正弦定理人教

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1、学习必备欢迎下载1.1.1.正弦定理本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、 判定三角形的全等都有 密切的联系，解三角形问题域前面所学三角函数也紧密相连， 两个定理在日常生 活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续， 又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的地位。【知识与能力目标】通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。【过程与方法目标】让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊

2、到一般归纳出正弦定理，并进行定 理基本应用的实践操作。【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推 理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等 知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点】通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题。【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。1教学过程X,一、导入部分如图（图1. 1-1），固定上ABC的边CB及 B,使边AC绕着(Si. l-i)第4页点C转动。思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数 量关系？显然，边AB的长

3、度随着其对角 C的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？、研探新知，建构概念在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a=si nA ,b=s in B，cc又 sin C = 1 二，ca _ bsin A sin B闿 1. 1-2)ABC中,= sin C =c从而在直角三角形a b csin A sin B sin C思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情

4、况：如图1. 1-3，当厶ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=asin B二bsin A,则a bsin A sin B ，(El. 1-3)同理可得c b sin C sin B，csin C思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题（证法二）：过点A作 j _AC，-由向量的加法可得AB=AC Cb则a E斗T j AB=j (AC+CB_J:.csin A 二asinC，即二si nA sinC同理，过点C作_BC，可得b c sin B _sinC从而a b csin A sin B sin C类

5、似可推出，当厶ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课 后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a=ksi nA， b=ksi nB， c=ksi nC;(2)a _ bsin A sin Bbsin B，c _ bsin Csin B，asin Acsin C从而正弦定理可解决两类有关解三角形的问题:已知两边与任一边，求其他两边和一角;已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边 和角。解三角形：一般地，

6、把三角形的三个角和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元 素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。、质疑答辩，发展思维学习必备欢迎下载例 1 在 ABC 中，已知 A=32.0 , B=81.8 , a=42.9cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理，根据正弦定理，b -aS ?2.9sin81J8 ：.80.1(cm)； Si nA sin32.根据正弦疋理，c74.1(cm).si nAsi n32.O0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在 ABC中，已知a=20cm, b=28cm, A = 4O0，解三角形(角度精确到 10，边长精确到1cm)。解：根据正弦定

7、理，sin B丄泌二逻弊 98999.a20因为 0 V B V 1800，所以 B ： 64。，或 B 1160.当B 64时，当B 116时，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。探究：利用正弦定理解三角形时，解的个数问题已知a, b和A,用正弦定理求B时的各种情况：若A为锐角时：3兰b无解若A为直角或钝角时：b 一解(锐角)变式训练：1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：(1) a =5，b =4，A = 120 :求 B(2) a=5，b = 4， A = 90，求 Bu 1 3,10、3b -b -(3) a =5，3， A = 60，求 B(4) a = 4，3， A = 60，求 B第4页学习必备欢迎下载解：(1) A 20 , B只能为锐角,因此仅有一解(2) A =90 , B只能为锐角,因此仅有一解。(3)v sin B 刊，即 B =90 , 仅有一解。(4)由(3)改编a =4 ：bsin60 ，由图知，本题无解) 四、课堂小结:(1)正弦定理:a _ b _ csin A sin B sin C(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边，求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角，求另一边的对角五、作业布置：第10页习题1.1A组第1 (1)、2 (2)题教学反思 略。第6页