大学物理第2章质点动力学习题答案

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1、第二章质点动力学21物体从一倾角为 30的斜面底部以初速 vo=10m-s 1向斜面上方冲去，到最高点 后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m-s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。解：物体与斜面间的摩擦力f = uN= umgcos30物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得1212 f 0-mv - mv0f 2s22物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得0 - mv022f s mgh f s mgssin 30o2s v。 g（、3u 1）把式（2）代入式（1）得,22v2v0 20.198,3 v v022如本题图，一质量为 m的小球最初位于光滑圆形凹槽的滑，试求小球在

2、 C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为rA点，然后沿圆弧 ADCBFr 。解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得rFtmgsinrFnrT mg cosdv m一 dt2vm 2R2（2）习题2 2图dsrdrd一，得dt ，代入式（）1,dt dtv并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有,v00 vdv90o（ rg sin ）d彳4V2gr cos则小球在点C的角速度为=-2 g cos /r2由式（2）得 T 3- mg cos3mg cosrr由此可得小球对园轨道得作用力为rT T 3mgcos，方向与en反向2-3如

3、本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两者间摩擦系数为解：如图所示为使木块相对斜面静止,求斜面的加速度a应满足的条件。a asin ,a2N mg cos mgsin uN (1) u (2)得,acosma masinm a2macosaming(sing(sinucos )a(cos usin )ucos ) g(tg u)m习题2-3图(cos usin )1 utg(2) (1) u得，g(sin ucos ) a(cos usin ) g(tg u) 1 utgamaxg(tg u) a1 utg2 4如本题图，A、g(sin ucos ) (cos usi

4、n ) g(tg u)1 utgB两物体质量均为 m,用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦,则A和B的加速度大小各为多少 解：如图由受力分析得mgTb2 aATaTamgaB2TB解得aA=maAmaB15g2aB物体A以加速度a=1.0m/saB= 5g25如本题图所示,已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg2习题25图一质量为m的木块放在斜面求M的加速度和m相对M的加速运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）解：分别对物体和滑轮受力分析（如图） ，由牛顿定律和动力学方程得,mAg Ft mAa(1)Fti Ff mBa(2)2a a(3)Ft 2FtimA mB m5

5、Ft=Ft6F tiFti7mg （m 4m）a用牛田Ff 7.2N22-6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另 上（如本题图所示）。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，度。解：（如图）m相对M的相对加速度为 am ,则amxam cos , amyam sin ,在水平方向,amxamxaMxam cosaMamyam sinamy在竖直方向amy由牛顿定律可得,解得aMN sinmg NN sinmgsin cos2M msinmamxcosmamyMa mam=mam cos,mam sin(M m)g sin2M msinmaM2-7在一只半径为 R的半球形碗内，有一粒质量为m

6、的小钢球。当钢球以角速度3在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示,在图示坐标中列动力学方程得,F sin-2 .ma n mR sinF coscosmg(R h)/R解得钢球距碗底的高度28光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为科。物体的初速率为V0,求：（1） t时刻物体的速率；（2）当物体速率从V0减少到V0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。解：（1）设物体质量为m,取图示的自然坐标系，由牛顿定律得,FnmanFfmat2vR2dv m-dtFfuFn由上三式可得2vu -=R2dv dt对（

7、4）式积分得0 dt=v dvv0 v2(2)Rvo vR vo t当物体速率从V0减少到vo/2时，由上式Rv0 可得物体所经历的时间R V。t经过的路程tvdt =0RV。tVdt=Eln20 R v。t29从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度,设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度 V。抛出。(1)试证明物体的速度为mg(emt 1) voe kv(2)证明物体将达到的最大高度为H(3)证明到达最大高度的时间为mv。m2gkv。证明：由牛顿定律可得dv (1)-mg-kv=m -,tdt。v mdvv0 mg kvm mg kv。 tInk

8、mg kv,vmmmg ,ktvt(ek1)vekkdv(2) -mg-kv=mv ， dxdxmvdvmg kv令 mg kv u,dukdvI 2_.k , mgdudx mdu,mu,2x kmgdx( mdu0 mmg kv。mkv。tHln(1)kmgmgdU) ux2m gln(1 kf = kvmv。kmgmgln(1 )kkmg(3) Qt mln 皿陛 k mg kv当v 。时，t= mln mg kv。即为到达最高点的时间 k mg k21。质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点， 并略去空气阻力。 运动员入水后垂直下沉， 水

9、对其阻力为一bv2,其中b为一常量。若以水面上一点为坐标原点 O,竖直向下为 Oy轴，求：（1）运动员在水中的速 率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率 v减少到落水速率 V。的1/10 ?（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为V。2gh ,入水后如图由牛顿定律的mg-f-F=ma mg=F f=bv2dv a=dtbv2dv v dydv mv一b人dy mby/m vedyv dvv0 v2he by/m（2）将已知条件2 0.4m 1,v 0.1v。代入上式得, mm , v “ y= In

10、=5.76m b v02-11 一物体自地球表面以速率 v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为 f = km/2, 其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度 的值。解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图）(1)-mg-k mvy0dy2 dv mvdv=m-=,dt dyv vdv1y 2kln(,2% g kv,2g kv12 )g kv0物体达到最高点时,.1 .h=ymaxln(2kg kVov= 0,故2-)0hdyv=v 0(12 dv mvdv(2)下洛过程中， -mg+kmv =m-=dt dyv vdv0 g kv2,2kv 0)

11、1/2g212长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承受的最大张力为20N5试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断?I mv0 0解：由动量定理得I ,如图受力分析并由牛顿定律得,Vo 一mT mgT mgmg2mvol2mv0 020l12 /1 20I 2.47Ns2-13 作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100nl问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计）解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高

12、点得速度得水平分量为V0x X1 X1 g/2h（1）物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为y1=h-V1t- 2gt2当碎片落地时，y1=0,t=t 1,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为1 . 2h-7gtv一2（2）t 1又根据动量守恒定律，在最高点处有1mv0x=二 mv2x2(3)10二 - - mv112mv2y联立以上（1-（4）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为V2x= 2v0x= 2x1 栋 100ms 11 . 2h- -gtV2 yV1-2 14.7ms1t1爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为乂2= x1+v2xt212y2=h+V2yt2-2gt2

13、落地时y2 0,由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置x2=500m214质量为M的人手里拿着一个质量为 m的物体，此人用与水平面成。角的速率vo向前跳去。当他达到最高点时， 他将物体以相对于人为 u的水平速率向后抛出。问：由于人 抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？(假设人可视为质点)解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有m+M v0 cosMv m(v u)式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v- u为抛出物对地面得水平速率，得,muv = v0cos +m+M人的水平速率得增量为muv= v-v0 cos =m+M而人

14、从最高点到地面得运动时间为,vosint=g所以人跳跃后增加的距离为,mvosinx = vt =u(m+M)g2-15铁路上有一静止的平板车，其质量为M,设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m,相对平板车白速度均为 u。问：在下列两种情况下，(1)N个人同时跳离；(2) 一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少 ?所得的结果为何不同，其物理原因是什么？解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系 统在该方向上满足动量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v,则由动量守恒定律得0= Mv+Nm (v

15、u)v= Nmu/(Nm+M) (1)又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有 n个人时的速度为 vn,跳下一个人后的车速为 vn 1,在该次跳车的过程中，根据动量守恒有(M+nrm vn=M vn 1+(n-1)m v n 1+m(vn 1-u) (2)由式(2)得递推公式vn 1=vn+mu/(M+nm)(3)当车上有N个人得时(即N= n), vn= 0；当车上N个人完全跳完时，车速为 v外根据式(3)有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2= v N-1+mu/(N-1)m+M)vo= v 1+mu/(M+nm)将上述各等式的两侧分别相加，整理后得,Vo=n=1muM+

16、nm由于 M nm M Nm,n 1,2,3.N故有，v0 f v即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N人同时跳下车的末速度。这是因为N人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的 速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大 ,其车速也大。2-16 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是 A船停了下来，而 B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为 500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）解：设A、B两船原有的速度分别为 vA和

17、vB,传递重物后的速度分别为v A和v B,由动量守恒定律可得(mA m) vA+mvB=mAvA(mB m) vB+mvA=mbVb将vA= 0ms ! vB= 3.4ms 1代入上面两式，可解得-mBmvBvA=(mB m) (m-TaZJ =A m) m0.4msvB=Tb(mA m) EbVb。 im)皿 m) = 3.6ms217 一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高 1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0,拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为G= mg- g

18、gy其中“=0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为10W 0 （mg - gy） dy = 882J218如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m和n2o问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力 F时，根据受力平衡有Fi=Gi F(1)当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，1 .21 .2,kyi -mgyi=2ky2mgy?y1和丫2为吊、N两点对原点 O的位移。因为F1= ky ”F2=ky2Gi=m1g上式

19、可以写为，Fi-F2=2Gi(2)由(1和(2)式可得F= Gi G2(3)当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力由式(3)可得F= Gi+G=(mi+m2)g习题2 i8图F2 =G，且,2i9如本题图所示，质量为 m速度为v的钢球，射向质量为 M的靶，靶中心有一小 孔，内有劲度系数为 k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。解：设弹簧得最大压缩量为 x0。小球与靶共同运动得速度为vio由动量守恒定律，有mv (m M )V)又由机械能守恒定律，有i 2 i2 i , 2mv = (m M )vi - kx0222由(i式和(

20、2)式可得:mMxovk (m M )220以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由 v减少到v/2。已知摆 锤的质量为M,摆线长度为l ,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少?习题2 20图解：由水平方向的动量守恒有,vmv=m, MvF=0,为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力 则，n 儿 MV2Mg 产 式中vh为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得12_12-Mv =2Mgl + /Mvh(3)解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为2M v= J5gl m221如本题图所示，一质量为 M的物块放置在斜

21、面的最底端 A处，斜面的倾角为a , 高度为h,物块与斜面的滑动摩擦因数为小今有一质量为 m的子弹以速度V0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有mv 0 cos (M m)%(1)在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面时的速度为v2,并取A点的重力势能为0。由系统的功能原理可得习题221图h 1212u(m+M)gcos(m+M)v2 (m+M)gh- (m+M)sin 22由(1、 (2)式可得v2=J -m-voCOS )2 2gh (ucot +1) ,m+M2-22如本题图所示，

22、一个质量为 m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为M,半彳5为R,内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和 容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？解：根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得mvm MvM 0习题2 22图12122mvm ,mvM mgR （2）式中Vm,VM分别表示小球、容器相对桌面得速度。由式（1）、 （2）可得2MgRVm M mm 12MgRvM 7T 4 IM M m由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂，为此，可改以容器为参考系在容器底部时，小球相对容器的运动速度为vm

23、 vmvM（MMm）2gR 在容器底部，小球所受惯性力为零，其法向方程为2Fn mg m 曾（4）R由（3、（4）式可得小球此时所受到的支持力为2m、Fn mg（3 ） M223如本题图所示，质量分别为m=10.0kg和nt=6.0kg的两小球A和B,用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在 Oxy平面上，在图示白外力Fi= （8.0N） i和F2=（6.0N） j 的作用下运动。试求：（1）它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。解：（1）选如图所示坐标，则 t = 0时，系统的质心坐标为XC0一mim2x20 i.5mm2m2yc。 yi0i.9mmi m

24、2对小球与杆整体应用质心运动定律得FxFi(mim2)Fy F2 (mimb)dvX dt dvy dtQ)根据初始条件,分别对0、12）式积分得t0F1出VX0 (mi m2)dvX，vxFitt0F2dtV、y ,g m)2)dVy,vym1m2F2tm2根据初始条件t = 0时，xXC0 , yyc0对(3)、（4）式再次积分可得XcXc0dXCFitXcXC0Fitm22)dt2(mi m2)1.5m (0.25m s2 2)tycycy dycyc0yC 0F2t)dtm2F2 i.9m (0.i9m s 2(mi m2)22)t（2）利用动量定理并考虑到系统从初始状态为静止,可得t

25、 r r2 r0(Fi F2)dt (8.0kg m s )ti (6.0kg m s -)tj2-24质量为2Xi0 3kg的子弹以500m s i的速率水平飞出，射入质量为 ikg静止在 水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为 100m s1而木块向前滑行了 0.2m。求：（i） 木块与平面间的摩擦系数 （2）子弹动能和动量的减少量。解：(1在水平方向系统动量守恒,mvo mv(/ Mv, v 0.8m/s木块向前滑行了 0.2m,由动能定理得uMgs1 2Mv 21 1 0.82u 2； 0.1631 9.8 0.2习题225图vm2mm+Mm- Mm+M226 一质量为 m的运动粒子

26、与一质量为km的静止靶粒子作弹性对心碰撞，求靶粒子1cleoc c(2)子弹动能的减少量 Ek=-mvc2- -mvc2=2 10 3 0.5 (10025002)=240J子弹动量得减少量 p=mv0 mv0= 2 10 3 (100 500) =-0.8kgms-1225如本题图所示，一质量为 m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现 将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后 m和M的速率。解：由机械能守恒得，碰前m的速度为gmv2=mgl, v=/2gl由碰撞前后动能和动量守恒得12Mv M 2mv= mv Mv Mm- M v

27、 -vm+M获得最大动能时的 k值。解：由动量和动能守恒得,mv= kmv mv12 1,2 12mv = - kmv mv (2)222由(1 得 v =v-kv由(2)得1Ek - kmvk 2121-mv - - mv22=mkvvlk2mv 2=V 2mkEkkEkEk2mv2EE1当k=1时，Ek取最大值227质量为m的中子与质量为 M的原子核发生弹性碰撞，若中子的初动能为日，求证碰撞时中子可能损失的最大动能为4mM 0 E0。(M m)2解：设弹性碰撞前中子的动量为P0,碰撞前中子的动量为 P1,原子核的动量为P2,由动量守恒的标量式可以得 2_2_2P2 P2 Po2 2H P0

28、 cos , 2_2_2P2 2mE1,P22 2ME2,P02 2mE0,E0 E1 E2ME2 mE1 mE0 2m, E0E1 cos、2_2 、_2_22_2(M m) E2 4m(M m)E0E2 4m E0 4m E0E1cos22224mME0E2 (M m)2E2 4m2E0E1 sin204mME02(M m)22-28如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B,刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角 应 满足 cos = 1/9 。证明：设球AHU达最低点的速率为v,根据机械能守恒有1 2 -mv2mg2l(1 cos ),所以，v 4gl(1 cos )(1)设碰撞后A, B两球的速率分别为vA,vB，由题意得:e J 0.5 v即vB vA 0.5v(2)A B两球碰撞时水平方向动量守恒:mvB mvAmv(3)由(2),(3)式得3公vb= - v(4)4碰撞后用求机械能守恒，故有12-mvB 2mgl(5)将(1 , ( 4)代入(5)得:1 cos9