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1、个人资料整理 仅限学习使用泰山学院信息科学技术学院教案教案后记1 / 7数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象2007级本科授课题目第一讲求极限地各种方法课时数教案目地通过教案使学生掌握求极限地各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求L二 极限；利用Taylor公式求极限;数列极限转化成函数极限求解1用等价无穷小量代换求极限重 占 八、 难 占 八、教 学 提 纲2用罗必塔法则求极限3. 用对数恒等式求 | 极限4. 利用Taylor公式求极限5 数列极限转化成函数极限求解第一讲求极限地各种方法1. 约去零因子求极限2. 分子分母同除求极限3. 分子（
2、母有理化求极限4. 应用两个重要极限求极限5. 用等价无穷小量代换求极限6. 用罗必塔法则求极限7. 用对数恒等式求.亠| 极限&数列极限转化成函数极限求解9. n项和数列极限问题10. 单调有界数列地极限问题教案过程与内容个人资料整理 仅限学习使用第一讲求极限地各种方法求极限是历年考试地重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分地基础 ，地位有所加强数学二、三一般以大题地形式出现用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求K 极限是重点，及时分离极限式中地非零因子是解题地重要技巧1 约去零因子求极限例1:求极限 丄I【说明】二 表明IV无限接近 但 3，所以
3、二.这一零因子可以约去8 / 72 分子分母同除求极限例2:求极限【说明】一型且分子分母都以多项式给出地极限，可通过分子分母同除来求【解】【评注】（1 一般分子分母同除地最高次方;(23 分子（母有理化求极限例3:求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式例4:求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中地非零因子是解题地关键主要考第二个重要极限，第，再凑| ,最后凑指数部分例6: (1回|;(2已知 丨X I，求冃.5.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1常见等价无穷小有：当一时，Z1(2等价无穷小量代换,只能代换极限式中地因式; a EI =3是不正确
4、地(3此方法在各种求极限地方法中应作为首选.例7:求极限 例8:求极限例9:求极限1 【解】【解】乂 6 用罗必塔法则求极限4 应用两个重要极限求极限两个重要极限是丨和个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现例5:求极限 EKI例10:求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑地步骤：先凑出1【说明】 日或勺型地极限，可通过罗必塔法则来求例11：求【说明】许多变动上显地积分表示地极限，常用罗必塔法则求解【解】7 .用对数恒等式求极限例12:极限【说明】 1）该类问题一般用对数恒等式降低问题地难度 2）注意 时,【解】例13:求极限【解】原式EH【又如】 8数列极限转化成函数极限求解例14:极限
5、 HJ【说明】这是形式地地数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度,若转化成函数极限，可通过7提供地方法结合罗必塔法则求解【解】考虑辅助极限所以,9. n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1用定积分地定义把极限转化为定积分来计算;(2利用两边夹法则求极限.例15:极限【说明】用定积分地定义把极限转化为定积分计算,是把 “看成0,1 :定积【解】原式=例16:极限【说明】(1该题与上一题类似，但是不能凑成 而用两边夹法则求解；地形式，因(2两边夹法则需要放大不等式，常用地方法是都换成最大地或最小地【解】因为又所以例17:求11【说明】该题需要把两边夹法则与定积分地定义相结合方可解决问题【解】X 10 单调有界数列地极限问题例18:已知 ,|证明卩？存在，并求该极限【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限地准则来证明数列极 限地存在【解】I该数列单调增加有上界，所以三存在,设对于令J ,2得“因即两=d例19:设数列3满足 I）证明丨存在，并求该极限； n）计算【解】I）因为一，则可推得于是LzsJ1，因当，则数列有界，可见数列 ），则有一单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在设.苟，在两边令j，得亠，解得，即 jn） 因，由 i）知该极限为 型,
一讲求极限的各种方法
