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1、衡阳市八中2011届高三第五次月考试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集A. B. C. D. 2.公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为A1 B2 C3 D43.在以下关于向量的命题中，不正确的是 A若向量，向量，则B在中，和的夹角等于角C四边形是菱形的充要条件是，且D点是的重心，则4.在极坐标系中，已知圆与直线相切，则=A2 B-9 C2或-8 D1或-95.函数具有性质A图象关于点（，0）对称，最大值为1 B图象关于点（，0）对称，最大值为2 C图象关于点（，0）对称，最大值为2D图
2、象关于直线x=对称，最大值为16.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是 A B C D7.函数的图象大致是A B C D8将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是ABCD与的值有关的数二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分9.求和： .10.如右图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交 AB延长线于点C，若DA=DC，则=_.11.参数方程（为参数）与（为参数）所表 示的曲线的公共点个数是_.12.如右图，BAD90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相
3、 垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_.13.曲线的过原点的切线方程是_.14.已知点F、F分别是双曲线=1的左、右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABF为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.15.设定义域为R的函数，若关于的方程有且只有5个不同的实数根，=_.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分） 设锐角三角形的内角的对边分别为，已知且.（1）求A的大小；（2）求的取值范围.17.（本小题满分12分）已知点是抛物线上上的一个动点，弦 分别交轴于两点，若 且 ，求的重心的轨迹方程
4、.18.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是矩形，E为的中点.（1）求证：直线平面； （2）求二面角的正切值. 19（本小题满分13分）某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(参考数据：)20.（本小题满分13分）已知分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围.21.（本小题满分13分） 已知函数
5、，. （1）求在区间的最小值； （2）求证：若，则不等式对于任意的恒成立； （3）求证：若，则不等式对于任意的恒成立.衡阳市八中2011届高三第五次月考数学（理科）参考答案一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C.二、填空题：9 10300 112 12450 13. 14.（1，） 15.5.三、解答题：16.解:(1)由正弦定理知,又,又为锐角三角形,故4分 (2) .8分由于为锐角三角形,故有,的取值范围是12分17解：设M（y,y0），同理可得设重心G（x, y），则有19.(1)证法一: 连结,与交于点,连结,在 矩形中,为的中点,又为的中点,又在平
6、行六面体中,又,直线平面. 4分 证法二: 连结,在平行六面体中,与平行且相等, 四边形是平行四边形,则与互相平分, 经过的中点,平面即平面,又在平行六面体中,且,直线平面,即直线平面. .4分 (2)解法一: 连结,在平行六面体中,与平行且相等, 四边形是平行四边形,则与互相平分, 的中点也是的中点.取的中点,连结,则,且,又，过点作垂直于点,连结.根据三垂线定理有，故是二面角的平面角8分在中,，在中，在中，. .12分 解法二: 平行六面体的底面是矩形，且，两两垂直.建立如图所示的直角坐标系. ，,又由已知可得, 为的中点，,，8分令平面的法向量，则有，可取，又由知平面的法向量可取，令的夹
7、角为，则，二面角的正切值为12分19解：由题，an =an-1（1+25%）-100（n2），即an =an-1-100，设an +=（an-1+），展开得an =an-1+，=-100，=-400，an -400=（an-1-400），即an -400成一个等比数列，a1=1000, an -400=600（）n-1，an =600（）n-1+400，令an4000，得（）n-16，解得n10.答：至少要过9年后才能达到目标。20.解:(1)由于, ,解得, 椭圆的方程是3分 (2),三点共线,而,设直线的方程为, 由消去得: 由,解得.6分 设,由韦达定理得, 又由得:,. 将式代入式得:, 消去得:.10分 设,当时, 是减函数, , ,解得,又由得,直线AB的斜率的取值范围是13分21.(1)解: 若，则，即. 在区间是增函数，故在区间的最小值是2分 若令，得.又当时，；当时，在区间的最小值是4分 (2)证明:当时，则， , 当时，有，在内是增函数， ， 在内是增函数， 对于任意的，恒成立8分 (3)证明: , 令 则当时, ,11分 令,则,当时, ；当时，；当时，则在是减函数，在是增函数，即不等式对于任意的恒成立13分
湖南省衡阳市八中高三数学第五次月考理
