HMM学习最佳范例

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1、HMM学习最佳范例转自：我爱自然语言处理（http:/www.52 nlp.c n/hmm-learn-best-practices-on e-i ntroductio n ）一、介绍（Introduction ）我们通常都习惯寻找一个事物在一段时间里的变化模式（规律）。这些模式 发生在很多领域，比如计算机中的指令序列，句子中的词语顺序和口语单词中的 音素序列等等，事实上任何领域中的一系列事件都有可能产生有用的模式。考虑一个简单的例子，有人试图通过一片海藻推断天气一一民间传说告诉我 们 湿透的海藻意味着潮湿阴雨，而 千燥的海藻则意味着阳光灿烂。如果它处 于一个中间状态（有湿气，我们就无法确定天

2、气如何。然而，天气的状态并 没有受限于海藻的状态，所以我们可以在观察的基础上预测天气是雨天或晴天的 可 能性。另一个有用的线索是前一天的天气状态 （或者，至少是它的可能状态） 通过综合昨天的天气及相应观察到的海藻状态，我们有可能更好的预测今天的天气。这是本教程中我们将考虑的一个典型的系统类型。首先，我们将介绍产生概率模式的系统，如晴天及雨天间的天气波动。然后，我们将会看到这样一个系统，我们希望预测的状态并不是观察到的 其底层系统是隐藏的。在上面的例子中，观察到的序列将是海藻而隐藏的系 统将是实际的天气。最后，我们会利用已经建立的模型解决一些实际的问题。对于上述例子，我们想知道：1. 给出一个星

3、期每天的海藻观察状态，之后的天气将会是什么？2. 给定一个海藻的观察状态序列，预测一下此时是冬季还是夏季？直观地， 如果一段时间内海藻都是干燥的，那么这段时间很可能是夏季，反之，如果一段 时间内海藻都是潮湿的，那么这段时间可能是冬季。1、生成模式(Gen erati ng Patter ns )1、确定性模式(Deterministic Patterns考虑一套交通信号灯，灯的颜色变化序列依次是红色 -红色/黄色-绿色-黄色- 红色。这个序列可以作为一个状态机器，交通信号灯的不同状态都紧跟着上一个 状态。注意每一个状态都是唯一的依赖于前一个状态，所以，如果交通灯为绿色， 那么下一个颜色状态将始

4、终是黄色 一一也就是说，该系统是确定性的。确定性系 统相对比较容易理解和分析，因为状态间的转移是完全已知的。2、非确定性模式（Non-deterministic patterns为了使天气那个例子更符合实际，加入第三个状态一一多云。与交通信号灯 例子不同，我们并不期望这三个天气状态之间的变化是确定性的， 但是我们依然 希望对这个系统建模以便生成一个天气变化模式（规律）。一种做法是假设模型的当前状态仅仅依赖于前面的几个状态，这被称为马尔 科夫假设，它极大地简化了问题。显然，这可能是一种粗糙的假设，并且因此可 能将一些非常重要的信息丢失。当考虑天气问题时，马尔科夫假设假定今天的天气只能通过过去几天

5、已知的 天气情况进行预测一一而对于其他因素，譬如风力、气压等则没有考虑。在这个 例子以及其他相似的例子中，这样的假设显然是不现实的。 然而，由于这样经过 简化的系统可以用来分析，我们常常接受这样的知识假设，虽然它产生的某些信 息不完全准确。一个马尔科夫过程是状态间的转移仅依赖于前 n个状态的过程。这个过程被 称之为n阶马尔科夫模型，其中n是影响下一个状态选择的（前）n个状态。最 简单的马尔科夫过程是一阶模型，它的状态选择仅与前一个状态有关。这里要 注意它与确定性系统并不相同，因为下一个状态的选择由相应的概率决定，并不 是确定性的。下图是天气例子中状态间所有可能的一阶状态转移情况：对于有M个状态

6、的一阶马尔科夫模型，共有个状态转移，因为任何一个状 态都有可能是所有状态的下一个转移状态。 每一个状态转移都有一个概率值，称 为状态转移概率 这是从一个状态转移到另一个状态的概率。所有的 个概率 可以用一个状态转移矩阵表示。注意这些概率并不随时间变化而不同一一这是一 个非常重要（但常常不符合实际）的假设。F面的状态转移矩阵显示的是天气例子中可能的状态转移概率:也就是说，如果昨天是晴天，那么今天是晴天的概率为0.5，是多云的概率sunToday cloudrain弋尸”,sun0.500.3750.125Y ester day.歹 cloud0.2501250.625rain0.250.3750

7、.375为0.375。注意，每一行的概率之和为1要初始化这样一个系统，我们需要确定起始日天气的（或可能的）情况，定 义其为一个初始概率向量，称为 向量。SwiOwd(1D.DRato0.D )丁向量：定义系统初始化时每一个状态的概率。状态转移矩阵：给定前一天天气情况下的当前天气概率。任何一个可以用这种方式描述的系统都是一个马尔科夫过程。3、总结我们尝试识别时间变化中的模式，并且为了达到这个目我们试图对这个过程 建模以便产生这样的模式。我们使用了离散时间点、离散状态以及做了马尔科夫 假设。在采用了这些假设之后，系统产生了这个被描述为马尔科夫过程的模式， 它包含了一个 向量（初始概率）和一个状态转

8、移矩阵。关于假设，重要的一点 是状态转移矩阵并不随时间的改变而改变 一一这个矩阵在整个系统的生命周期 中是固定不变的。三、隐藏模式（Hidden Patterns）1、马尔科夫过程的局限性在某些情况下，我们希望找到的模式用马尔科夫过程描述还显得不充分。回顾一下天气那个例子，一个隐士也许不能够直接获取到天气的观察情况，但是他有一些水藻。民间传说告诉我们水藻的状态与天气状态有一定的概率关系一一天 气和水藻的状态是紧密相关的。在这个例子中我们有两组状态，观察的状态（水 藻的状态）和隐藏的状态（天气的状态）。我们希望为隐士设计一种算法，在不 能够直接观察天气的情况下，通过水藻和马尔科夫假设来预测天气。

9、一个更实际的问题是语音识别，我们听到的声音是来自于声带、喉咙大小、 舌头位置以及其他一些东西的组合结果。所有这些因素相互作用产生一个单词的 声音，一套语音识别系统检测的声音就是来自于个人发音时身体内部物理变化所 引起的不断改变的声音。一些语音识别装置工作的原理是将内部的语音产出看作是隐藏的状态，而将声音结果作为一系列观察的状态，这些由语音过程生成并且最好的近似了实际（隐 藏）的状态。在这两个例子中，需要着重指出的是，隐藏状态的数目与观 察状态的数目可以是不同的。一个包含三个状态的天气系统（晴天、多云、雨天） 中，可以观察到4个等级的海藻湿润情况（干、稍干、潮湿、湿润）；纯粹的语 音可以由80个

10、音素描述，而身体的发音系统会产生出不同数目的声音，或者比 80多，或者比80少。在这种情况下，观察到的状态序列与隐藏过程有一定的概率关系。我们使用隐马尔科夫模型对这样的过程建模，这个模型包含了一个底层隐藏的随时间改变 的马尔科夫过程，以及一个与隐藏状态某种程度相关的可观察到的状态集合。2、隐马尔科夫模型（Hidden Markov Models）下图显示的是天气例子中的隐藏状态和观察状态。假设隐藏状态（实际的天气）由一个简单的一阶马尔科夫过程描述，那么它们之间都相互连接。隐藏状态和观察状态之间的连接表示：在给定的马尔科夫过程中，一个特定的隐藏状态生成特定的观察状态的概率。这很清晰的表示了进入一

11、个观察状态的 所有概率之和为1,在上面这个例子中就是 Pr（Obs|Sun）, Pr（Obs|Cloud）及 Pr（Obs|Rai n）之和。（对这句话我有点疑惑？）除了定义了马尔科夫过程的概率关系，我们还有另一个矩阵，定义为混淆矩阵（confusion matrix），它包含了给定一个隐藏状态后得到的观察状态的概率。 对于天气例子，混淆矩阵是：602505 o o owfl.I.I.n砂盅(coSSSD- fto Q Q注意矩阵的每一行之和是1。3、总结（Summary）我们已经看到在一些过程中一个观察序列与一个底层马尔科夫过程是概率 相关的。在这些例子中，观察状态的数目可以和隐藏状态的数码

12、不同。我们使用一个隐马尔科夫模型（HMM ）对这些例子建模。这个模型包含 两 组状态集合和三组概率集合：*隐藏状态：一个系统的（真实）状态，可以由一个马尔科夫过程进行描述 （例如，天气）。*观察状态：在这个过程中 可视的状态（例如，海藻的湿度）。* 丁向量：包含了（隐）模型在时间t=1时一个特殊的隐藏状态的概率（初 始概率）。*状态转移矩阵：包含了一个隐藏状态到另一个隐藏状态的概率*混淆矩阵：包含了给定隐马尔科夫模型的某一个特殊的隐藏状态，观察到的某个观察状态的概率。因此一个隐马尔科夫模型是在一个标准的马尔科夫过程中引入一组观察状 态，以及其与隐藏状态间的一些概率关系四、隐马尔科夫模型（Hid

13、den Markov Models ）1、定义（Definition of a hidden Markov model）一个隐马尔科夫模型是一个三元组（ A, B）口 =（眄）：初二（久）：混淆矩阵；在状态转移矩阵及混淆矩阵中的每一个概率都是时间无关的 一一也就是说, 当系统演化时这些矩阵并不随时间改变。实际上，这是马尔科夫模型关于真实世 界最不现实的一个假设。2、应用（Uses associated with HMMS一旦一个系统可以作为HMM被描述，就可以用来解决三个基本问题。其中 前两个是模式识别问题：给定HMM求一个观察序列的概率（评估）；搜索最有 可能生成一个观察序列的隐藏状态训练

14、（解码）。第三个问题是给定观察序列生 成一个HMM （学习）。a）评估（Evaluation ）考虑这样的问题，我们有一些描述不同系统的隐马尔科夫模型 （也就是一些 （,A,B）三元组的集合）及一个观察序列。我们想知道哪一个 HMM最有可能产生 了这个给定的观察序列。例如，对于海藻来说，我们也许会有一个 夏季”模型和 一个 冬季”模型，因为不同季节之间的情况是不同的 一一我们也许想根据海藻湿 度的观察序列来确定当前的季节。我们使用前向算法（forward algorithm ）来计算给定隐马尔科夫模型（HMM ）后的一个观察序列的概率，并因此选择最合适的隐马尔科夫模型（HMM）。在语音识别中这

15、种类型的问题发生在当一大堆数目的马尔科夫模型被使用， 并且每一个模型都对一个特殊的单词进行建模时。一个观察序列从一个发音单词 中形成，并且通过寻找对于此观察序列最有可能的隐马尔科夫模型（ HMM ）识 别这个单词。b）解码（Decoding）给定观察序列搜索最可能的隐藏状态序列。另一个相关问题，也是最感兴趣的一个，就是搜索生成输出序列的隐藏状态 序列。在许多情况下我们对于模型中的隐藏状态更感兴趣， 因为它们代表了一些 更有价值的东西，而这些东西通常不能直接观察到。考虑海藻和天气这个例子，一个盲人隐士只能感觉到海藻的状态， 但是他更 想知道天气的情况，天气状态在这里就是隐藏状态。我们使用Vite

16、rbi算法（Viterbi algorithm ）确定（搜索）已知观察序列及HMM 下最可能的隐藏状态序列。Viterbi算法（Viterbi algorithm）的另一广泛应用是自然语言处理中的词性标 注。在词性标注中，句子中的单词是观察状态，词性（语法类别）是隐藏状态（注 意对于许多单词，如 wind，fish拥有不止一个词性）。对于每句话中的单词，通 过搜索其最可能的隐藏状态，我们就可以在给定的上下文中找到每个单词最可能 的词性标注。c）学习（Learning）根据观察序列生成隐马尔科夫模型。第三个问题，也是与HMM相关的问题中最难的，根据一个观察序列（来自 于已知的集合），以及与其有关

17、的一个隐藏状态集，估计一个最合适的隐马尔科 夫模型（HMM ），也就是确定对已知序列描述的最合适的（7 ,A,B）三元组。当矩阵A和B不能够直接被（估计）测量时，前向-后向算法（forward-backward algorithm ）被用来进行学习（参数估计），这也是实际应用中常见的情况。3、总结(Summary)由一个向量和两个矩阵c ,A,B)描述的隐马尔科夫模型对于实际系统有着巨 大的价值，虽然经常只是一种近似，但它们却是经得起分析的。隐马尔科夫模型 通常解决的问题包括：1. 对于一个观察序列匹配最可能的系统 一一评估，使用前向算法(forward algorithm)解决；2. 对于已

18、生成的一个观察序列，确定最可能的隐藏状态序列一一解码，使用 Viterbi 算法(Viterbi algorithm )解决;3. 对于已生成的观察序列，决定最可能的模型参数一一学习，使用前向-后向算法(forward-backward algorithm)解决。五、前向算法(Forward Algorithm )计算观察序列的概率(Finding the probability of an observed sequenc?1. 穷举搜索( Exhaustive search for solutior)给定隐马尔科夫模型，也就是在模型参数(,A, B)已知的情况下，我们想 找到观察序列的概率

19、。还是考虑天气这个例子，我们有一个用来描述天气及与它密切相关的海藻湿 度状态的隐马尔科夫模型(HMM)，另外我们还有一个海藻的湿度状态观察序 列。假设连续3天海藻湿度的观察结果是(干燥、湿润、湿透)一一而这三天每一天都可能是晴天、多云或下雨，对于观察序列以及隐藏的状态，可以将其视为网格：网格中的每一列都显示了可能的的天气状态，并且每一列中的每个状态都与相邻列中的每一个状态相连。而其状态间的转移都由状态转移矩阵提供一个概 率。在每一列下面都是某个时间点上的观察状态，给定任一个隐藏状态所得到的 观察状态的概率由混淆矩阵提供。可以看出，一种计算观察序列概率的方法是找到每一个可能的隐藏状态，并 且将这

20、些隐藏状态下的观察序列概率相加。对于上面那个(天气)例子，将有3A3 = 27种不同的天气序列可能性，因此， 观察序列的概率是：Pr(dry,damp,soggy | HMM) = Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny,sunny) + Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny ,cloudy) + Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny ,rainy) + . Pr(dry,damp,soggy | rainy,rainy ,rainy)用这种方式计算观察序列概率极为昂贵，特别对于大的模型或较长的序列， 因此我们可以利用

21、这些概率的时间不变性来减少问题的复杂度。2. 使用递归降低问题复杂度给定一个隐马尔科夫模型(HMM )，我们将考虑递归地计算一个观察序列 的概率。我们首先定义局部概率(partial probability )，它是到达网格中的某个中间 状态时的概率。然后，我们将介绍如何在t = 1和t = n (1)时计算这些局部概率。假设一个T-长观察序列是：2a.局部概率（工s）考虑下面这个网格，它显示的是天气状态及对于观察序列干燥， 湿润及湿透 的一阶状态转移情况：我们可以将计算到达网格中某个中间状态的概率 作为所有到达这个状态的 可能路径的概率求和 问题。例如，t = 2时位于 多云”状态的局部概率

22、通过如下路径计算得出:dnJ )Qwdy J 【R昨】W我们定义t时刻位于状态j的局部概率为工t（j） 个局部概率计算如下: t （ j ） = Pr （观察状态|隐藏状态j ） * Pr（t时刻所有指向j状态的路径） 对于最后的观察状态，其局部概率包括了通过所有可能的路径到达这些状态的概率一一例如，对于上述网格，最终的局部概率通过如下路径计算得出：由此可见，对于这些最终局部概率求和等价于对于网格中所有可能的路径概 率求和，也就求出了给定隐马尔科夫模型（HMM）后的观察序列概率。第3节给出了一个计算这些概率的动态示例。2b.计算t=1时的局部概率J s我们按如下公式计算局部概率：t （ j ）

23、= Pr（观察状态|隐藏状态j ） * Pr（t时刻所有指向j状态的路径）特别当t=1时，没有任何指向当前状态的路径。故t=1时位于当前状态的概 率是初始概率，即Pr（state | t = 1） = P（state）因此，t=1时的局部概率等于当前状 态的初始概率乘以相关的观察概率：所以初始时刻状态j的局部概率依赖于此状态的初始概率及相应时刻我们所 见的观察概率。2c.计算t 1时的局部概率 以s我们再次回顾局部概率的计算公式如下：t （ j ） = Pr （观察状态|隐藏状态j ） * Pr（t时刻所有指向j状态的路径）我们可以假设（递归地），乘号左边项“Pr（观察状态|隐藏状态j ）已经

24、有了，现在考虑其右边项“Pr（时寸刻所有指向j状态的路径）”。为了计算到达某个状态的所有路径的概率，我们可以计算到达此状态的每条路径的概率并对它们求和，例如：o计算所需要的路径数目随着观察序列的增加而指数级递增，但是t-1时刻-S给出了所有到达此状态的前一路径概率，因此，我们可以通过t-1时刻的局部概率定义t时刻的（，即：%30甩書0故我们所计算的这个概率等于相应的观察概率（亦即，t +i时在状态j所观 察到的符号的概率）与该时刻到达此状态的概率总和 这来自于上一步每一个 局部概率的计算结果与相应的状态转移概率乘积后再相加的乘积。注意我们已经有了一个仅利用t时刻局部概率计算t+i时刻局部概率的

25、表达 式。现在我们就可以递归地计算给定隐马尔科夫模型（HMM）后一个观察序列的概率了 一一即通过t =1时刻的局部概率 J 计算t =2时刻的J ,s通过t =2时刻 的代计算t =3时刻的 等等直到t =T。给定隐马尔科夫模型（HMM）的观察序 列的概率就等于t =T时刻的局部概率之和。2d.降低计算复杂度我们可以比较通过穷举搜索（评估）和通过递归前向算法计算观察序列概率 的时间复杂度。我们有一个长度为T的观察序列0以及一个含有n个隐藏状态的隐马尔科 夫模型l = C,A,B）。穷举搜索将包括计算所有可能的序列：公式注：穷举搜索的时间复杂度是二，前对我们所观察到的概率求和 一一注意其复杂度与

26、T成指数级关系。相反的， 使用前向算法我们可以利用上一步计算的信息，相应地，其时间复杂度与 T成 线性关系。九）。我们首先通过计算局部概率（）s降低计算整个概率的复杂度，局部概率 表示的是t时刻到达某个状态s的概率。t =1时，可以利用初始概率（来自于P向量）和观察概率Pr （observation | state） （来自于混淆矩阵）计算局部概率；t 1时的局部概率可以利用t-1时的局部概率计算。因此，这个问题是递归定义的，观察序列的概率就是通过依次计算t =1,2, T时的局部概率，并且对于t = T时所有局部概率相加得到的。注意，用这种方式计算观察序列概率的时间复杂度远远小于计算所有序列

27、的 概率并对其相加（穷举搜索）的时间复杂度。前向算法定义（Forward algorithm definition）我们使用前向算法计算T长观察序列的概率：其中y的每一个是观察集合之一。局部（中间）概率是递归计算的，首先通过计算t=1时刻所有状态的局部概率.：=舫咖然后在每个时间点，t=2,，T时，对于每个状态的局部概率，由下式计 算局部概率筈：%心j郭以mJ如也就是当前状态相应的观察概率与所有到达该状态的路径概率之积，其递归 地利用了上一个时间点已经计算好的一些值。最后，给定HMM,观察序列的概率等于T时刻所有局部概率之和：再重复说明一下，每一个局部概率（t 2时）都由前一时刻的结果计算得

28、出。对于 天气”那个例子，下面的图表显示了 t = 2为状态为多云时局部概率 莖 的计算过程。这是相应的观察概率b与前一时刻的局部概率与状态转移概率 a相 乘后的总和再求积的结果：WETDRY总结（Summary）我们使用前向算法来计算给定隐马尔科夫模型（HMM ）后的一个观察序列 的概率。它在计算中利用递归避免对网格所有路径进行穷举计算。给定这种算法，可以直接用来确定对于已知的一个观察序列， 在一些隐马尔 科夫模型（HMMs）中哪一个HMM最好的描述了它一一先用前向算法评估每一 个（HMM ），再选取其中概率最高的一个。六、维特比算法（Viterbi Algorithm ）寻找最可能的隐藏状

29、态序列（Finding most probable sequenee of hidden states）对于一个特殊的隐马尔科夫模型（HMM）及一个相应的观察序列，我们常常希望 能找到生成此序列最可能的隐藏状态序列。1穷举搜索我们使用下面这张网格图片来形象化的说明隐藏状态和观察状态之间的关 系:我们可以通过列出所有可能的隐藏状态序列并且计算对于每个组合相应的 观察序列的概率来找到最可能的隐藏状态序列。最可能的隐藏状态序列是使下面这个概率最大的组合：Pr (观察序列|隐藏状态的组合)例如，对于网格中所显示的观察序列，最可能的隐藏状态序列是下面这些概 率中最大概率所对应的那个隐藏状态序列：Pr(d

30、ry,damp,soggy | sunny,sunny,sunny), Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunny ,cloudy), Pr(dry,damp,soggy | sunny,sunn y,ra iny Pr(dry,damp,soggy | rai ny,rai ny,rai ny)这种方法是可行的，但是通过穷举计算每一个组合的概率找到最可能的序列 是极为昂贵的。与前向算法类似，我们可以利用这些概率的时间不变性来降低计 算复杂度。2.使用递归降低复杂度给定一个观察序列和一个隐马尔科夫模型(HMM )，我们将考虑递归地寻 找最有可能的隐藏状态序列。我们首先定义局

31、部概率住，它是到达网格中的某个特殊的中间状态时的概 率。然后，我们将介绍如何在t =1和t =n (1)时计算这些局部概率。这些局部概率与前向算法中所计算的局部概率是不同的，因为它们表示的是时刻t时到达某个状态最可能的路径的概率，而不是所有路径概率的总和。2a.局部概率&和局部最佳途径考虑下面这个网格，它显示的是天气状态及对于观察序列干燥， 湿润及湿透 的一阶状态转移情况:Ml*W对于网格中的每一个中间及终止状态，都有一个到达该状态的最可能路径。举例来说，在t =3时刻，3个状态中的每一个都有一个到达此状态的最可能 路径，或许是这样的：我们称这些路径为局部最佳路径（partial best p

32、aths）。其中每个局部最佳 路径都有一个相关联的概率，即局部概率。与前向算法中的局部概率不同，是到 达该状态（最可能）的一条 路径的概率。因而E（i,t）是t时刻到达状态i的所有序列概率中最大的概率，而局部最佳 路径是得到此最大概率的隐藏状态序列。对于每一个可能的 i和t值来说，这一 类概率（及局部路径）均存在。特别地，在t =T时每一个状态都有一个局部概率 和一个局部最佳路径。这 样我们就可以通过选择此时刻包含最大局部概率的状态及其相应的局部最佳路 径来确定全局最佳路径（最佳隐藏状态序列）。2b.计算t =1时刻的局部概率S s我们计算的局部概率E是作为最可能到达我们当前位置的路径的概率（

33、已知的特殊知识如观察概率及前一个状态的概率）。当t =1的时候，到达某状态的最可能路径明显是不存在的；但是，我们使用 t =1时的所处状态的初始概率 及 相应的观察状态ki的观察概率计算局部概率左即句（0=H恤*1与前向算法类似，这个结果是通过 初始概率和相应的观察概率相乘 得出的。2c.计算t 1时刻的局部概率 丫 s现在我们来展示如何利用t-1时刻的局部概率5计算t时刻的局部概率考虑如下的网格:OA.OO -J5-OXOc *O我们考虑计算t时刻到达状态X的最可能的路径；这条到达状态 X的路径 将通过t-1时刻的状态A，B或C中的某一个。因此，最可能的到达状态X的路径将是下面这些路径的某一

34、个：（状态序列），A，X（状态序列），B，X（状态序列），C，X我们想找到路径末端是AX，BX或CX，并且拥有最大概率的路径。回顾一下马尔科夫假设：给定一个状态序列，一个状态发生的概率只依赖于 前n个状态。特别地，在一阶马尔可夫假设下，状态 X在一个状态序列后发生 的概率只取决于之前的一个状态，即：Pr （到达状态A最可能的路径）.Pr （X | A） . Pr （观察状态| X）与此相同，路径末端是AX的最可能的路径将是到达 A的最可能路径再紧 跟X。相似地，这条路径的概率将是：Pr （到达状态A最可能的路径）.Pr （X | A） . Pr （观察状态| X）因此，到达状态X的最可能路径概

35、率是：al firm 一丹幺 E time （t 1） x|i） xat time i|A）其中第一项是t-1时刻的局部概率着，第二项是状态转移概率以及第三项是 观察概率。泛化上述公式，就是在t时刻，观察状态是kt，到达隐藏状态i的最佳局部 路径的概率是：询=nG）铀 7这里，我们假设前一个状态的知识（局部概率）是已知的，同时利用了状态 转移概率和相应的观察概率之积。然后，我们就可以在其中选择最大的概率了 （局 部概率）。2d.反向指针， s考虑下面这个网格:*vKW在每一个中间及终止状态我们都知道了局部概率，& （i,t）。然而我们的目标 是在给定一个观察序列的情况下寻找网格中最可能的隐藏状

36、态序列。因此，我们需要一些方法来记住网格中的局部最佳路径。回顾一下我们是如何计算局部概率的，计算t时刻的$时，我们仅仅需要知道t-1时刻的s。在这个局部概率计算之后，就有可能记录前一时刻哪个状 态生成了合（i,t）。也就是说，在t-1时刻系统必须处于某个状态，该状态导致了 系统在t时刻到达状态i是最优的。这种记录（记忆）是通过对每一个状态赋予 一个反向指针0完成的，这个指针指向最优的引发当前状态的前一时刻的某个 状态。形式上，我们可以写成如下的公式:金（ =时gmafg咐其中argmax运算符是用来计算使括号中表达式的值最大的索引j的。请注意这个表达式是通过前一个时间步骤的局部概率，和转移概率

37、计算 的，并不包括观察概率（与计算局部概率 5本身不同）。这是因为我们希望这 些犖能回答这个问题如果我在这里，最可能通过哪条路径到达下一个状 态？ ” 一-个问题与隐藏状态有关，因此与观察概率有关的混淆（矩阵）因子 是可以被忽略的。2e.维特比算法的优点使用Viterbi算法对观察序列进行解码有两个重要的优点：1.通过使用递归减少计算复杂度这一点和前向算法使用递归减少计算 复杂度是完全类似的2.维特比算法有一个非常有用的性质， 就是对于观察序列的整个上下文进行 了最好的解释（考虑）。事实上，寻找最可能的隐藏状态序列不止这一种方法， 其他替代方法也可以，譬如，可以这样确定如下的隐藏状态序列：h

38、= argmaxj(j)bjkl)这里，采用了自左向右”的决策方式进行一种近似的判断，其对于每个隐藏 状态的判断是建立在前一个步骤的判断的基础之上 （而第一步从隐藏状态的初始 向量TT开始）。这种做法，如果在整个观察序列的中部发生 噪音干扰”时，其最终的结果将 与正确的答案严重偏离。相反，维特比算法在确定最可能的终止状态前将考虑整个观察序列，然后通过指针 回溯”以确定某个隐藏状态是否是最可能的隐藏状态序列中的一员。 这是非常有用的，因为这样就可以孤立序列中的噪音”而这些 噪音”在实时数据中是很常见的。3小结维特比算法提供了一种有效的计算方法来分析隐马尔科夫模型的观察序列， 并捕获最可能的隐藏状

39、态序列。它利用递归减少计算量，并使用整个序列的上下 文来做判断，从而对包含噪音”的序列也能进行良好的分析。在使用时，维特比算法对于网格中的每一个单元 （cell）都计算一个局部概率， 同时包括一个反向指针用来指示最可能的到达该单元的路径。当完成整个计算过程后，首先在终止时刻找到最可能的状态，然后通过反向指针回溯到t =1时刻,这样回溯路径上的状态序列就是最可能的隐藏状态序列了。维特比算法定义（Viterbi algorithm definition） 1、维特比算法的形式化定义维特比算法可以形式化的概括为：对于每一个i, i = 1 ,n,令：Xi二他隔,乓)&(i) =缸 1G)知匕)这样就

40、确定了到达下一个状态的最可能路径，并对如何到达下一个状态做了 记录。具体来说首先通过考察所有的转移概率与上一步获得的最大的局部概率之 积，然后记录下其中最大的一个，同时也包含了上一步触发此概率的状态。令：it 这样就确定了系统完成时(t =T)最可能的隐藏状态。对于t = T-1 ,，1令：&和巾s维特比算法中的局部概率s的计算与前向算法中的局部概率 的很相 似。下面这幅图表显示了 和的计算细节，可以对比一下前向算法3中的计 算局部概率的那幅图表：WETDRY唯一不同的是前向算法中计算局部概率J时的求和符号（旦）在维特比算法中计算局部概率8时被替换为max这一个重要的不同也说明了在维特比 算法

41、中我们选择的是到达当前状态的最可能路径，而不是总的概率。我们在维特 比算法中维护了一个 反向指针”记录了到达当前状态的最佳路径，即在计算s时通过argmax运算符获得。总结（Summary）对于一个特定的隐马尔科夫模型，维特比算法被用来寻找生成一个观察序列 的最可能的隐藏状态序列。我们利用概率的时间不变性，通过避免计算网格中每 一条路径的概率来降低问题的复杂度。维特比算法对于每一个状态（t 1）都保存了一个反向指针伸），并在每一个状态中存储了一个局部概率（）。局部概率&是由反向指针指示的路径到达某个状态的概率。当t =T时，维特比算法所到达的这些终止状态的局部概率是按照最优（最 可能）的路径到

42、达该状态的概率。因此，选择其中最大的一个，并回溯找出所隐 藏的状态路径，就是这个问题的最好答案。关于维特比算法，需要着重强调的一点是它不是简单的对于某个给定的时间 点选择最可能的隐藏状态，而是基于全局序列做决策 一一因此，如果在观察序列 中有一个 非寻常”的事件发生，对于维特比算法的结果也影响不大。这在语音处理中是特别有价值的，譬如当某个单词发音的一个中间音素出现 失真或丢失的情况时，该单词也可以被识别出来。七、前向-后向算法（Forward-backward algorithm）根据观察序列生成隐马尔科夫模型（Generating a HMM from a sequenee of obers

43、vati ons）与HMM模型相关的 有用”的问题是评估（前向算法）和解码（维特比算法） 它们一个被用来测量一个模型的相对适用性，另一个被用来推测模型隐藏的 部分在做什么（到底发生了 ”什么）。可以看出它们都依赖于隐马尔科夫模型（HMM ）参数这一先验知识一一状态转移矩阵，混淆（观察）矩阵，以及 丁向 量（初始化概率向量）。然而，在许多实际问题的情况下这些参数都不能直接计算的，而要需要进行估计一一这就是隐马尔科夫模型中的学习问题。前向-后向算法就可以以一个观 察序列为基础来进行这样的估计， 而这个观察序列来自于一个给定的集合， 它所 代表的是一个隐马尔科夫模型中的一个已知的隐藏集合。一个例子可

44、能是一个庞大的语音处理数据库， 其底层的语音可能由一个马尔 可夫过程基于已知的音素建模的， 而其可以观察的部分可能由可识别的状态 （可 能通过一些矢量数据表示）建模的，但是没有（直接）的方式来获取隐马尔科夫 模型（HMM ）参数。前向-后向算法并非特别难以理解，但自然地比前向算法和维特比算法更复 杂。由于这个原因，这里就不详细讲解前向-后向算法了（任何有关HMM模型 的参考文献都会提供这方面的资料的）。总之，前向-后向算法首先对于隐马尔科夫模型的参数进行一个初始的估计 （这很可能是完全错误的），然后通过对于给定的数据评估这些参数的的价值并 减少它们所引起的错误来重新修订这些 HMM参数。从这个

45、意义上讲，它是以一 种梯度下降的形式寻找一种错误测度的最小值。之所以称其为前向-后向算法，主要是因为对于网格中的每一个状态，它既 计算到达此状态的 前向”概率（给定当前模型的近似估计），又计算生成此模型 最终状态的 后向”概率（给定当前模型的近似估计）。这些都可以通过利用递归 进行有利地计算，就像我们已经看到的。可以通过利用近似的HMM模型参数来 提高这些中间概率进行调整，而这些调整又形成了前向-后向算法迭代的基础。注：关于前向-后向算法，原文只讲了这么多，后继我将按自己的理解补充 一些内容。要理解前向-后向算法，首先需要了解两个算法： 后向算法和EM算法。后 向算法是必须的，因为前向-后向算

46、法就是利用了前向算法与后向算法中的变量 因子，其得名也因于此；而EM算法不是必须的，不过由于前向-后向算法是EM 算法的一个特例，因此了解一下EM算法也是有好处的，说实话，对于EM算法, 我也是云里雾里的。好了，废话少说，我们先谈谈后向算法。后向算法（Backward algorithm）其实如果理解了前向算法，后向算法也是比较好理解的，这里首先重新定义 一下前向算法中的局部概率at（i），称其为前向变量，这也是为前向-后向算法做 点准备：offG） =6 Oft = 51 入）相似地，我们也可以定义一个 后向变量Bt（i）（同样可以理解为一个局部概 率）:恥）=P（of+1 0+ OTqt

47、= S, X）后向变量（局部概率）表示的是已知隐马尔科夫模型 花及t时刻位于隐藏状 态Si这一事实，从t+1时刻到终止时刻的局部观察序列的概率。同样与前向算 法相似，我们可以从后向前（故称之为后向算法）递归地计算后向变量：1）初始化，令t =T时刻所有状态的后向变量为1：0应）=1,1 S / N2）归纳，递归计算每个时间点，t = T-1,T-2,时的后向变量:侪=工夠d仇+ i（/ht = 7 1, I - 2, ,1,1 M i M N这样就可以计算每个时间点上所有的隐藏状态所对应的后向变量，如果需要利用后向算法计算观察序列的概率，只需将 t=i时刻的后向变量（局部概率）相 加即可。下图

48、显示的是t+1时刻与t时刻的后向变量之间的关系：上述主要参考自HMM 经典论文A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition。下面我们给出利用后向算法计算观察序列概率的程序示例，这个程序仍然来自于 UMDHMM。后向算法程序示例(在backward.c中)：void Backward(HMM *phmm, int T, int *O, double *beta, double *pprob) int i, j; /* state in dices */int t; /* tim

49、e in dex */double sum;/* 1. Initialization */for (i = 1; i N; i+)betaTi = 1.0;/* 2. Induction */for (t = T - 1; t = 1; t-)for (i = 1; i N; i+)sum = 0.0;for (j = 1; j N; j+)sum += phmm-Aij * (phmm-BjOt+1)*betat+1j;betati = sum;/* 3. Termination */*pprob = 0.0;for (i = 1; i N; i+)*pprob += beta1i;好了，后

50、向算法就到此为止了，下一节我们粗略的谈谈 EM 算法。EM 算法前向-后向算法是Baum于1972年提出来的，又称之为Baum-Welch算法， 虽然它是 EM(Expectation- Maximization) 算法的一个特例 ，但 EM 算法却是于 1977年提出的。那么为什么说前向 -后向算法是 EM 算法的一个特例呢？这里有 两点需要说明 一下。第一，1977年 A. P. Dempster N. M. Laird、D. B. Rubin 在其论文 Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm ”中首次提出了

51、 EM 算法 的概念，但是他们也在论文的介绍中提到了在此之前就有一些学者利用了 EM 算 法的思想解决了一些特殊问题，其中就包括了 Baum在70年代初期的相关工作， 只是这类方法没有被总结而已， 他们的工作就是对这类解决问题的方法在更高的 层次上定义了一个完整的 EM 算法框架。第二，对于前向 -后向算法与 EM 算法的关系，此后在许多与 HMM 或 EM 相关的论文里都被提及，其中 贾里尼克( Jelinek )老先生在 1997 所著的书 “Statistical Methods for Speech Recognition ”中对于前向 -后向算法与 EM 算法的 关系进行了完整的描述

52、，读者有兴趣的话可以找来这本书读读。关于 EM 算法的讲解，网上有很多，这里我就不献丑了， 直接拿目前搜索 “EM 算法”在Google排名第一的文章做了参考，希望读者不要拍砖：EM 算法 是 Dempster，Laind，Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计 的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单 实用的学习算法。 这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据， 截尾数据， 带有讨 厌数据等所谓的不完全数据 (incomplete data)。假定集合Z = (X,Y)由观测数据X和未观测数据丫组成，Z = (X,Y)和X分 别称为完整数据和不完整

53、数据。假设 Z的联合概率密度被参数化地定义为 P(X, Y| 0)，其中0表示要被估计的参数。0的最大似然估计是求不完整数据的对数 似然函数L(X; 0)的最大值而得到的：L( 0; X )= log p(X | 0) = J/Og p(X ,Y | 0dY ; (1)EM 算法包括两个步骤：由 E 步和 M 步组成 ，它是通过迭代地最大化完整 数据的对数似然函数 Lc( X; 0)的期望来最大化不完整数据的对数似然函数，其 中：Lc(X; 0) =log p(X， Y |0) ； (2)假设在算法第t次迭代后0获得的估计记为 0t )，则在(t+1)次迭代时,E-步：计算完整数据的对数似然函

54、数的期望，记为：Q(0|0(t) ) = ELc(0;Z)|X;0(t) ； (3)M- 步：通过最大化 Q(0 |0(t) ) 来获得新的 0 。通过交替使用这两个步骤， EM 算法逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极大点。直观地理解 EM 算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法：事先并不知道 模型的参数，可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数X)，确定出对应于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态下再由样本对参数修正，重新估计参数入，并在新的参数下重新确定模型的状态，这样，通过多次的迭代，循环直至某个收敛条件满

55、足为止， 就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。EM算法的主要目的是提供一个简单的迭代算法计算后验密度函数，它的最大优点是简单和稳定，但容易陷入局部最优。参考原文见：http:/49805085.spaces.live.eom/Blog/c ns!145C40DDDB4C6E5!670.e ntry注意上面那段粗体字，读者如果觉得EM算法不好理解的话，就记住这段粗 体字的意思吧！有了后向算法和EM算法的预备知识，下一节我们就正式的谈一谈前向-后向算法。前向-后向算法隐马尔科夫模型(HMM )的三个基本问题中，HMM参数学习问题是最难 的，因为对于给定的观察序列O,没有任何一种方法可以精确地找到

56、一组最优的 隐马尔科夫模型参数(A、B、二)使P(OR)最大。因而，学者们退而求其次，不 能使P(O|财全局最优，就寻求使其局部最优(最大化)的解决方法，而前向 - 后向算法(又称之为Baum-Welch算法)就成了隐马尔科夫模型学习问题的一种 替代(近似)解决方法。我们首先定义两个变量。给定观察序列O及隐马尔科夫模型丸，定义t时刻 位于隐藏状态Si的概率变量为：M(j) - P(qr 二 StOf X)回顾一下第二节中关于前向变量at(i)及后向变量Bt(i)的定义，我们可以很容 易地将上式用刖向、后向变量表示为:皿)仿=另 af(/) 0rO) j = i其中分母的作用是确保：N工 7t(

57、0 - 1J * 1给定观察序列0及隐马尔科夫模型X.,定义t时刻位于隐藏状态Si及t+1 时刻位于隐藏状态Sj的概率变量为：EMj) = P(qt = Sh qt+1 = SfOf X)该变量在网格中所代表的关系如下图所示:I| t+4t+2同样，该变量也可以由前向、后向变量表示:P(ojxj砌bj(O“d Kj) NS 2 af(/)a(Of + 1) /3f + 1(/)/ = 1 y = 1而上述定义的两个变量间也存在着如下关系:如果对于时间轴t上的所有 相加，我们可以得到一个总和，它可以被解释为从其他隐藏状态访问Si的期望值（网格中的所有时间的期望），或者， 如果我们求和时不包括时间

58、轴上的t = T时刻，那么它可以被解释为从隐藏状态Si出发的状态转移期望值。相似地，如果对 在时间轴t上求和（从t=1到t=T-1）, 那么该和可以被解释为从状态 Si到状态Sj的状态转移期望值。即：T-1S 7r（0 = expected number of iranskions from Srr1r-iZ /） = expected number of transitions from St to J1 1上一节我们定义了两个变量及相应的期望值，本节我们利用这两个变量及其期望值来重新估计隐马尔科夫模型（HMM ）的参数-，A及B:无 expetted frequency (number o

59、f limes) in state , at time (f - 1) - 了i)expected number o( trinsiuons from Mate S, (u state expert 里加亡/ and ob昭rvuig symbol yiexpecled nuftibr of times in state /H 7f(/)r * iu. 0 vaTs讪” 1如果我们定义当前的HMM模型为，那么可以利用该模型计算上面三个式子的右端；我们再定义重新估计的HMM模型为 *：，那么上面三个式子的左端就是重估的 HMM模型参数。Baum及他的同事在70年代 证明了，因此如果我们迭代地的计

60、算上面三个式子，由此不断地 重新估计HMM的参数，那么在多次迭代后可以得到的 HMM模型的一个最大似 然估计。不过需要注意的是，前向-后向算法所得的这个结果（最大似然估计） 是一个局部最优解。关于前向-后向算法和EM算法的具体关系的解释，大家可以参考 HMM经 典论文A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition，这里就不详述了。下面我们给出UMDHMM中的前向-后向算法示例，这个算法比较复杂， 这里只取主函数， 其中所引用的函数大家如果感兴趣 的话可以自行参考 UMDHMM

61、。前向-后向算法程序示例(在baum.c中):void BaumWelch(HMM *phmm, int T, int *O, double *alpha, double *beta, double *gamma, int *pniter, double *plogprobinit, double *plogprobfinal) int i, j, k; int t, l = 0;double logprobf, logprobb, threshold; double numeratorA, denominatorA; double numeratorB, denominatorB;doubl

62、e *xi, *scale; double delta, deltaprev, logprobprev;deltaprev = 10e-70;xi = AllocXi(T, phmm-N); scale = dvector(1, T);ForwardWithScale(phmm, T, O, alpha, scale, &logprobf); *plogprobinit = logprobf; /* log P(O |intial model) */ BackwardWithScale(phmm, T, O, beta, scale, &logprobb); ComputeGamma(phmm, T, alpha, beta, gamma); ComputeX