线性代数冲刺笔记(超好地笔记)

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1、word考研冲刺班笔记数学线性代数理清思路，归纳重点。2010DanielYangtuze University2010/12/28线性代数冲刺笔记【例题1】B，A22ABE，r(AB2BA3A) A1 B2 C3 D与a有关【解】 A(A2B) EA可逆，且A1A2BA(A2B) (A2B)A (A A1 A1A)AB BA那么，AB2BA3A 3AABA(3EB)又，A可逆，知r(AB2BA3A) r(A(3EB) r(3EB)a有|3EB|0，又3EB有二阶子式不得零，从而r(3EB) 2.【评注】此题考查矩阵逆的概念以与矩阵的乘法.设矩阵An阶，Bn阶，假如AB BA E，如此称矩阵A

2、可逆，且B为A的逆矩阵.由此有A A1 A1 A.【例题2】Amn，1，2，t是Ax0的根底解系，是Axb的一个解.(I)证明，1，2，t线性无关.(II)证明Axb的任意一个解都可以由，1，2，t线性表出.【分析】1，2，t是Ax0的根底解系，那么1，2，t必定线性无关，从而证明，1，2，t线性无关可以用定义法。【证】(I)用定义，重组，同乘设 k0k1(1)k2(2) kT(t)0(1)即 k0k1k2kTk11k22kTt0(2)由Ab， Ai0i1，t，用A左乘2，有(k0k1k2kt)Ak1A1k2A2ktAt0即 (k0 k1k2 kt)b0又b0，有k0k1k2kT0(3)带入(

3、2)有 k11k22ktt0，而1，2，t是Ax0的根底解系，那么1，2，t必定线性无关，从而k1 k2 kt0，带入(3)有k00.所以 k0k1k2kt0，1，2，t线性无关.或用秩1，2，t线性无关，是Axb的解不能由1，2，t线性表出.x11x22xtt 无解r(1，2，t)r(1，2，t，)r(1，2，t)tr(1，2，T，)t1r(，1，2，t)t1，1，2，t线性无关.(II)设是Axb的任意一个解，如此是Ax0的解.从而 l11l22ltt .l11l22ltt (1l1 l2 lt)l11l22ltt即可由，1，2，t表出.【评注】此题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的

4、证明.考查了方程组根底解系的概念：设有向量小组1，2，t满足：(1) Ai 0i =1，t，即i 是Ax 0的解.(2) Ax 0的任意一个解都可以由1，2，t表出.(3) 1，2，t线性无关.那么称1，2，t为Ax 0的根底解系.也就是说假如1，2，t 是Ax 0的根底解系，那么1，2，t必满足上述3条。【例题3】Amn，r(A)n，1，2，s是n维列向量.证明：1，2，s线性无关的充分必要条件是A1，A2，As线性无关.【证】必要性用定义设k1A1k2A2ksAs0，即A(k11k22 kss)0.由Amn，r(A)nAx0只有零解.故k11k22kss0，又1，2，s线性无关k0k1k2

5、ks0.从而A1，A2，As线性无关.充分性用秩因为A1，A2，AsA(1，2，s)，所以r(A1，A2，As)r(A(1，2，s)r(1，2，s)由A1，A2，As线性无关知r(A1，A2，As)s.而r(1，2，s)s，从而r(1，2，s)s 1，2，s线性无关.【例题4】设A1，2，3，4，Ax的通解是1，2，1，1 Tk1，3，2，0T，B3，2，1，4，13253，(I)1能否由2，3线性表出？(II)4能否由1，2，3线性表出？(III) Bx求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观

6、察法得到根底解系，注意根底解系是线性无关的.【证】(I) Ax解的结构知r(A)3.由A01322301能由2，3线性表出.(II)设x11x22x33 4由(I)知r(1，2，3)3，而r(1，2，3，4)4，知方程组无解，故4不能由1，2，3线性表出.(III)由A1 22 34，那么B3，2，1，43，2，1，12234 r(B)4.从而nr(B)2.因为3，2，1，1 223413253所以5，3，1，0 T是Bx的一个解.由(I)知132230，从而3，2，1，122 340，用观察法，取另一个向量使得它与2，3，1，0 T线性无关，即3，2，1，122340，所以Bx的通解是5，3

7、，1，0 T k12，3，1，0 T k21，2，1，1 T，其中k1，k2为任意常数.【评注】此题考查了方程组解的结构以与在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得根本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量. 例如此题在选取齐次方程组根底解系时，先由条件得到一个解向量2，3，1，0 T，然后只要另一个解向量的形式为，1，1 T，那么这两个向量必定线性无关，从而可以作为根底解系.【例题5】A 1，2，3，10满足AB0.其中B，求1，2，3的一个极大线性无关组,并用它表出其他向量.【分析】从AB0要得想到两方面的信息：(

8、I) r(A)r(B)n (II) B的列向量均是Ax0的解.【解】由AB0r(A)r(B)3.因为A0，B0知1r(A)2，1r(A)2当k9时，r(B)2，从而r(A)1，此时极大无关组为1.由AB0得(k9)30又k9，故30，301.当k9时，r(B)1，从而r(A)1或2.假如r(A)1，如此极大无关组为1，由1223340假如r(A)2，如此极大无关组为1，21，2必定线性无关，否如此r(A)1【例题6】设A，r(A)2，如此A* x0的通解是_.【分析】假如A为n阶方阵，如此，从而由r(A)2知r(A*)1，又|A|0，得A* AA A*|A|E0 A的列向量是A* x0k1，

9、T k2， T的形式.【解】而由r(A)2知r(A*)1，所以通解由nr(B)312个解向量构成.又|A|0，得A* AA A*|A|E0A的列向量是A* x0解.即 1，0，1 T ，2，1，a T ，3，2，4a T.又2，1，a T 3，2，4a T5，4，3 T，显然1，0，1 T与5，4，3 T线性无关，故k11，0，1 Tk25，4，3 T是A* x0的通解，其中k1，k2为任意常数.【例题7】设1，2，3是Axb的解，r(A)3，假如121，2，3，4 T，2232，3，4，5 T，如此Axb的通解是_.【解】由r(A)3知Ax0的通解由nr(B)431个解向量构成.从而3(12

10、)2(223)是Ax0的解，即1，0， 1，2 T(223)(12)是Axb的解，即1，1， 1，1 T从而，1，1，1，1 Tk1，0， 1，2 T 是Axb的通解，其中k为任意常数.【评注】由非齐次方程组和齐次方程组解的性质知：假如1，2是Axb的解，那么12是Ax0的解.而假如1，2分别是几个解向量的线性组合时，相减时用最小公倍数的方式选择系数做减法.即假如1，2分别是2个和3个解向量的线性组合即112，2345，这里1，2，3，4，5也是Axb的解时，那么3122也是Ax0的解.另外，在这种情况下求Axb的特解，用除法：假如1，2，3是Axb的解，又k11k22k33，那么是Axb的解

11、.即用中解向量的个数去除.因为A(k11k22k33)k1A1k2A2k2A3(k1k2k3) b，所以A(k11k22k33)b即是Axb的解.也可以用减法，设1，2，s是Axb的解，又1k11k22krr，2k11k22ksrsr，那么12是Axb的解.即由s和sr个解向量构成的s(sr)个解向量是Axbr个新的解向量，用上面的除法就可以得到解.特别的，假如r1，例如得到321个解向量就可以直接使用.【例题8】设AA的特征值与特征向量.【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，如此特征值必有重根.|EA|(a)(4)0.(1)假如a0，如此120.对0EA x0，有，从而11，0，1 T，

12、k11，其中k1为任意常数.对4EA x0，有，从而25，4，11 T，k22，其中k2为任意常数.(2)假如a4，如此124.对0EA x0，有，从而31，0，1 T，k33，其中k3为任意常数.对4EA x0，有，从而41，4，1 T，k44，其中k4为任意常数.【例题9】设A是3阶矩阵，且T，ATT.(I)证明 0是A的特征值.(II)证明，是A的特征向量.(III)求二次型xTAx的正负惯性指数.【证】(I)TT.T，T是秩为1的矩阵.从而r(A)r(TT)r(T)r(T)23.即|A|00是A的特征值.(II)A()(TT)()TTTT()，又()0，否如此0TT1，是3维单位列向量

13、.从而是A的属于特征值的特征向量.同样有A()()，且()0，从而是A的属于特征值的特征向量. (III)由(I)、 (II)知A的特征值是：0，又ATA否如此A不是二次型的矩阵p1，q1【例题10】设A是3阶矩阵，1，2，3是3维线性无关的列向量，1是Ax0的解，A2122，A313223.(I)求A的特征值，特征向量.(II)判断A是否和相似？【分析】由A2122，A313223，1是Ax0的解，得到A1，2，3 0，122，132231，2，3.记B，假如1，2，3可逆，如此必有A1，2，3B1，2，31，现在问题是1，2，3可不可逆呢？题目中又给出了1，2，3线性无关，故三阶矩阵1，2

14、，3必可逆，所以A和BA的特征值和特征向量就转为求BA的特征向量为，如此B的特征向量为P1，所以知道了P1，就可以求出.而问A是否和相似，由于已经求出了A的特征值，特征向量，如此可以从相似对角化的充分必要条件给予推断.也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了A和B相似，故假如有B和相似，如此有A是否和相似.【解】(I) A1，2，30，122，132231，2，3.因为1，2，3线性无关，故1，2，3可逆，从而1，2，31A1，2，3B，即A和B相似.由B的特征值为0，2，2B为上三角矩阵，或者用定义，由|EB|(2)200，2，2.知A的特征值为0，2，2.由，k11是A的属于特征值0

15、的特征向量，其中k1为不等于零的任意常数.对于B的属于特征值2的特征向量，有11，2，0T=1，2，3122，k2122是A的属于特征值2的特征向量，其中k2为不等于零的任意常数.(II)由(I)知A只有2个线性无关的特征向量，故A不和相似.【评注】这是特征值与特征向量的另一种考法，由A2122，A313223A1，如果有A1的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以得到相似的信息，而这里题目中又给出了1是Ax0的解，所以可以做分块矩阵的乘法，有A1，2，3 0，122，132231，2，3.记B，假如1，2，3可逆，如此必有A1，2，3B1，2，31，现在问题是1，2，3可不可逆呢？题目中又给

16、出了1，2，3线性无关，故三阶矩阵1，2，3必可逆，所以A和B相似.所以求A的特征值和特征向量就转为求B的特征值与特征向量.记A的特征向量为，如此B的特征向量为P1 ，所以知道了P1，就可以求出.【例题11】设A22A0，r(A)r.(I)证明 A和相似.(II)求|A3E|.【分析】由2200，2.即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析.【证】(I)用秩r(A)rA1，2，n中有r个向量线性无关.由A22AA1，2，n21，2，n1，2，n是A的属于特征值2的特征向量2有r个线性无关的特征向量.由r(A)r知1，2，nr是Ax0的根底解系Ai0i1，2，nr特征值0有nr个线

17、性无关的特征向量.r个nr个故A和相似.(II)由(I)知|A3E|3nr.【评注】假如矩阵A满足f(A)，f(A)为A的多项式，那么A的特征值由f()给出，但是各有几个是不知道的.还需要其他信息加以判断.【例题12】A是3阶矩阵，各行元素之和为2，且AB0，其中B，假如2，3，4T，求An.【解】因为A各行元素之和为2，所以A22是A的特征值，是对应的特征向量，记1.由AB0，有A0，A0，记2，3.处理，4个3维向量必相关.即A的特征值是2，0，0，且0有2个线性无关的特征向量.设x11 x22 x33.x15，x25，x33，5152 33A5A15A2 3A3101AnAn1A10 A

18、n11101n1152n1.【例题13】A，B相似， 求可逆矩阵P使P1APB.【解】因为A和B相似，所以r(A)r(B)a2.又|EA|2(1)00，0，1.对0，有0EA x0，12，1，0T，23，0，1T.对1有EA x0，31，0，0T.令P11，2，3，有P11AP1.由|EB|2 (1)00，0，1.对0，有0EA x0，11，1，0T，22，0，1T.对1，有EA x0，32，1，0T.令P21，2，3，有P12BP2.由P11AP1P12BP2 P2P11AP1 P12B，记PP1 P12，如此PP1 P12为所求.【例题14】1，k，2T是二次型xTAxax12ax22kx

19、322 x1x32 x2x3矩阵A的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型，并写出所用的坐标变换.【解】二次型的矩阵为A.设A，有k(1)(2)2k20k1，带入(3)有12，带入(1)有a0.由|EA|(2)(1)00，2，1.对0，有0EA x0，21，1，0T.对1有EA x0，31，1，1T.因为正定矩阵不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，得1，2，3.那么，令，有xTAxyTy2y12y32.【例题15】n阶矩阵A，B均正定.证明：AB正定的充分必要条件是AB可交换，即ABBA. 【证】必要性A，B，AB正定AAT，BBT，AB(AB)TAB(AB)TBTATBA.充分性A，B正定AAT，BBTABATBT(BA)T，又ABBAAB(BA)T(AB)T，即AB对称.A，B正定可逆矩阵P，Q，使得APTP，BQTQQABQ1QPTPQTQQ1QPTPQT(PQT)TPQT.易验证PQT可逆，实对称，故(PQT)TPQT正定，即AB与正定矩阵(PQT)TPQT相似，而AB与(PQT)TPQT均是实对称矩阵，故AB也与(PQT)TPQT合同，从而AB正定.11 / 11