微积分教学课件：4-2

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1、1第二节第二节 换元积分法换元积分法 利用利用 恒等变形恒等变形 及及 基本积分公式基本积分公式 可可直接直接求出求出一些函数的不定积分一些函数的不定积分, 但有很多函数的不定积分但有很多函数的不定积分直接求不简便直接求不简便 ,甚至求不出甚至求不出, 因而有必要研究计算因而有必要研究计算不定积分的基本方法不定积分的基本方法. 本节主要讨论本节主要讨论 换元积分法换元积分法 . 该方法是通过恰当的该方法是通过恰当的 变量代换变量代换 , 使所求的积分转使所求的积分转化为基本积分公式的化为基本积分公式的 形式形式 , 从而求出不定积分从而求出不定积分. 其实质就是其实质就是 复合函数的积分法复合

2、函数的积分法.2 .)( )()( )( )(,)( )()(,)(),()(1CxFxdxfdxxxfxxfxFxuuFuf 元元积积分分公公式式即即有有换换原原函函数数的的一一个个是是函函数数则则的的导导数数有有连连续续且且有有原原函函数数若若函函数数定定理理.)()()()(,:积积分分公公式式为为基基本本的的形形式式，且且转转化化为为键键在在于于把把积积分分其其关关合合函函数数的的积积分分法法凑凑微微分分法法的的本本质质就就是是复复注注释释 duufxdxfdxxf 一、第一类换元法一、第一类换元法 (凑微分法凑微分法) )3.coslnln1)(coscos1cossincosCxC

3、uduuxdxdxxxxu xdxtan)1(求求下下列列不不定定积积分分例例 dxxex22)2(.)(2222CeCeduexdexuuxux 4dxxx sin)3(.cos2)(sin2Cxxdx dxxxln1)4(.lnln)(lnln1Cxxdx dxx 231)5(.23ln21)23(23121Cxxdx 5dxxxxx )1(ln)1ln()7(.)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln(2Cxxxxdxx dxxxxx)111)(ln)1(ln( xxdxcossin)6(.tanlntan)(tanCxxxd 6 dxxx21)9(.arcsin2)(1

4、)(212Cxxxdxxdx dxex11)8(2.arcsin)(112Ceedexxx 7 223)10(xxdx.21arcsin)21(1)21()1(422Cxxxdxdx dxxx2coscos)11(.3sin61sin21)3cos(cos21Cxxdxxx 8 xxdx22cos2sin)12(.)2tanarctan(22)2tan()2tan(1122cos1tan21222Cxxdxdxxx 9 xdx3sin)14(.cos31cos)(cos)cos1(sinsin322Cxxxdxxdxx .sin31sincos33Cxxxdx 同同理理.541)13(2dxx

5、x .)2arctan()2()2(11)2(1122Cxxdxdxx 10)0(1)15(22 adxxa axdaxadxaxa222111111.arctan1Caxa ).0(ln211. )0(arcsin12222 aCaxaxadxxaaCaxdxxa同同理理11.11)16(dxex dxeedxxx 1)1(11xxedex .)1ln(Cexx dxeexx )11(12dxxx 2491)17(.494132arcsin2149)49(81)2(3)2(2149491222222Cxxxxdxxddxxxdxx 13.2arcsin41)18(2dxxx )2(arcsi

6、n2arcsin1xdx .|2arcsin|lnCx )2(2arcsin2112xdxx 14dxxx 211arctan)19(.)1(arctan21)1(arctan1arctan)1()1(111arctan22Cxxdxxdxx 15)csc(sec)20( xdxxdxI .tanseclntansec)tan(sectansec)tan(secsec1CxxxxxxddxxxxxxI 方方法法16 .sin1sin1ln21sin1)(sincoscoscos1222CxxxxddxxxdxxI 方方法法 .)24tan(ln)24tan()24(tan()24cos()24

7、sin(21)2sin(13CxxxddxxxdxxI 方法方法17 .)4tan(21)4(cos)4(21)22cos(112CxxxdxdxI 方方法法.2sin1)21( xdxI .1tan1)tan1()1(tan)tan1(cos)cos(sin22222CxxxdxxdxxxdxI 方方法法18 .)4cot(21)4(sin)4(21)4sin(2)cos(sin3222CxxxdxdxxxdxI 方方法法19 )1()22(10 xxdx 101010111010101010101101)1()1(101)1(1xdxxxdxxxdxdxxxxx20.)()()()()()

8、(CeFedefdxefeCxFdxxfxxxxx 由由解解.)(,)()()23( dxefexfxFxx求求的的一一个个原原函函数数是是设设.)(.arcsin)()24( xfdxCxdxxxf求求设设21.)1(31)1(1211)(1)(111)(arcsin)(arcsin)(23222222CxxdxdxxxxfdxxxxfxCxxxfCxdxxxf 由由解解22练练 习习 题题 求下列不定积分求下列不定积分dxexxx 12)11(.1.)1(11Cexxdexxxx dxxxxx cossinsincos.2.cossinln)cos(sincossin1Cxxxxdxx 2

9、3 dxxxx22sin2cos2sin. 4.sin12sin1)sin1(222Cxxxd dxeeexxx .3.)1ln(21)1(1121122222Ceededxeexxxxx 24 dxxxcos1cos1.5.2tan2)12(sec2tan2cos22sin22222Cxxdxxdxxdxxx 25dxxx 3)1(.6)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx dxxx 3)1(11.)1(21)1(1)1(23Cxxxxdxxdxxx 26 dxxxx23cos1cossin.7.)cos1ln(21cos21)(cos)cos111(21)(cosco

10、s1cos212222222Cxxxdxxdxx 27 xdx4tan.8.tantan31)1(secsectan)1(sectan322222Cxxxdxxxdxxdxxx 28dxxx )ln21(1.9)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .|ln21|ln21Cx 29.sin11.10 dxxI )(coscos1cos122xdxdxx.sectanCxx dxxxI2cossin11方方法法30.)24tan()24()24(cos12Cxxdx dxxI)2cos(112 方方法法31 .)12(tan2.)42cot()12(tan2cos1)42(sin21)2cos2(sin1312222CxCxdxxxdxxdxxxI 方方法法