专题复习分式及其运算

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1、专题分式及其运算?解读考点知识点名师点晴分式的概念A整式A除以整式B，可以表示成的形式，BA如果除式B中含有字母，那么称为分式.B 右B丰0,贝9 有意义；右B=0，则无意义；若A=0且B工0，贝U -=0.B分式的 基本性 质及应用1分式的基本性质B（c 0）B-B-C（c 0）BBCBBC要熟练掌握，特别是乘或除以的数不能为02分式的变号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其 中任何两个，分式的值不变.3分式的约分、通分通分与约分的依据都是分式的基本性质4.最简分式分子与分母没有公因式分式的运算1分式的加减法异分母的分式相加减，要先通分，然后再加减2.分式的乘除法、乘方熟练应用法则进

2、行计算3.分式的混合运算应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化 简，最后进行加减运算若有括号，先算括号 里面的灵活运用运算律，运算结果必须是最 简分式或整式.2年中考【2015年题组】31. （2015常州）要使分式X2有意义，则x的取值范围是（）A.x2B.x 2c.x 2D.x 2【答案】D.【解析】3试题分析：要使分式x 2有意乂，须有x 20，即x 2，故选D考点：分式有意义的条件.m292. (2015济南)化简m 3 m 3的结果是()m 3m 3A.m 3B.m 3C.m 3D.m 3【答案】A.睥析试题分析原式竺j訴+ 4 故迭乩m-3考点：分式的加减法.2x x 63. (

3、2015百色) 化简2 2x 2x x4的结果为()111x 62A.x 4B.2小x 2xC.x 2D.x 2【答案】C.【解析】2x 62(x 2)(x 6)x 21试题分析：原式=x2(x2)(x 2)=(x 2)(x 2)=(x 2)(x2)=x 2.故选C.考点：分式的加减法.4. (2015甘南州)在盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是()1213A.3B.3C.6D.4【答案】B.【解析】试题分析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1,a+2,2中，抽到a+1,a+2做分母时组成的都是

4、分式，共有3X2=6种情况，其中a+1,a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式42的概率=6=3.故选B.考点：1.概率公式；2.分式的定义；3.综合题.1y -一5. (2015龙岩)已知点P(a,b)是反比例函数x图象上异于点(-1，-1)的一个动点，则1 a 1 b=()丁点P 5刃是反比例ffi v = - g象上异于点（-1的一个动点,1=1-故选吐1 + tJ 1十由1十口 打占十口1十口3 + 11十0考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.分式的化简求值；3.条件求值.a22ab b2bD.a b【答案】A.【解析】考点：分式的加减法.【答案】【解析】试考点：分式的混合运

5、算.&（ 2015莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用【答案】B.【解析】C.2试题分析:26. （2015山西省）化简ab2a b的结果是（C.试题分析：原式=(a(a b)2b)(ab)b，故选A.7. (2015泰安) 化简:(a3a3）（1的结果等于（a(a3) 3a 4 a 3a243(aa2=2)(a 2)a 32.故选B.12v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（A.甲乙同时到达B地B.甲先到达B地C.乙先到达B地D.谁先到达B地与速度v有关【答案】B.【解祈】 试题分析，设从/地到B地的距离为込而甲的速度】保持不变甲所用

6、町间为兰,又乙先用 d的v2iSMJ达中点，再朗X的速度到达月地，二乙所用时间対十二二竺十 主.申先达苏地-故2v v 2v vV选B,考点：1列代数式（分式）；2行程问题.2a9. （2015内江）已知实数a,b满足：【答案】1.【解析】考点：1.因式分解的应用；2.零指数幕；3.条件求值；4.综合题；5.压轴题.1【答案】a b.【解析】1a b.考点：分式的混合运算.b21b，则2015a b|=试题分析:a2a2b20，二a0,b 0 ,.ab(a b) 1012_ab,两式相减可得b21 1(a b)(a b)a b,b aabab(a b) 1(a b) 0a b 0，即ab, 2

7、015ab1.10. （2015黄冈）计算ba2b2(1aa b）的结果是试题分析：原式bababa b1(a b)(a b)a b =(a b)(a b) b=a b.故答案为丄1111.（2015安徽省）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论：若c刊 则a b；若a=3,贝U b+c=9;若a=b=c,贝U abc=0;若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8.其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）.【答案】.【解析】试题分析：- + - = h此选项正确a 33939贝J 3-i-32)7t-?-； =67册选项错询Aida/a=i=r；i2a=af.a=Q；ac=

8、Of此迦页正确;沢石中只有两个数相等，不妨尸日，贝寸】尸r，尸山或1=2,才|不合题意尸亠见1 $=2，二 T,.1虫-工為此选项正确.其中正确的是(D故答案为；.考点：1分式的混合运算；2解一元一次方程.1a b12.(2015梅州)若(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1，对任意自然数n都成立，则a,1111mb;计算:133 55 719211110【答案】2;2;21【解析】1aba(2 n 1) b(2n1)(2a2b) n a b试题分析:(2n1)(2 n1)=2n 12n1=(2n 1)(2 n 1)=(2n1)(2n 1)a b011可得(2a2b) nab1?即：a

9、b1?解得：a=2,b=2;1 -1 1111、1 -1、101110(1一)(1)m=23 351921=221=21,故答案为：2;2;21考点：1(分式的加减法；2 综合题a2b213( (2015河北省)若a 2b 0，则a2 ab的值为3【答案】2【解析】4b2b23322试题分析：a 2b,.原式=4b 2b=2，故答案为：2(考点：分式的化简求值.x25x 614. （2015绥化）若代数式2x 6的值等于0,则x=_【答案】2.【解析】2 2x 5x 60,2x-6MQ由X 5x 60，得x=2或x=3，由2x-6工0得x3-x=2，故答案为：2.考点：分式的值为零的条件.15

10、. （2015崇左）化简:2【答案】a 1.趣分析；惊式括号中两项通分幷利用同分母分式的加减去则计勒同时利用除法法则变枚约分即可得 到结果.+口2口口+1)22片_ =%* 斗_ =_a(口 一1(口-1) a4-IX口 一1)a 1考点：分式的混合运算.2x 6x 9 x 3x292，其中x423.2【答案】x 3,2.【解析】试题分析：分解因式后，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.（x 3）222试题分析：由分(a22a1)翩解析；馬式=a16. （2015桂林）先化简，再求值:试题解析: 原式：=(x 3)(x 3) x22=2 3 3= 2=2考点：分式的

11、化简求值.(2 1)17. （2015南京）计算：a b a ab3=x 3，当x23时，原式1考点：分式的混合运算.【解析】试题分折；先根據分式的化简的性质，分子分母分別进行因式分解并把除法换法，然后约分化为最简二姑艮式，然后代入求值.当飞VM原式鼻r护f考点：分式的化简求值.3a【答案】a 1,4.【解析】试题分析：根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可.a21 13(a 1) a23(a 1)3a试题解析：原式=(a 1)(a1) a=(a 1)(a 1) a=a 1；【答案】a2.【解析】试题分析:试首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可.题

12、(a b)(a b)a(a b)aab2aa(a b)(a b)a(a b)(a bj2a (a b)=a(a b)(a b)a=a21 18. (2015苏州)先化简，再求值:13【答案】x1,3.x22x 1x2，其中x p3试题師原毎吕壬三.T-l(1土)19.(2015a3(a1)其中a=4.3 4当a=4时，原式=41考点：分式的化简求值.a a 212 222. （2015达州）化简a 4 a 3a 2 a，并求值，其中a与2、3构成ABC的三边, 且a为整数.1【答案】a 3,1.【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算

13、即可求出值.aa 2111试题解析：原式=(a 2)(a 2) a(a 3) a 2=(a 2)(a 3) a 220. （2015成都）化简:(aa2七）4 a【答案】【解析】试题分析:括号内先通分，同时把除法转化为乘法,2a再用分式乘法法则计算机即试题解析：考点：分式的加减法.21. (2015资阳) 先化简，再求值:1XI)x 22X 1，其中X满足2x 6 0.2 2【答案】x 2,试题分析；先根据分式的运算法则进行化简然后再解方程后代入求值.试题解析：解；原式-1(兀一0(一1)上22r-2r-I 0-lX-v 1)(x-IX工-1)2(一IX工 T2(x-lXx-lXx-2 x-：

14、2x-6-0 ,当玄时；式二土.考点：1.分式的混合运算;2.分式的化简求值.=(a 2)(a 3)=(a 2)(a 3)=a 3a与2、3构成ABC的三边，且a为整数，二1考点：1.分式的化简求值；2.三角形三边关系.(1)当X3时，求原代数式的值;(2)原代数式的值能等于1吗？为什么?【答案】(1)2; (2)不能.飞解析试题分析：(1通分后用分式力诫茁去则计算，再用除法法则变形，约分得到最简箔果，把代入计算 艮冋求出值， 令代数式等于 T,求出工的值丿检讎冋.曲蛇土匸八、眉 Vr 2玖工亠D玄(工一1人工+1$【工 工、工十1 X工十1上亠1斗试题解析：(1)原式叫_- - -_ - ；

15、- - 7-二 ，当忙=3 时(r+ljCr-l)JC卞一1 x-1 x x-1 x x-1-=-；如果竺=1,即工+1 = Hl, ?.x=0;而当除式 =0八*原代数式的值不能等x1r+1于-1-考点：分式的化简求值.(1)24. (2015凉山州)先化简：X12 2x选取一个合适的整数作为X的值代入求值.2x 4【答案】X 1；当x=2时，原式=0,当x=2时，原式=8.【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值.试题解析：原式X 1 X 1 (x 1)22(1 x) 2x (x 1)222(x

16、1)22x 1，然后从2X2的范围内vav5，即a=2,3,4,当a=2或a=3时，原式没有意义，则a=4时，原式=1.23. (2015广元)先化简:(2x22x(x21x2X2xX1)x 1，然后解答下列问题:x22x 1=X 1 x(x1) (x 1)(x1)=x 1 x(x 1) X 1=X 1 X12x 4=x 1，：满足2x2的整数有, ,0，而x=1,0时，原式无意义,x=2,2 2 4当x=2时，原式=2102 (2) 4，当x=2时，原式=212x 2x 1 x25. （2015广州）已知A=2x1x 1.（1）化简A；x10（2）当x满足不等式组x30，且x为整数时，求A的

17、值考点：分式的化简求值.1【答案】（1）x 1；（2）1.【解析】试题分析：視is分式四则混合运章的运算法则，把式曲科t简m可- 苜先求岀不等式组的解集，黨后根据工为整数求岀x的值，再把求出的丁的值代人化简后的卫式进行计算即可.试题解析：少莖+1_疋-主+1-工-1(工X1x-1x-1x-1Ix101x1i丁J冷一 IWO仁为整数片1或尸対兰1=1时占一无蕙义jx-3 1【答案】A.【解析】根据题意得：x-1丰0，解得：XM1.故选A. 考点：分式的有关概念.【解析】要帕式磐的值为帰10.（2014年抚顺中考）先化简，再求值:2x 1 1(x 1)试题解析：原式=ix x 1 xx c(X 1

18、)2x1x=(3+1 )0+(2)-1?tan60A. 3【答案】B.-3A.C.3D.任意实数考点：分式的有关概念.归纳2:分式的性质 基础知识归纳：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它 们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.xy 2y【例3】化简x 4x4的结果是（y)

19、yxxx 2B.x 2C.x2D.x 2【答案】D.壬故选Dx 2考点：分式的性质.1 1【例4】已知x+y=xy，求代数式x y-(1-x) (1-y)的值.【答案】0.11x yx y【解析】Tx+y=xy，二x y-(1-x)(1-y)=xy-(1-x-y+xy)=xy-1+x+y-xy=1-1+0=0考点：分式的性质.归纳3:分式的加减运算基础知识归纳：加减法法则： 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减.注意问题归纳：1分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加 减，先通分，变为同分母的分式

20、，然后再加减.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母求最简公分母的方法是：将各个分母分解因式； 找各分母系数的最小公倍数； 找出各分母中不 同的因式，相同因式中取次数最高的，满足的因式之积即为各分式的最简公分母.1 a【例5】计算：a 11 a的结果是B BC（C注意问题归纳：0）A AC-0)2【答案】11 a【解析】a 11 a考点：分式的加减法.1 672二【例6】化简x 3 x 9的结果是1【答案】x 3.【解析】原式二斗+乔上r瑟r盒矿 匕考点：分式的加减法.归纳4:分式的乘除运算基础知识归纳：1乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作

21、为积的分母乘方法则：分式 的乘方，把分子、分母分别乘方.2除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去.【答案】x.【解析】原式考点：分式的乘除法.归纳5:分式的混合运算基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最 后进行加减运算.若有括号，先算括号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式 或整式.注意问题归纳：注意

22、运算顺序，计算准确.【例7】计算:x21x 12x xx22x12x【例8】化简：x 12x 6 x 3x21x22x 12【答案】x 1.考点：分式的混合运算.? 1年模拟1. （2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使应满足（）【答案】D.【解析】3x0_xi x-i r试题分析:由题意得,2x 10，解不等式得，x2,所以,2 vx3.故选D.考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件.2. （2015届山东省威海市乳山市中考一模）计算（12)-1 =A.-2C.-2【答案】【解析】试题解析:2.故选C.考点：负整数指数幂.x213. （2015届山东省潍坊市昌乐县中

23、考一模）分式x 1的值为0,则（）A.x=-1B.x=1【答案】B.UHC.x=1D.x=0试题分析；由题青知：产日目申知解得:日故选3.考点：分式的值为零的条件.3 x2x 1有意义,X 11 x的结果是（A.-1【答案】A.【解析】B.1C.1+XD.1-X试题分析：原式1=X 1X1X 1 XX1X 1X 11.故选A4. （2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）化简考点：分式的加减法.5. （2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算A.aB.a5C.a6【答案】A.【解析】1_2试题分析：原式=a3?a=a，故选A.1a3? (a)2的结果是()D.a8考点：分式的乘除法.6. （

24、2015届河北省中考模拟二）已知aba=5 2,b=52，则(ab b2ab a2)+a2b2ab的值为（）155A.1B.4C.2D.10【答案】B.试題分析；原式二+- X严一1 =- =方3）口（门一6）-1且xM1.【解析】X10X 10试题分析：根据题意得：X 10解得：X-1且X丰1.故答案为：X-1且XM1.考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件；3.零指数幕.|X| 19. （2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）若分式X 1的值为零，则X的值为【答案】x=-1.【解析】试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1丰0，解得x=-1.故答案为：x=-1. 考

25、点：分式的值为零的条件.110. （2015届江苏省南京市建邺区中考一模）在函数y=1 x中，自变量x的取值范围是.【答案】XM1.【解析】试题分析：根据题意得1-xM0,解得xM1.故答案为：xM1.考点：1.函数自变量的取值范围；2.分式有意义的条件.22 m 4m 4 m 211.（2015届北京市门头沟区中考二模）已知m 31，求m 1 m 1 m 1的值.【答案】1-3.试题分折：本题考查了分式的化简求值是基础知识要惑练拿振.先分式进T7R简后再代入求值即可.2柑也1 2、1试题解析：康式斛1 1訂抽 和于777三亠史二亍三亠；- 1 - 1 H-1和一1m 1襁I当屁时原式匚耳一竽

26、十理代一1比3考点：分式的化简求值.12.（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）计算题a2aba2b2r- 2 （a b）-（1） 先化简，再求值：a 2ab bb，其中a=sin45b=cos30 x a 3.- -1（2）若关于x的方程X 1 x无解，求a的值.【答案】（1）2 65；（2）a=1.【解析】试题分析：（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入计算即可求出a的值.a(a b)baba b试题解析：（1）原式=（ab)2-(a

27、-b)?(ab)(a b)=a b a ba b2323221(5 2 6)2 6523232a=sin45 =2,b=cos30 =2时，原式=223（2）去分母得：x2-ax-3x+3=x2-x，解得：x=a 2，由分式方程无解，得到x（x-1）=0, 即x=0或x=1，若x=0,a无解；若x=1，解得：a=1.考点：1.分式的化简求值；2.分式方程的解；3.特殊角的三角函数值.13.（2015届安徽省安庆市中考二模）先化简，再求值：O十気十93+尤）十只+旳，其中x=.x【答案】x 3,13.【解祈】试题分析：先对燥式括号中两项调乩 利用同井母井式的加涮法，刼強行计勒 然后利用涂也刼釀形

28、, 约分得到最简结果把卞的值代入计算即可求出倩v 1 x 3 vfv + 31 2Y+1 x 3 v(X 3)趣解析；原式“ 戶 j 业皂： 少 H；(A* + 3)(X + 3 x _ 2(X + 3) x 2x-2工(工+3)X二 二- -;(x十3)亠.V 2AL4-3当 -m 时原式=1 -考点：分式的化简求值.14.(2015届山东省威海市乳山市中考一模)化简代数式x+2v1不等式组2(x -1)6时该代数式的符号.【答案】负号.【解析】试题分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、x 1分母能因式分解的先分解，然后约分化简为x 2；再分别求出一元

29、一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1v0,x+20,从而求解.(x 1)(x 1) xx 1试题解析：原式=x(x 2)x 1=x 2；x+2v1不等式组2(x-1)6，解不等式，得xv-1.解不等式，得x-2,.不等式组x+2v1x 12(x -1)6的解集是-2vxv-1,当-2vxv-1时，x+1v0,x+20,二x 2 v0,即该代数式的符号为负号. 考点：1分式的化简求值;x 2 3y 2 v3【答案】-4.X21 x 12X 2x x，并判断当X满足2.解一元一次不等式组.15. (2015届山东省日照市中考模拟)先化简，再求值:，其中!

30、)【解析】试題分析；将原式第一个因式括号中两项通分幷利用同分甘分式的満去法则计算，分子利用完全平方公式 展幵，去括号合并得到最简结果，第二个因式通分并利用同分母分式的;丽去法则计算分子提取-1并利用 平方差公式分解因武一约分得到最简结果，然后将兀与F的値代人化简后的子中计算，即可得到原式的值-试题解用原璋十沙七-十也十yryr亠注 r卜&十恥 F考点：分式的化简求值.21 a 3 a 2a 12 2a 1 a 1 a 4a 3，已知a2+2a-7=0.2 12【答案】a 2a 1,4.解祈J趣分析：先根据题育得出命2尸再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把N+*?代入进行计 算目阿.试题解析解：.+2;?- 7=0,用十佥F了,二-门冥 _2 2十1 1a 4-1 a -1口亠+ 4a- 31 + 30-1尸11口十1-口+ 122+1（口_%_1）十1）十3）乔1（口审（十1）：口刁2口十1 当于十时，原式二=二丄 _ 1 4考点：分式的化简求值.【答案】ix 3【例2】分式x 3的值为零，贝U x的值为（）(x+V) )X-2-曲时j原式二16. （2015届湖北省黄石市6月中考模拟）先化简再求值AyXL