高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第11讲函数与方程精选教案理0425469

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1、第11讲函数与方程考纲要求考情分析命题趋势1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解2017江苏卷，142016天津卷，81函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大2函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围分值：58分1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_f(x)0_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_x轴_有交点函数yf(x)有_零点_.(3)函数零点的判定

2、(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0)的零点000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数_两个_一个_无3二分法(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_f(a)f(b)0_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_一分为二_，使区间的两个端点逐步逼近_零点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_f(a)f(b)0_，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点x1第三步，计算f(x1)：若_f(x1

3、)0_，则x1就是函数的零点；若_f(a)f(x1)0_，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若_f(x1)f(b)0_，则令ax1(此时零点x0(x1，b)第四步，判断是否达到精确度，即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)否则重复第二、第三、第四步4有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)()(2)函数yf(x)在区间(a，b

4、)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0.(3)正确当b24ac0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点(4)正确由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间a，b上有且仅有一个交点，故正确2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(A)Aycos xBysin xCyln xDyx21解析ycos x是偶函数，且存在零点；ysin x是奇函数；yln x既不是奇函数也不是偶函数；yx21是偶函数，但不存在零点故选A3函数f(x)2xx32在区

5、间(0,1)内的零点个数是(B)A0B1C2D3解析函数f(x)2xx32显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)f(1)(1)110.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点，故选B4根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为(C)x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析设函数f(x)exx2，从表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程exx20的一个根所在的区间为(1,2)5用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01

6、，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(2,3)_(填区间)解析由f(2)f(3)0可知x0(2,3)一函数零点的所在区间判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断【例1】 (1)函数f(x)1xlog2x的零点所在区间是(C)ABC(1,2)D(2,3)(2)若ab0，f1log210，f(1)100，f(2)12log2210，由f(1)f(2)0知选C(2)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca

7、)(cb)又ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内二判断函数零点的个数判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)2x6ln x，显然f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)40，故f(x)在(1,3)上存在唯一零点，即f(x)在(0，)上存在唯一零点，f(x)共有2个零点三函数零点的应用函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点存在求参数根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：判

8、断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围(2)已知函数零点个数求参数常利用数形结合法(3)借助函数零点比较大小要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小【例3】 (1)若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(B)AB(，1)CD(，1)(2)已知函数f(x)则函数F(x)f(x)a2a1(aR)总有零点时，a的取值范围是(A)A(，0)(1，)B1,2)C1,0(1,2D0,1解析(1)要使函数在(1,1)上存在一个零点，则有f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a或a

9、1，解得a1故选A1函数f(x)ln(x1)的一个零点所在的区间是(B)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析因为f(1)ln 220，所以f(x)在(1,2)上必存在零点，故选B2已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则(A)AabcBcbaCcabDbac解析在同一坐标系中分别画出函数y2x，ylog3x，y的图象，如图，观察它们与直线yx的交点可知abc.3已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数为_2_.解析当x0时，01时，f(x)log2x0，所以f(f(x)1log2(log2x)10，得log2x2，x4；当0x1

10、时，f(x)log2x0，所以令f(f(x)12log2x1x10，得x1，所以函数yf(f(x)1的零点是4,1，共有2个4已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_(，0)(1，)_.解析当a1时，f(x)的图象如图(2)所示图(1)图(2)当b(a2，a3时，函数g(x)f(x)b有两个零点，分别是x1，x2.综上，a(，0)(1，)易错点不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们的图象交点有几个【例1】 已知函数f(x)则关于x的方程(f(x)2bf(x)c0有5个不同实数根的充要条件

11、是()Ab0Bb2且c0Cb2，t20，c0.由t2btt(tb)0，得t1b2，b0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(C)ABCD解析要使函数f(x)在R上单调递减，只需解得a，因为方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，所以直线y2x与函数y|f(x)|的图象有两个交点如图所示易知y|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1，又12，故由图可知，直线y2x与y|f(x)|的图象在x0时有一个交点；当直线y2x与yx2(4a3)x3a(x0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a27a30，解得a1(舍)或a.

12、而当3a2，即a时，直线y2x与y|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a.课时达标第11讲解密考纲本考点考查函数与方程的关系、函数的零点在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等一、选择题1函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是(A)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析f(0)10，则f(0)f(1)20，且函数f(x)x32x1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点2满足方程ln xx40的x0属于区间(C)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析设f

13、(x)ln xx4，因为f(2)ln 2240，故零点一定在区间(2,3)内3f(x)2sin xx1的零点个数为(B)A4B5C6D7解析令f(x)0，则2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数h(x)2sin x的最小正周期为T2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.4已知方程|x2a|x20有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为(B)A(0,4)B(4，)C(0,2)D(2，)解析依题意，知方程|x2a|x2有

14、两个不等的实数根，即函数y1|x2a|的图象与函数y2x2的图象有两个不同的交点如图，则2，即a4，故选B5已知函数f(x)e|x|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(B)A(0,1)B(1，)C(1,0)D(，1)解析因为f(x)e|x|x|e|x|x|f(x)，故f(x)是偶函数当x0时，f(x)exx是增函数，故f(x)f(0)1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(，0)上是减函数，值域为1，)，作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，)，故选B6已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,

15、1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 017内根的个数为(C)A2 015B1 008C2 017D1 009解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)可知函数f(x)的图象关于直线x1对称因为函数f(x)0在0,1内有且只有一个根x，所以函数f(x)0在区间0,2 017内根的个数为2 017，故选C二、填空题7若二次函数f(x)x22ax4在(1，)上有两个零点，则实数a的取值范围为！#.解析依据二次函数的图象有即解得2a0时，f(x)2 017xlog2 017x，则在R上函数f(x)零点的个数为_3_.解析函数f(x)

16、为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 017xlog2 017x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一零点，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.9已知函数f(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是！#.解析依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，方程2xa0，即2xa必有一个根，此时00时，方程x23axa0有两个不等的实根，即方程x23axa0有两个不等的正实根，于是有解得a，因此，满足题意的实数a需满足即0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a

17、)0a2a0，解得0a0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解析(1)x0时，g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e时，yg(x)m就有零点所以m的取值范围是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)12