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1、滚动小专题(八)与四边形有关的计算与证明1(2017广州)如图，平面直角坐标系中O是原点，OABC的顶点A，C的坐标分别是(8，0)，(3，4)，点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，AB于点F，G，连接FG，则下列结论：F是OA的中点；OFD与BEG相似；四边形DEGF的面积是；OD.其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号)2(2016苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC8，BD6，求ADE的周长解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD.AE
2、CD，AOB90.又DEBD，即EDB90，AOBEDB.DEAC.四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，AO4，DO3，ADCD5.又四边形ACDE是平行四边形，AECD5，DEAC8.ADE的周长为ADAEDE55818.3(2017徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若A50，则当BOD100时，四边形BECD是矩形证明：四边形ABCD为平行四边形，ABDC，ABCD.OEBODC.又O为BC的中点，BOCO.在BOE和COD中，BOECO
3、D(AAS)OEOD.四边形BECD是平行四边形4(2017湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DFCE，求证：OEOG；(2)如图2，H是BC上的点，过点作EBC，交线段OB于点E，连接D交CE于点F，交OC于点G.若OEOG.求证：ODGOCE；当AB1时，求HC的长解：(1)证明：四边形ABDC是正方形，ACBD，ODOC.DOGCOE90.OECOCE90.DFCE，OECODG90.ODGOCE.DOGCOE(ASA)OEOG.(2)证明：ODOC，DOGCOE90，OGOE，DOGCOE(
4、SAS)ODGOCE.设CHx，四边形ABCD是正方形，AB1，BH1x，DBCBDCACB45.EHBC，BEHEBH45.EHBH1x.ODGOCE，BDCODGACBOCE.HDCECH.EHBC，EHCHCD90.CHEDCH.HC2EHCD，即x21x.解得x1，x2(舍去)HC.5(2017上海)已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADCD，E是对角线BD上一点，且EAEC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BEBC，且CBEBCE23，求证：四边形ABCD是正方形证明：(1)在ADE和CDE中，ADECDE.ADECDE.ADBC，ADEDBC.BDCDBC.CDB
5、CAD.又ADBC.四边形ABCD是菱形(2)BEBC，BECBCE.设CBE2x，BCEBEC3x，则2x3x3x180，解得x22.5.CBDCDB45.BCD90.四边形ABCD是正方形6(2017宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AECG，BFDH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且FEB45，tanAEH2，求AE的长解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADB
6、C，BADBCD90.又BFDH，ADDHBCBF，即AHCF.在RtAEH中，EH.在RtCFG中，FG.EHFG.同理：EFHG.四边形EFGH为平行四边形(2)在正方形ABCD中，ABAD1.设AEx，则BEx1.在RtBEF中，BEF45，BEBF.BFDH，DHBEx1.AHADDHx2.在RtAEH中，tanAEH2，AH2AE.2x2x.x2.故AE2.7(2017兰州)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形
7、状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长图1图2解：(1)证明：由折叠性质知DBCDBE.四边形ABCD是矩形，ADBC.DBCADB.DBEADB.DFBF.BDF是等腰三角形(2)四边形BFDG是菱形理由：ADBC，DGBE，四边形BGDF为平行四边形又DFBF，四边形BGDF为菱形AB6，AD8，A90，BD10，OBBD5.设DFBFx，AFADDF8x.在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2，解得x.BF.FO.FG2FO.8准备一张矩形纸片ABCD，按如图所示操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N
8、点(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，AC90，ABCD，ADBC.由翻折性质得BMAB，DNDC，AEMB，CDNF，BMDN，EMBDNF90.BNDM，EMDFNB90.ADBC，EDMFBN.EDMFBN(ASA)EDFB.又EDFB，四边形BFDE是平行四边形(2)四边形BFDE是菱形，EBDFBD，BEED.ABEEBD，ABC90，ABE9030.在RtABE中，AB2，AE，BE.ED，AD2.SABEABAE，S矩形ABCDABAD4.S菱形BFDE42.9(2016济宁)如图
9、，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CFCA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明解：(1)四边形ABCD是正方形，AOOC，ABC是等腰直角三角形在ACF中，ACCF，CE平分ACF，AEEF.EO为AFC的中位线CF2EO2.AC2.AB2，即正方形ABCD的边长为2.(2)猜想：EMCN.证明：CFCA，CE是ACF的平分线，CEAF.AENCBN90.ANECNB，BAFBCN.在ABF和CBN中，ABFCBN(ASA)AFCN.BAFBCN，ACNBCN，BAFOCM.四边形ABCD是正方形，ACBD.ABFCOM90.ABFCOM.，即CMCN.由(1)知EOBC，EOMCBM.EMCMCNCN.
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