测量误差理论知识课件

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1、5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识1测量误差理论知识主讲：黄声享 教授武汉大学测绘学院5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识2教学内容教学内容一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识3教学基本要求教学基本要求了解测量误差来源及其产生的原因掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概

2、念了解并掌握误差传播定律的应用 重点：重点：系统误差和偶然误差的特点及其 处理方法。 难点：难点：中误差、相对误差、容许误差的 概念；误差传播定律的应用。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识4一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识51.1 测量误差的来源测量误差的来源p 数据采集过程中，要用到各种仪器，要由人进行操作，要在某种环境中工作，

3、这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。p 数据的误差是观测结果（常称观测值观测值）与观测对象的真值之差，通常称之为真误差，可以写为：=LX （1-1）其中，L观测值，X真值，真误差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识61.1 测量误差的来源测量误差的来源p 引起数据中有误差的三个因素为：仪器（精密等级）操作人员（工作经验和技能）环境（气温、风力、湿度等等）通常把它们综合起来称为观测条件观测条件。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识71.1 测量误差的来源测量误差的来源p 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气

4、温、风力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件相同的观测条件。p 在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的，故称此时的测量为同精度观测同精度观测或等精度观测等精度观测。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识81.2 测量误差的分类测量误差的分类偶然误差偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差偶然误差，也称随机误差随机误差。 处理方法处理方法：采用多余观测，利用测量平差的方法求出观测值的最或然值。5/3/2

5、022测量误差理论知识测量误差理论知识91.2 测量误差的分类测量误差的分类系统误差系统误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，大小和符号表现出系统性，或按一定规律变化，或者为某一常数的误差。 处理方法处理方法： 1)在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响； 2）在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正； 3）将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识101.2 测量误差的分类测量误差的分类粗差：粗差：除了偶然误差和系统误差之外，在观测值中还可能有错误，一般是由于操作人员的过失引起

6、的。 处理方法：寻找错误的最简单办法就是对测量的对象多测几次（进行多余观测），检查各次的观测值相差有多大，如果发现异常便可将异常的观测值剔除。 测绘工作中称必须的那几次观测为必要必要观测观测，增多的几次观测为多余观测多余观测。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识111.2 测量误差的分类测量误差的分类p 偶然误差偶然误差p 系统误差系统误差p 粗差粗差5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识121.2 测量误差的分类测量误差的分类例：为知道一段直线的长度，仅需测量一次即可，但是测量一次又觉得不放心，于是测量了5次，得到5个长度值： 1543.24m、1543.26m、154

7、3.23m、 1543.27m、1544.25m 仅需的一次测量是必要观测，多测量的4次是多余观测。有了多余的4次，将5次的长度值相互加以比较后，发现最后一次的数据与其它4次的长度值明显地差别太大（约1m），因此便可以怀疑它有错误而加以排除。剩余的4个数据之所以也不相同，那就是每个数据中都含有误差。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识131.2 测量误差的分类测量误差的分类 测量平差研究的主要对象是偶然误差偶然误差，即总是假定含系统误差的观测值已经过适当改正，含粗差的观测值已被剔除，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识1

8、4一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识152 偶然误差的特性偶然误差的特性 对于偶然误差的分析是应用数学中的数理统计理论。在数理统计中，对产生偶然误差的这些因素被认为是随机的作用。测量人员在测量某个对象的过程中的“随机”作用，就是在某个观测条件下（没有其它任何人为的和非人为的限制）自然地产生的作用。在随机作用下，不管那一个随机数，数值大的、数值小的

9、都可能出现或不出现，偶然误差便是这样的随机数。由此可以说明，偶然误差的大小就个别误差而论是看不出什么规律的，但是在相同的观测条件下偶然误差出现的个数多了，由观测条件本身而造成的偶然误差的规律便被显现出来。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识162 偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的规律（性质）可归纳为以下4点：在相同观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。观测条件不同，这个限度的值也不同。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即绝对值小的误差的个数多于绝对值大的误差的个数。绝对值相等的正、负误差，其出现的可能性相等。当观测次数(N)无限增多时，偶然误差()的算术

10、平均值趋近于零。即 0)(lim1NiNiN5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识172 偶然误差的特性偶然误差的特性 为了对一组在相同条件下完成的观测中全部偶然误差的分布了解得更为直观，可按一定的规则绘成图形。首先对偶然误差按间隔d分组，每组的偶然误差个数为ni，总的个数为N， ni/N是在一个间隔内偶然误差的个数在总个数中占有的比值，纵坐标则是此比值再除以间隔的宽度d。通常将此图称为直方图直方图。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识182 偶然误差的特性偶然误差的特性 在N无限增多，d无限缩小的条件下，直方图的形状将趋向于一条曲线，称之为误差分布曲线（也称误差曲线），

11、它是可以用函数来描述的。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识192 偶然误差的特性偶然误差的特性误差曲线可以表示为：22221)(efNiNiN)(lim,212且为参数式中由绘制直方图的规则知，每个矩形的面积为ni/N。如果将全部矩形面积相加，因为分子的和就是全部观测值的总个数N，故全部面积的和为1。将此结果推论到误差曲线，则曲线与横坐标之间的面积亦为1。虽然曲线的两端并未与横坐标重合，但它是向横坐标逐渐趋近，因此整个面积与1之差将非常的微小。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识202 偶然误差的特性偶然误差的特性 界于曲线之下，横坐标之上，两处之间的面积占有总面积的

12、很大部分 ，由数理统计理论证得，此面积恒为0.6827 。 |愈小，曲线的形状将愈陡峭，它表示小的误差愈多。而|愈大，曲线的形状则愈平缓，它表示小的误差愈少。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识212 偶然误差的特性偶然误差的特性可见，参数的大小代表着曲线的形状，表征了偶然误差分布的特征，因此成为一个重要的特征值。数理统计称2为误差的方差方差，称为误差的标准差标准差（又称方根差方根差或均方根差均方根差）。在数理统计中称这样的曲线为正态分布正态分布。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识222 偶然误差的特性偶然误差的特性参数与观测条件有关，如果在两种观测条件下各有一组观测

13、值，那么它们对应的将不会相同。下图表示了两个不同的的f()曲线形状，由曲线的函数表示式可知，当=0时f()有最大值。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识232 偶然误差的特性偶然误差的特性 直接由的值即可了解得到，绝对值小者(1)陡峭，绝对值大者(2)平缓 以两个1为界，曲线2在此区间的面积明显比曲线1的面积小 从曲线顶部的高度也可看出，很小误差的个数也是曲线2少于曲线1 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识242 偶然误差的特性偶然误差的特性由此可以认为，曲线2的观测条件不如曲线1的观测条件好。这个结论直接由| 2 | 1 |便可得出。同理，如果| 2 |=| 1

14、| ，那么曲线2的观测条件与曲线1的观测条件相同。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识252 偶然误差的特性偶然误差的特性 必须再次说明的是，特征值是在某种观测条件下，代表误差曲线形状的一个量，它并不是一个具体的误差，即使有某一个具体误差的值正好与相等，也不能说这个误差是特征值，因为它们本身的含义不同。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识26一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测

15、的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识273 评定精度的标准评定精度的标准前面已经说明，有一组同精度观测，若求得的愈小，则这一组观测值的精度愈高，即观测值愈接近真值（在排除系统误差的条件下）。但是，对于这一组中的任意一个观测值，它们的真误差有大、有小，能不能说真误差大的精度低，真误差小的精度高呢？ 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识283 评定精度的标准评定精度的标准不能，因为真误差的大小是由观测条件而随机产生的，是随机量，真误差的大小是在同一个精度工作条件（同一个观测条件）下偶然出现的。因此衡量一个观测值的精度只能是用它所在的一组同精度观测值求得的来表示，也就

16、是用它作为评定某观测值精度的指标。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识293 评定精度的标准评定精度的标准测绘学中常将|记为。通常所说的某观测值的精度，即是指该观测值的，是一组观测值偶然误差的密集程度，而不是它各次观测本身的偶然误差的大小。实际上，观测值的精度也代表了获得它的观测条件的好坏。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识303 评定精度的标准评定精度的标准由于实际测量工作的观测次数（N）是有限的量，将无法求得，即无法对右式进行计算。如果一定要计算，其结果就不是，现用m代替，即m是的近似值，N愈大，近似于的程度愈好，因而称m是的估值估值。 NiNiN)(lim2

17、12NmiNi)(2125/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识313 评定精度的标准评定精度的标准一般情况下，在实际测绘工作中只能求得观测对象的估值m，为区别于为标准差这个名称，称m为中误差中误差，并用之作为评定精度的标准。显然，如果使用的N不够大，那么这个近似于的程度将难以预计。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识323 评定精度的标准评定精度的标准为了提高的m可信度，通常总是选择较好的观测环境（外界条件），由经过训练的人员进行观测，此时可以认为产生偶然误差的因素主要是用于观测的仪器的质量。一般地说，影响观测值精度的观测条件，仪器的质量是最主要的因素，偶然误差如此，系

18、统误差亦如此。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识333 评定精度的标准评定精度的标准用中误差来衡量观测值的精度，对有些观测对象并不一定合适，例如有两条直线AB和CD，AB长50m，CD长100m，AB和CD的中误差均为10mm，那么能否因为两条直线的中误差相等而认为它们的精度也相等呢？5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识343 评定精度的标准评定精度的标准就人们的一般常识也不会认为它们是相等的。为此便需要用相对中误差相对中误差这个概念来衡量精度，AB直线的相对中误差按下式计算：50001ABABDm同样可以算得CD直线的相对中误差为1/10000。取分子为1，是便于

19、了解相对值的大小，有利于在多个相对误差之间进行比较。相对中误差多用于距离这样的观测值，对于角度、高差这样的观测值则直接用中误差来衡量精度。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识353 评定精度的标准评定精度的标准 在现实的测绘工作中，常常需要知道某个观测值是否可用的问题。例如前述的5个长度值：1543.24m、1543.26m、1543.23m、1543.27m、1544.25m，最后一个因与其它4个明显地相差较大（将近1m）而被认为有错误并将其剔除，但是另外4个之间又只能相差多大呢。假如最后一个不是1544.25m，而是1543.51m，是否应将其剔除？5/3/2022测量误差理

20、论知识测量误差理论知识363 评定精度的标准评定精度的标准由数理统计可知： 位于两个之间的误差个数是总个数的68.27% 两个2之间（右图中灰色部分）误差个数占总误差个数的95.45% 两个3之间的误差个数占了总误差个数的99.7% 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识373 评定精度的标准评定精度的标准有理由认为在实际的测量结果中，误差的绝对值大于2的观测值是极少或不应该出现的，如果出现了这样的误差，可将其认为是不合格的结果而予以剔除。因此通常总是将2作为限制观测值误差大小的界限，即限差限差。有时也称绝对值大于2的误差为粗差粗差。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识

21、383 评定精度的标准评定精度的标准计算中误差的公式为：要得到测量对象的真误差（=LX）首先要知道其真值，而真值通常情况下是不知道的。所以，只能通过别的途径来计算中误差。 NmiNi)(2125/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识393 评定精度的标准评定精度的标准设各次的观测值为Li，它们的真误差为i，可得各次观测的真值为 NNLXLXLX2211相加并用N除，得NNLXNiiNii115/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识403 评定精度的标准评定精度的标准在观测次数N不是无限多时，由上式计算的值将不会是真值，而是一个接近于真值的量，这种最接近于真值的量称为最最或然值或

22、然值。 N越大，最或然值与真值的差别越小。为了将N为有限个数n时计算的算术平均值与真值相区别，用x表示，即1NiiLxN5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识413 评定精度的标准评定精度的标准这时，因x不等于X，故观测值L与x之差将不是真误差，而是被称为离差离差的v，在测绘学中称为改正数改正数。计算v的规则如下：v x L 或 x L v即观测值加上改正数v后为最或然值。利用改正数v也可以计算中误差，计算式为：211niivmn5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识423 评定精度的标准评定精度的标准上式等号右端根号内的分母n-1是多余观测个数，这是因为其中的n是参与计算

23、平均值的观测值总个数，而一个观测量只需一次观测即可，即必要观测数为1，多余的观测数当然是n-1。有时，必要观测数不是1，例如是t次，那么这时就要用n-t来代替n-1。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识43一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识444 误差传播定律误差传播定律实际的测绘工作中的情况： 测量一圆形建筑的圆周长计算其半径 根

24、据距离和坐标方位角的测量值计算两点间的坐标增量 水准测量中，一个测站的高差要由前、后视读数相减计算 对于这些具有函数关系的量，它们的方差（中误差）之间的规律？5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识454 误差传播定律误差传播定律现以只有两项的线性函数为例进行讨论。有函数Y=k1 X1+k2 X2式中：k1，k2为常数；X1，X2为观测值。因常数没有误差，故真误差之间的关系为：两端取平方1212YXXkk 12122222212122YXXXXkkk k X1，X2均观测了N次，则两端取和再除以N5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识464 误差传播定律误差传播定律12122

25、222212122YXXX Xkkk kN无限大时12121NX iX iiX XN式中121222222111112122NNNNYiX iX iX iXiiiiikkk kNNNN称为X1，X2和协方差协方差。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识474 误差传播定律误差传播定律如果两个观测值X1，X2是由各自独立的观测测得的值，相互之间不受影响，那么它们的误差X1，X2也是互不影响的偶然误差。由于在个数无限增大时， X1， X2二者均是数值小的多，正负个数大体相等，那么其乘积也会是数值小的多，正负个数大体相等。在分母N极大时可以认为120X X，从而5/3/2022测量误差理论

26、知识测量误差理论知识484 误差传播定律误差传播定律12122222212122YXXX Xkkk k122222212YXXkk122222212YXXmk mk m120X XN有限，以中误差m代替标准差这就是误差传播定律误差传播定律5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识494 误差传播定律误差传播定律以上的推导过程，对一般的线性函数也适用，即1122nnYk Xk Xk X12222222212nYXXnXmk mk mk m中误差关系为X1，X2，Xn相互之间应是独立的量，否则应将协方差考虑在内 。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识504 误差传播定律误差传播定

27、律对于非线性的函数，则必须先做微分运算化为线性函数，再转换为中误差： 12(,)nYf XXX1212nnXXXdYdXdXdXfff12222222212()()()nnYXXXXXXmmmmfff全微分微分量看作中误差5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识51一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识525 测量精度分析举例测量精度分析举例

28、例1：直线AB共测量了6次，各次测量的值见右表，现计算各次测量值的中误差。 测量次序测量次序测量值测量值/m1864.2372864.2353864.2314864.2335864.2346864.2325/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识535 测量精度分析举例测量精度分析举例解：AB直线的最或然值x为75 1 342864.23864.23376xm 2123.342.216 1niivmmmn 计算得各次测量值的改正数为-3.3mm，-1.3mm，+2.7mm，+0.7mm，-0.3mm，+1.7mm。则中误差即x = 864.2342.2mm5/3/2022测量误差理论知识

29、测量误差理论知识545 测量精度分析举例测量精度分析举例例2：今测量出某圆形建筑物的圆周长L=46.482m4mm（4mm表示它是46.482m的中误差），欲求该建筑物的圆半径R及其中误差mR。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识555 测量精度分析举例测量精度分析举例解：已知圆周长与半径的函数为：12RL12RL 2221()2RLmm则真误差关系为：由误差传播律得：将mL=4mm代入，得mL=0.6mm；由第一式可计算半径，则R=7.398m0.6mm。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识565 测量精度分析举例测量精度分析举例例3：某测量小组，以同精度对30个三

30、角形的每个内角A、B、C进行了观测，由于观测值A、B、C中存在有误差，故每个三角形的内角和并不一定等于180，设差值为W，称为三三角形闭合差角形闭合差。W的值按下式计算 WABC18030个W的值见下表,试求每个三角形内角中误差。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识575 测量精度分析举例测量精度分析举例解：按误差传播定律，得2222WABCmmmm223Wmm13Wmm同精度，ABCmmmm由于W的真值为零，故表中的值即为W的真误差。按真误差求中误差公式可得mW=11.1，从而可计算得各个内角的中误差m=6.4。NmiNi)(2125/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识

31、585 测量精度分析举例测量精度分析举例例4：已知A，B两点的距离DAB=582.494m14mm，由A至B的坐标方位角=8334165，求AB的纵坐标增量XAB和它的中误差。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识595 测量精度分析举例测量精度分析举例解：由计算XAB的公式得为计算中误差，作微分化为线性函数的单位为弧度，按误差传播律得ABdcos65.222ABABABXDmcossinABABABABABABddDDd222222cossinABABABXABDABABmmDm5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识605 测量精度分析举例测量精度分析举例已知数据582

32、.494,83 341614,5/206265ABABABABDDmmm m 则可得65.22214.1ABXmmm14.1ABXmmm从而5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识615 测量精度分析举例测量精度分析举例例5：求例1所示数据的算术平均值的中误差（其数据列于右表）。 测量次序测量值/m1864.2372864.2353864.2314864.2335864.2346864.2325/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识625 测量精度分析举例测量精度分析举例解：设观测值为l1, l2,ln，它们的算术平均值L为12nlllLn12111nLlllnnn 22221

33、Lllnmmmnn它们的真误差关系为注意到各观测值为独立观测值且精度相同，按误差传播律有5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识635 测量精度分析举例测量精度分析举例式中，ml为例1计算的各观测值的中误差，将数据代入，得2.20.96lLmmmmn 可见，算术平均值的精度比一次观测值的精度要高。 21(1)niiLvmn n计算算术平均值中误差的公式可以写为：5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识64一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度

34、分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识656 不等精度观测的平差不等精度观测的平差当一个观测对象有若干次同精度观测的观测值时，它的最后结果用算术平均值求得。由例5的计算知道，算术平均值的中误差(0.9mm)明显地小于各次观测值的中误差(2.2mm)，这也是选取算术平均值作为最或然值的一个重要理由。用算术平均值进行计算时，分子中各观测值前的系数均为1，分母则为观测值的个数，实际上也等于分子各项系数的和。也就是说，同精度观测的各观测值在参与计算最或然值时，它们的权利是相等的。这也说明，如果各观测值的精度不同，那么它们前面的系数

35、也不应该相同，而且称这些系数为权权。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识666 不等精度观测的平差不等精度观测的平差例如，有直线AB，由两个测量小组对它作了长度测量，各小组的每次测量都是在相同观测条件下进行的，即每次观测值的精度都相同。小组1共测量了2次，所得的测量值为l1，它是2次测量值的算术平均值。小组2共测量了4次，所得的测量值为l2，它是4次测量值的算术平均值。现在的问题是，是否可以取l1和l2的算术平均值作为直线AB的最或然值? 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识676 不等精度观测的平差不等精度观测的平差回答是否定的，因为l1只是2次测量值的平均，而l2

36、是4次测量值的平均，它的精度明显地高于l1的精度。也就是说在计算直线AB的最后结果时，必须顾及到二者的精度状况，亦即在作平均值计算时，需要将、前面的系数取不同的数值（取不同的权）。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识686 不等精度观测的平差不等精度观测的平差为了说明如何确定权的大小，将两个小组的原始观测值合并在一起计算，即直线AB的最后结果L为 1112212223246llllllL1112121222324224llllllll122424llL5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识696 不等精度观测的平差不等精度观测的平差等号右端，分子l1的系数即为l1的权，

37、用p1表示， l2的系数即为l2的权，用p2表示，于是可以写成一般的计算式1 12 212plp lLpp11ni iiniiplLp推广至n个不同精度的观测值，则有称上式为加权平均计算，L即为加权平均值（亦称带权平均值或广义算术平均值）5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识706 不等精度观测的平差不等精度观测的平差12122422412llll因可以看出，各观测值的权相互之间是一种比例关系。它们代表着相互之间的精度关系，即权是一个代表相对精度的量。既然权与观测值的精度有关，那么权与中误差的关系是怎样的？5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识716 不等精度观测的平差不等

38、精度观测的平差设小组1和小组2各次观测值的中误差为m，那么，由误差传播定律知， l1的中误差m1 ， l2的中误差m2分别为写成一般形式22221212,mmmmpp2221iip mmm 可见，观测值的权与观测值的中误差平方成反比。显然，上等号右端的系数为1，也就是说权为1，并称为单位权单位权，对应的中误差则称为单位权中误单位权中误差差，通常记为。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识726 不等精度观测的平差不等精度观测的平差下面讨论加权平均值的权的问题根据加权平均值的计算公式，其真误差与各观测值的真误差之间的关系为：121212llLpppp 22221222222112212

39、221212221221212()()()()Lpppmpmppmpppppppppp由误差传播定律5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识736 不等精度观测的平差不等精度观测的平差推论到更多的观测值个数，则可见，加权平均值的权即是参与计算的各观测值的权之和。以上讨论说明，权是各观测值的相对精度，因此各观测值的权就可以由与精度有关的量来表示，如测量的次数，水准测量的测站数或水准测量的路线长度等等。这些量都不需要在预先知道观测值中误差的情况下即可获得，因此对于计算是有利的。 221Lniimp5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识746 不等精度观测的平差不等精度观测的平差但

40、是在需要知道单位权中误差时，计算的办法： 事先设定，如前面所述的以一次观测的中误差为单位权中误差 在以下三种情况，分别用公式计算 1()niiiipn 已知真误差:1:()1niiiipvvn已知改正数1()niiiitpvvnt必要观测数为 时:5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识756 不等精度观测的平差不等精度观测的平差对于从已知点A施测到B点的单一水准路线，设水准路线上各测站的高差为hi(i=1,2,n)，则B点的高程HB为1nBAiiHHh因HA为已知点，其误差可以忽略不计，则5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识761BinHhi6 不等精度观测的平差不等精度

41、观测的平差各测站精度相同，中误差设为mh误差传播律2221BHhmmn22BHhmn m取mh=,为单位权中误差1/n即为B点高程的权，也就是说，测站数越多（n越大），B点高程的精度越低（权越小）。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识776 不等精度观测的平差不等精度观测的平差若hi为第ikm的高差，则类似地可以将B点的高程写为式中的L表示由A点测至B点时，水准路线共有Lkm长。虽然实际的水准测量是一站一站地进行，误差的积累与站数有关，但各测站的后、前视距离之和仍然表现出与距离有着联系，测站数越多，距离越长。特别是在各测站的后、前视距离大约相等时，以距离计算误差间的关系与以测站计算

42、误差间的关系相同。 1LBAiiHHh5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识786 不等精度观测的平差不等精度观测的平差进行类似的推算可得1/L即为以1km测量高差中误差为单位权中误差时B点高程的权。也就是说，距离越长（L越大），B点高程的精度越低（权越小）。当然L的单位应是千米，为1km测量高差的中误差，即单位权中误差。 222BkmHhmmL5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识796 不等精度观测的平差不等精度观测的平差例6：某测量小组由已知点A开始进行水准测量，每个测站的后视、前视距离之和为150m，共用了40个测站才测到B点。设每测站的后视、前视在水准尺上的读数误

43、差为1mm，问：测得的B点高程中误差是多少？若以1个测站的观测高差中误差为单位权中误差，B点高程的权是多少？以1km的观测高差中误差为单位权中误差，B点高程的权是多少？5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识806 不等精度观测的平差不等精度观测的平差解： 因为每个测站的高差计算是后视a减前视b，即hi aibi真误差的关系为由误差传播律得由题意知： ，故各测站的mh均为1iiabmmmm iiihab 222iiihabmmm2mm40280BHhmn mmm 可得5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识816 不等精度观测的平差不等精度观测的平差题意要求取1个测站的观测高差

44、中误差为单位权中误差，即以mhi为单位权中误差。由 知，B点高程中误差为1/n，而n=40，故本问的答案为1/40。因题意要求取1km观测高差中误差为单位权中误差，故需将路线总长L按km为单位，即L=15040/1000=6km由 知B点高程的权为1/L，即本问答案为1/6。2221BHhmmn2221BHhmmn5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识826 不等精度观测的平差不等精度观测的平差闭合差的处理 测量的三角形三内角之和不等于180 单一水准路线的测量高差与两端已知点之高差不相等 对一条直线的长度测量了两次，两次测量值之差 实际上，闭合差就是真误差，因此，用观测值减去真值即

45、得闭合差。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识836 不等精度观测的平差不等精度观测的平差测绘实践中常常将误差相对很小的量也当作真值看待，如常说的已知的起算值，它们相对于下一级的观测值来讲常忽略本身的误差而不计。 例如单一水准路线，是从一个已知点A开始，沿水准路线测至另一个已知点B。此时计算闭合差将不考虑A和B点高程本身的误差。这是因为水准测量的目的是依赖A、B两点的高程，以便求得水准路线上其它点的高程。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识846 不等精度观测的平差不等精度观测的平差处理闭合差就是要消除闭合差，使闭合差为零。惟一的办法便是在观测值上加一个改正数v。观测

46、值加上改正数之后，其结果即为最或然值。为求得改正数必须依据一定的规则，这种按照一定的规则消除闭合差而求得最或然值的计算过程称为平差平差。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识856 不等精度观测的平差不等精度观测的平差现以处理三角形闭合差为例说明处理闭合差的一般规则。今使每个三角形的内角观测值均加上一个改正数v，使加上改正数之后的三个角度之和能为180，即 (AvA)(BvB)(CvC)180 0因三角形闭合差W为WABC180 故vA vB vC W 05/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识866 不等精度观测的平差不等精度观测的平差如果仅由这一个方程式来求解，答案将有

47、无限多，得不到惟一的解。若是给三个改正数加上一个约束条件便能得到惟一解。测绘学中常给的约束条件是对同精度的观测值是取各自改正数的平方和是最小的那一组，对不同精度的观测值则是取各自改正数的平方再乘以它们的权之和是最小的那一组。 即：5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识876 不等精度观测的平差不等精度观测的平差21niiV最小21niiipV最小以此为约束条件解决问题的方法称为最小最小二乘法二乘法（在近代，亦有取不同于上式的约束条件的平差）。具体求解时则需用微分学计算极值的运算来完成。同精度观测值不同精度观测值5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识886 不等精度观测的平差

48、不等精度观测的平差若三个角度的观测为同精度观测，则按最小二乘法求解的结果是将闭合差W平均分配到三个内角上，即 13ABCvvvW 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识896 不等精度观测的平差不等精度观测的平差例7：有三角形三个内角的观测值A、B、C分别列于右表，求各内角的改正数。 5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识906 不等精度观测的平差不等精度观测的平差解：由3个内角的观测值的数据可得W=715123”+521435”+555414”-180=+12”则vA vBvC4”可以验证此结果满足2148niiv最小5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识916

49、 不等精度观测的平差不等精度观测的平差实际上常有闭合差不能被3整除的情况，例如W11，而计算值又需以整秒为单位，这时必须对秒的小数点后的值作取舍，使三个角度改正数为4、4、3。这样处理的结果当然会使它们的平方和不是最小，但这是实际计算中不得已而采取的近似措施。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识926 不等精度观测的平差不等精度观测的平差另一个问题是三个角度的改正数，各自加到哪个角度上。这里有两个相同为+4，只有一个是+3，是哪一个角度取单独的这个+3呢？按一般的考虑，三个角度的任意一个都可以取+3为改正数，但为使计算结果相对一致，长期以来都选定最接近90的那个角取+3为改正数，本例则为角度A。5/3/2022测量误差理论知识测量误差理论知识93一、误差理论的基本知识一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类测量误差的来源及其分类偶然误差的特性偶然误差的特性评定精度的标准评定精度的标准误差传播定律误差传播定律测量精度分析举例测量精度分析举例不等精度观测的平差不等精度观测的平差