大一微积分复习资料

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1、大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。1011学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数.本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。.复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、哥函数、指数函数、对数函数、 三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达 式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中.对于对数函数y ln x不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数y ex互为反函数的关系，能熟练将哥指函数作如下代数运算：u v evlnu.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟 习它们的定义域、

2、值域及简单性质，还要熟记它 们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地 分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三.例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初 等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的？sin2 X.y e.y arctan u, u -，v x2 1. v例2. y arc cot x的定义域、值域各是什么？ arccot1=?答：y arccotx 是 y cot x, x (0,)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知y arc cotx的定义域是Df(,)，值域为 Zf (

3、0,).arc cot1 一4四.练习题及参考答案1. f (x) arctan x则f(x)定义域为，值域为f(1) = ； f (0) .2. f (x) arcsin x则f(x)定义域为 ,值域为3f=;f() .arctan(11 x2分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里 层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数 或其线性函数(即简单函数)。解：. y e U, u v 2 , v sin x3.分解下列函数为简单函数的复合:.y e 3x.y ln( x3 1)答案：1. J00 + 0) , ( , ) , , 02242. 1, 1 ,-,-,-,2223.3.y

4、e u , u 3 x.y In u, u x3 1.自我复习：习题一 .(A) 55.、;习题一 .(B) .11.sin x(I ). lim 1x 0 x、1X(n).lim(1一)elim(1x)Xxxx 0记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展 形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(n )的如下扩展形式求1型未定式极第二章极限与连续lim xsin 10,lim(1Xlim(1X一.本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数 的连续性。二.复习要求1 . 了解变量极限的概念，掌握函数 f(X)在X0点有 极限的充要条件是：函数在X0点的左右极限都存

5、在且相等。2 .理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无 穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量 仍为无穷小。例如：sin xlim 0x x)x ek lim(1 kx)Xxx 0k k 1)x e lim(1kx )xxx 05.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点X0处连续的充要条是：函数在X0点极限存在且等于f(X),即：lim f (x)f(x0)X Xq3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时,利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无 穷小代换有: 当(x) 0时，有:si

6、n (x)(x)； tan (x)(x)当分段函数在分段点 x0的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点X0处连续的充要条件则是：lim f (x) lim f (x) f (x0).X XoX x06.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数 f(x)在cos(X)e (x) 1 (x);ln(1 (x)(x);2(x)2(参见教材P79)4.掌握两个重要极限Xo点间断，必至少有下列三种情况之一发生：、f (X)在X0点无定义；、lim f (x)不存在；X X0、存在 lim f(x),但 lim f (x) f (x0).X X0X X0若X0为f(x)的间断点，

7、当lim f (X)及X x0lim f(x)都存在时，称X0为f (x)的第一类间断X X0点，特别 lim f(x)= lim f(x)时(即 lim f (x)x xqx Xqxxq存在时），称Xo为f（x）的可去间断点;,tan xlim f (x) lim1 lim f (x)x 0x 0 xx 0即D也不对，剩下的 B就是正确答案。.由于lim f (x) lim f(x)时称 x0为 f(x)的跳x x0Xx0跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7 .了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数 的性质，特别要知道闭区间上的连续函数必有最大 值与最小值。8 .能够熟练地利

8、用极限的四则运算性质；无穷小 量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教 材P69公式（2.6）;两个重要极限；初等函数的连 续性及洛必达法则（第四章）求函数的极限。. 1 一歹 1代换lim2x 0 sin x应选择D.例3.求极限：1xmoln(1 x2)1 cosxlim2x2Tx2lim 3 1x 0 x2.例题选解例1.单项选择题下列极限中正确的是（limx解：(一)、x 5sin x .A. lim 1x xB.limx.1 sin x1C.lim2sin x ,i 10 xD.xm0tan xx 0时,1 2x2A.低阶无穷小;1 是 sin2 xB.高阶无穷小;C.同阶无穷小

9、，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：.A与C显然都不对，对于 D,记 f (x)tan xI,tan x则 f (x)xtan x1 lim f (x) limx 0x 0tan x,当x 0时,ln(1limx 0x2)一(），cosxln(1 x2)cosxlimx 02x2x2此极限为lim (xlim (1xlimx(1e3.(例2.1型，可用重要极限2)xlimx=lim (1x亳)xx 5x 5 3 x判断函数y判断其类型。3x limx x 53)x2 9-的间断点，并x x 6.lim(x2x 12x 3)x.2 一zx 9 (x 3)(x+3)解：由于 y -x x

10、 6 (x 3)(x 2). x 3, x 2是函数y无定义的点，因而是 函数y的间断点。 (x3)( x3) x36. limlimx 3(x3)(x2)x 3 x25x 3为函数y的可去间断点；x cos(3x) 1tan 3(e2x 1)ln(1 5x2)2.单项选择题.设y (x.3)(x 2),下面说法正确的是 x2 5x 6limx(x 3)( x 3)2(x 3)( x2)limx 2 x 22为函数y的第二类(无穷型)间断。A.点 x 3, x2都是可去间断点;例3.函数f(x)x cos 22xkB.点x 2是跳跃间断点，点 xT八、,C.点x 2是可去间断点，点 x八、,D

11、.点x 2是可去间断点，点 x八、,.下面正确的是 3是无穷间断3是无穷间断3是跳跃间断在点x 0处连续，求常数分析与解：由于分段函数f (x)在分段点tan xB.左右两边表达式相同,因此f (x)在 x0连续的C.充要条件是lim f(x)x 0f(0)k.lim x sinx 00；则0f(x)ym0xcos 代换2ym02xA2x.tan x - lim 不存在;x 0 xD.tan x 23答案：1.同阶而不等价的；出.3 2 ；.一.202.C;.B .自我复习.习题二(A)11. (4). 24.，(4)，.27.(4).28.，.30.37.，. 习题二(B).14.四.练习题

12、及参考答案1.填空.当 x0 时，(ex 1)sin2x 与(J1 x 1)ln(12x)相比，是无穷小；第三章导数与微分.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算 .复习要求1.掌握函数x在x0处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念,x在Xo处的导数的定义式常用的有如下三种形式本题为哥指函数求导，必须用取对数求导法f (Xo)limXf(Xo X) f(Xo)0X原方程两边取对数:limh 0f(Xo h) f(Xo)hln y 、, 3x ln x上式两边对x求导,视y为中间变量：limx x.f(x) f(X0)0 x Xoy 32、3xln x

13、2 .知道导数的几何意义，会求X在处的切线方程。3 .熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握 下列求导方法，并能熟练应用它们求函数的导数： 运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； 复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法。4 .理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导 数。5 .理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法 则求函数的微分。6 .掌握函数可微，可导及连续的关系。三.例题选解注:y3x 3x 3x,3xln x21n12(ln x1)本题除此方法外，也可以:3x ln xe-.73 x ln xe，1 c，(3 ln23x3x-) X例1.求下列函数的导数：2.y f (

14、1+ x ),求 y , y .y = X、3x ,求 y .设 y = etanx,求 dy.y ln(1 x3)，求 y解：、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法, 得：- 22y f (1 + x )(1+x )- 2_f (1 x ) 2x2x f (1 x2).y 2f (1 x2) 2xf (1 x2) 2x2f (1 x2) 4x2f (1 x2)dy(4).tan xetan xe3x21 X36x(1 x3)(tan x)2.sec xdx3x2 3x232(1 X )tan xe2sec x3x(2 x3)23、2(1 X )例2.设 x在X 1处可导，且(1) 2.求li

15、mX 1分析：将结构式：(4 3x)x 1二胪。X在X 1处的导数的定义式理解为(1 W)W其中W为x x 1或x的函数.且当 x 0时，X 0即可.解：(2)讨论f(x)在x 0处的可导性。lxm1(4 3x)x 1(x 1)分段函数在分段点的导数必须用定义求：小f(x) f (0)f () limnx 0 x 03f (1)3(x61)3)x2.1 0 lim xx 0 x 0例3.求曲线3y 3axya3在点0, a 处的切线方程。2a x 1代换lim 2x 0 x2lxm02 x-2x解：显然，点 0, a在曲线上,即存在 f (0)1.现求切线的斜率,即 y (0, a)四.练习题

16、及参考答案1.单项选择题曲线方程两边对x求导:3x2 3y23ay 3axy.设 f(x)2ln(1 x )2X解得 yay2yax卜面说法正确的是(y (0, a)A. f (x)在 x0不连续;切线方程为：y即 y x aB.f (x)在 x0连续,但不可导;C.f (x)在 x0可导,(0)x21D.f (x)在 x0可导,(0)0.例4、设f (x)2.填空题f (x)在 xx0处可导,(x0)1,则试讨论f (x)在x0处的连续性及可导性。分析与解:由已知,f (0) 0 ；(1) limh 0f(Xqh)f(x h) h(1)讨论f (x)在x 0处的连续性。3.求函数的导数或微分

17、:1xxlxm0(x)lim ex 0x21f ln(1 x)(x 1),代换limx0= f (0).f (x)在 x0处连续。ln vx2 1 ,求dy.4.设 y3x cos(xy)确定y是x的函数，求dy,并求出函数在点(0,1)的切线方程。dx5、证明：(1)若f(x)是偶函数且可导，那么f (x)是奇函数，(2)若f(x)是奇函数且可导，那么f (x)是偶函数,答案:1.D.2.23.1 2xx (1In x)(2).ln(11(x 1)21ln(1x)(x 1)2f ln(1x)x.dy -dx .x 1dy 1 y sin( xy)4.dx 3y xsin( xy)注意：洛必达

18、法则只能直接用于求“-”型或0“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“一”型未定0式才能使用法则。洛必达法则可以连续使用 ，当再次使用法 则时，一定要检验法则的条件是否成立，当条件不满足时必须停止使用，改用其他求极限的方法计 算.在求未定式极限时，将洛必达法则和等 价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3 .掌握用一阶导数判定函数单调性的方法 ，并能利 用函数的单调性证明不等式。4 .掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5 .掌握最值的概念及其与极值的关系 ，能熟练求闭 区间上连续函数的最大、 最小值；会求经济应用问 题的最值.如求最大总收入，最大总利润

19、等.6 .掌握函数的凹向，拐点的概念及求曲线凹向，拐点的方法.例题选解例1.求下列极限切线方程：3y x 3.自我复习:习题三(A) 13; 21,，;24.，; 25; 26.，；27.;29.,，；47.，.54.习题三(B)1 ; 3; 11.第四章中值定理与导数的应用一 .本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函 数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数 确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分 析；二 .复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论 ，会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。(1).(2).2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。x e lim

20、x 0limx 0sin x 2x 1x ln(1 x)2sin xx1(3). lim 一 x 0 x解：1ln(1 x)ex sin x 2x limx 0 x ln(1 x)代换(0)x.e lim x 0x.e lim 一x 0sin x 2x2xcosx 22x洛ex=lim 一x 0sin x（不是未定式）例2.求函数J的单调区间和极值, x凹凸区间和拐点。解:函数的定义域为（2）原式为哥指型不定式（0型），利用代数变换：uln u,得:(12x ) 2x x2 2(1 x )1 x2(1 x2)2，limx 02sinxlimx 02si n x In xe2、2(2x) (1

21、x ) 2(1 x ) 2x (1x2)li m 2si n x lnex 0(1 x2)4-2_2x(x 3)其中 lim 2sin x lnx 0x (0)(1lim 2x ln xx 0（代换）(1x)(1 x)/A 2 2(1 x )limx 02ln x11;无不可导点。洛limx 0x1-2 xx(,1)1(1,1)1(1,)y00y极小Z极大列表讨论如下:两驻点分定义域为三个子区间,lim(2x) 0.0).原式=e 12x(x ,3)( x 、3)2 3(1 x ) lxmo1ln(1 x)得x 0, xJ3,无y不存在的点。曲线的= lxmoln(1x) xxln(1x)（通

22、分化为0型） ln(1 x) x=lim x 0 x x（代换）x(,V3)而(V3,0)0(0,/3)3,)y-0+0-0+yI拐点U拐点I拐点U凹向及拐点列表讨论如下:由上面的讨论看出:,1 lim 1-x x 0 2x（洛必达）函数y 下的单减区间为（，1） （1,）; 1 xx=lim x 02x(1 x),1单增区间为1, 1。极小值是y（ 1）1 ,2一，一 1极大值是y(1) -o2L ， 、，-2 7.1F (x) arctan x 1 arcsin 一 x由拉格朗日定理的推论，若能证明曲线y丁的凸区间是(，J3)(0,J3)1x2F (x) 0则 F(x) c,再确定凹区间是

23、(J3,0)(73,)。曲线y的拐点有三个：(,3,二3),1 X24(0,0)，电 )。 4例3.证明不等式1 2(1 x)ln(1 x) x x (x 0) 2分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令c 即可o2证：当x 1时,F (x) 1 (.x211 x2 1f(x) (1 x)ln(1x)F(x) c则问题转化为证f (x) 0 f (0) (x 0)F (1) arctan0即证在x 0时，f(x)单减。1)21)1J) x(f2_2x_2.x2 11-2x1 PIxarcsin11 xf (x) ln(1 x)

24、x 11 xln(1 x) x1xf (x)1 01 x 1 x例5求出函数y2,1上的最大、解：显然函数yx 0时，f (x)单减，有f (x) f (0) 0 f (x)也单减，有 f (x) f (0) 0,证毕。例4.证明：X任意x 1 ,有arctan x2 1 arcsin x 2分析： 本题为恒等式的证明。我们设54x 5x最小值。54x 5x5x3 1在区间5x3 1在闭区间2,1上连续，因而必存在最大、最小值。x1f(5x4 20x3 15x2 5x2(x 1)(x 3)0,x21.1)10, f (0)1,2)内的可疑点为:比较以下函数值,1, f (1) 2, f (2)

25、7arctan、. xarctanC ,并求出常数C.得 fmax(1)2, fmin( 1)10.例6.某食品加工厂生产x单位的总成本为_2C(x) 200 4x 0,03x ,得到的总收益是R(x) 8x 0.02x2,求出生产该商品x单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多 少单位时利润最大。解：.利润函数L(x) R(x) C(x)0.01x2 4x 200边际利润函数L(x) 0.02x 4.当x 300时,L (300)0.02 300 4 2.令 L (x)0.02x 4 0解得：x 200L (200)0.02 0 ,，产量x 200单位时，可获最大利润。注：设函数

26、 y f(x)可导，导函数 f (x)也称为边际函数。四.练习题与参考答案1 .求极限2 1、(1) lim x (1 cos)xx11 lim()x 0 x sin x1 lim(tan x)1nxx 02.证明.当x 1时，有：(x 1)ln x 2(x 1).5.证明当X 0时，有:参考答案：1. (1). 1； (2).0 ；.e.24 .单增区间(，1) (3,)；单减区间(1,1)；极大值y( 1) 14,极小值y(3)18；上凹区间(1+);下凹(凸)区间(-OO 1 );拐点(1 , 2).5 . C 1.2自我复习：习题四 (A)8, 9.，(11)，;14.，；18., ；19. (1) ; 20.，；32.，;37; 41。习题四 (B) 10; 12.、r, 1 2,c、3 证明：cosx 1 - x(x 0)23_24 .求y x 3x 9x 9单调区间和极值，凹凸区间和拐点。