定积分的应用wul课件

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1、定积分的应用wul第二部分定积分在物理学上的应用 定积分的应用wul一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为q定积分的应用wul例例1.一个单求电场力所作的功 . ror drabr dr112rqkF 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为rrqkWdd2则功的元素为barrqkWd2所求功为rqk1ab)1 1(b aq k处

2、的电势为电场在ar 说明说明:arrqkd2aqkS位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 定积分的应用wulx dx 例例2.体, 求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.x,Sxk由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即Vkp Wd功元素为xF dxxkdSpF 故作用在活塞上的xkbaxxkW d所求功为 baxklnabk lnm3力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 定积分的应用

3、wul例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.oxxxdxm5 d, xx x在任一小区间g上的一薄层水的重力为x d32Wd这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为x x dg950W故所求功为xx dg9g922x g 5 . 112( KJ )设水的密度为05h pg (KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 定积分的应用wul面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hA pP 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为定积分的应用wul小

4、窄条上各点的压强33g2R22xRy例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的)0(Rx RP0利用对称性 , 侧压力元素xxRxdg 222oxyRx222 xR m5Pdxg0arcsin22g4222RRxRxRxR端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 定积分的应用wul,d222xxR ,)(gxR 说明说明: 当桶内充满液体时,RRxxRxRPd)(g222小窄条上的压强为侧压力元素xg故端面所受侧压力为3gR奇函数奇函数)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令21, mmxyRx222 xR xx

5、d定积分的应用wul三、三、 引力问题引力问题质量分别为1m的质点 , 相距 r ,2m221rmmkFr dr二者间的引力 :大小:M方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .定积分的应用wul例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,2l该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图.y2l, dxx x dkF 细棒上小段对质点的引力大小为xmd22xa cosddFFy故垂直分力元素为22dxaxmka22xaa23)(d22xaxamkFdaxox在试计算xFdyFd 223022)(d2lxaxam

6、kFyxxd定积分的应用wul利用对称性利用对称性02222lxaaxamk22412laalmk.0 xF棒对质点引力的水平分力22412llmkFamk2aa故棒对质点的引力大小为, dxx xxFdyFd 223022)(d2lxaxamkFy2ly2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 定积分的应用wuly2l, dxx xaoxxxdx说明说明: balyyyl mkW224d22) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,by22412llmkWdyyl

7、yd则有定积分的应用wulcosd FoxyayFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d22yxFFF引力大小为22ddxaxmkFxFdxm5yFdsind Fl注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 定积分的应用wul四、转动惯量四、转动惯量质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为2r mI ) , , 2 , 1 (,ni mrlii质量为的距离为与轴的质点系21iniirmIr若考虑物体物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .m关于轴 l 的转动惯量为的对应于 d, x x x定积分的应用

8、wul例例6. 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系如图.设圆盘面密度为 .xxd2小圆环质量d,xxx对应于xxId2d3的小圆环对轴 l 的转动惯量为RxxI03d2故圆盘对轴 l 的转动惯量为421R221RMlx x d Roxx)(2RMxx do设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 定积分的应用wuloxRyx的对应于d, xxx 平行 y 轴的细条yId关于 y 轴的转动惯量元素为细条质量:y2xdxx yd22xxRxd2222yI故圆盘对y 轴的转动惯量为x x RxRRd2222xxRxRd42202)

9、sin(tRx令tttRdcossin422402441R )(2RM241RM 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.定积分的应用wul内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.条条、段段、环环、带带、定积分的应用wul(99考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作 x 轴如图.oxxWd400d1m51.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出

10、井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,定积分的应用wul提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉oxxWd400d1m5xxWd )30(50d2克服缆绳重:)s(3x抓斗升至 x 处所需时间 :(J)9

11、1500 xxWxd)202000()30( 504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重: 定积分的应用wult a y t a x33sin, cos xyoAB2. 设星形线2222d)(d23yxsyxkF上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图.syxkd)(2122cosdd FFxsyxxyxkd)(222221sxkdsindd FFysykdsd),(yxtakFx203cos在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.定积分的应用wul同理t ttattad cossin3 )sin(c

12、os3 2222 tttkadsincos32042253ak253akFy2253akF故星形线在第一象限的弧段对该质点的,dsxkyFd;sin,cos33taytax 223022)(d2lxaxamkFysdt a y t a x33sin, cos xyoAB),(yxtakFx203cos引力大小为定积分的应用wulcoscotl xy 锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, xxygdsin02d )coscot(lxx lxg)cos(cos633lgsin0lPcosd Foyxy则其方程为问斜边与水面交成的xm5)cos(cos633l gP定积分的应用wul,0ddP令33arccos00故得唯一驻点 故此唯一驻点0 sincos3 sin2 即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即,),0(2NoImagecoscotl xy cosd Foyxyxm5