,因此驻点为极小值点.应选(B).(4)【答案】(A)【解析】由于函数是以为周期的函数,所以,的值与无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计的值有多种方法.方法1：划分取值正、负的区间.当时,所以.选(A).方法2：用分部积分法.故应选(A).【评注】本题的方法1十分有代表性.被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可.(5)【答案】(D)【解析】题目考察函数的复合问题,分清内

8、层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域.当时,则；当时,则.故,因此应选(D).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【分析】这是型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为的因子,从而转化为确定型的极限.于是分子、分母同除.在计算过程中应注意趋于负无穷.【解析】分子、分母同除,注意,则原式.(2)【解析】题目考察参数方程所确定的函数的微分法.,可由第二个方程两边对求导得到：,解得.由此,有.(3)【解析】题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下：原式.(4)【解析】题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计

9、算如下：方法1：所给方程是齐次方程.令,则,代入原方程得,分离变量得 ,积分得 ,即 .以代入得通解.方法2：用凑全微分的方法求解.由于,故通解为： .(5)【解析】与都是相应齐次方程的解, 也是相应齐次方程的解,与是两个线性无关的相应齐次方程的解；而是非齐次方程的解.下面求该微分方程：方法1：由,是齐次解,知是特征方程的两个根,特征方程为,即,相应的齐次微分方程为：.设所求非齐次方程为：,把非齐次解代入,便得.所求方程为：.方法2：由于通解为：,求出,并消去,便得微分方程.(6)【答案】【解析】由题设条件,把提出来得,因为,由此知道是满秩的,所以可逆,两边左乘 ,从而有,.(或,可逆,两边左

10、乘 ,得).用矩阵的初等变换求.得 ,从而得 .四、(本题满分8分.)【解析】方法1：对原方程组的增广矩阵作初等行变换：当且时,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解.当时,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解.当时,原方程组的同解方程组为,原方程组有无穷多解,其通解为(为任意常数).(或(为任意常数)方法2：原方程组系数矩阵的行列式,故知：当且时,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解.当时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解.当时,对原方程组的增

11、广矩阵作初等行变换,得,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,故原方程组有无穷多解,其通解为(为任意常数).(或(为任意常数)五、(本题满分8分)【解析】由已知条件得 .两边对求导,得 (隐式微分方程),解出,得 .分离变量,得 .由于 ,或 ,两边积分,得 .代入初始条件,得,.即的极坐标方程为 ,从而,的直角坐标方程为.六、(本题满分8分)【解析】由,有,即,从而得 ,即.又由题设知,面积,得,从而.旋转体体积 .由,解得惟一驻点；又由,是极小值点也是最小值点.(易验证,此时在恒正.)七、(本题满分8分.)【分析】通过变换将化为积分上限函数的形式,此时,但根据,知 ,从而,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续性的定义来判定在处的连续性.【解析】由题设知,且有.又 从而 .由导数定义,有.由于 ,从而知在处连续.八、(本题满分8分)【解析】设,研究在内的极值情况,从而判定它与水平线的交点个数.由解得在内的唯一驻点；由在单调减,在点由负变正,是的极小点也是最小点.最小值；由此,最大值(显然).当或时,与没有交点；当时,两者有唯一交点；当时,两者有两个交点.评注：也可以设,研究它的零点个数.