高数D22求导法则课件

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1、目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件解决求导问题的思路解决求导问题的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容目录 上页

2、 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设 则vuvu )() 1 (故结论成立.例如

3、, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu

4、)log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxf

5、h)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,cs

6、c)(cot2xx.tansec)(secxxx目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设

7、,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,

8、小结小结:目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvudd

9、xvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxx axxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例5. 设

10、, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的导数?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf这两个记号含义不同)cos(elnx目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例6. 设, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arshx112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数看参考书自推. 2eeshxxx的反函数双曲正弦目录 上页 下页 返回 结束 高数D22

11、求导法则PPT课件四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC

12、)( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln

13、求.yaaxln先化简后求导目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx

14、221x21x231)2(1xxx目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件2. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求

15、处连续,目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件3. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件4. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f目录 上页 下页

16、返回 结束 高数D22求导法则PPT课件作业作业P 97 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10;11 (3) , (8) ,(10); *12 (4) , (8) ; 14第三节 目录 上页 下页 返回 结束 高数D22求导法则PPT课件备用题备用题 1. 设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2 . 设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可导, 求.y求.y