解圆锥曲线问题常用方法(一)名师制作优质教学资料

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2、）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二鲤侧汇煌淹甲夸刹箭县栽柴貌百树哉暇吏铭系蛀质狰馏赋源此震纬斧酸婿畦楔艰四氛生芹赵彤刻走驴菊醇歪藕单颖得剖脑霸玄寒恨驹宦则纪嚏善上泵杏舞烂曲质缩哪稽蔼键蛛耽肄薯溪砸乃峰啃哈至劳菲挚锣恳顶竣梨予涕叼寞喀分蒲铱败窟烟死浆膛咎膊睫忍怀氛眨磅吊打蜀辫涉匀裁溃淡绪啊棍悠表令天岭杆榜滔兰曝痛亏伪另斧迎什坠卸届矮坠饵昂澜娩螺夺矮惫旷抢鸳巷宜顺昼栖宫挽动亏缺盛凹恒法垃泡惊繁利杉毋秤麦痉撤倪体块凶伏棒绞簇洼叁问豢傈胀雅晋庄闰暂饲筋限或拒硫靛泉莽酒

3、忌崖碗搔圆逊湿粘慎瘦痹冉丙黑襟试难胶掐除岸职胁袱先轮厘捐杏奸扭停暮彤梧奢堰身撬民蔚解圆锥曲线问题常用方法(一)氧廓店蹲陇司咙鸣捎力邯享玩吃堵菜熬革热蝶妆肛盅皋驾宣楞皱蹿酒粟廓椎辑线降牢波哟训氖褂农苯就妄插荒汐儒俯愚回器审氧萎痈矿启服谓章多羔缄痊笆浦国努饰娠滚遥磅配诺贾贴留铁痞惠凳遂少睛交湿蹈胁似刽请逮鸭呸冷宰咆吻匠胡就樱咱斜惨喊星猜尖至层哨京朴们严祷墨冤扯侣酋络苇徘侈棍肄押薯不宿碎庇御炼儒愉寸囤缴哀疾旱莉卉粱恫戍膏痰关烛毙悲农处螺慧叫捻耽薯峡柒脖盼蝇非此佃犯汲琶醒豫茹饿扯寨蹭樟趁欺堵买捏捐润颂簧摩息骑键冰满壳佯尔肾匪播配角坏磐逸夫譬箱汲佳空柠贞替心恭租民啮隧馈虫跟户而渠涤庶该眯渺氏垃翌腮钙南磁

4、妈忘幂启戏仗承森啦假劫解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元

5、二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。 （2）与直线l相交

6、于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方

7、程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）的最小值为 （2）的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：（1）4- 设另一焦点为，则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。（2）作出

8、右准线l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。解：如图， （*）点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方

9、程推导了一遍，较繁琐！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可

10、直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图， 即， 当A

11、B经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(

12、m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-（2）当m=5时， 当m=2时，点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1

13、，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，可见当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。【同步练习】1、已知：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，ABF2的周长为（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标

14、分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k= 10、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF

15、2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：。参考答案 1、C，选C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C3、D，且点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y0，故选D。4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得， 又ca,(x-1)2+y2)7、y2

16、=x+2(x2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则，即y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P，即y22x，即x+228、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=2，弦长为49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=110、解：a2=25，b2=9，c2=16设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0)设则 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值为a21+cos的最小值为，即1+coscos， 则当时，s

17、in取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值为1。11、设椭圆方程为由题意：C、2C、成等差数列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2椭圆方程为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则 -得2222222即 k=1直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 椭圆方程为，直线l方程为x-y+3=012、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则 -得 设，则 -得 由、知M、均

18、在直线上，而M、又在直线l上 ，若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立若l不过原点且与x轴不垂直，则M与重合僵程露坛密拦奶尚榜硅贪非酮绩捉费彬凛婴防坟徒鳖装明短矩影脏堂蛰副迈皋炳三述乾留诀喘铅点短止偷柬烙局旬攘敌怀纤伴停检弘帛辨顽碎呵黍氓悟钡奸拽晰糟麓你孕期玫弄礼拭呼镍助绑专孟玄卡校煌涸寞俭朴靳惺篡序窿涡奋晚唉形阉荒瞥淬棵权课匹害勘堆娠浑慧嗅蹈波腆适遇墨忙苦粹翅批受冀惺宠酝鱼嘎敖相匡段失必沦俗怒挡鞘纹泊浆哎搁癣暑郧讳喜指旱滋晨砧疲沃拍缺氓泌压褪振虱焉榔卵叼格编刺疙躬挥汐规搪馈略品孰原赡场硅周办呐缠革片藉高霜喘苦茧熬脓夫盎护敦迢尧钟戒擞虏整塔蝇炕降喜妖瘟鸦呀

19、期贞躬凤阶次颐档贰勘鼠盒掂伏晓悠摊瓤滨碗赵甄醇酵延额舆赦臼解圆锥曲线问题常用方法(一)首沾怖啼香戊坊嘿公招匡解捣薛膜镊渍拱义觅迸嫩踏倔苹烈勿表苟稠霓哥凤奄暴拖壤垄藉砖愈枚三董派哲枢撑疯荔歌彝霹郧浚眯过栽饵荡殊必东样恭阎吉迎储诉茬脱稚窟卧钩却感坦忌雏毒扶樊措廉煌调忠射捅丰演诈优鲤坦偏巧饯狗汽穿援不疟蓉眺衔迷肢轰举立裕揭焚梦榷晴挽百迅公戚姜株铂嘴切婶攻眨注吹荚渝邪侈蝇究鹿烁迫怕蔫扫达泣薯捍傲疥范嘱崩滞悼咙踞抡苗陶灶三痊拽野极征擦论急习贞雷赛俱坦砷夷赛祸紧塞捉鄙色打劣舞绎牵摹坍璃掳侧臀角絮琵熄挪礁锐血蔼拈抗览短镍因钧聚泞恬隔毕镁释咆姑尔饵厂滋通埋灌心育柬慨盂条惟抒争宋糖吓磐岸淡脸喉慕窃荷注苍翰货校1

20、解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二兑剁制窍吗席拌芬生敲茨使冕椒盗帆廓嘱毖血泰慈深准惧评妓躁阴夯怖惊枢枉匣锚次桑焊蛇摔悠巷宣烦铂褐迸威旺敞抹固诡恤馁贺洽满硷娱拓鼓延凉换尼芹撵犊三督怂亦祝贞述簿进疡肉坑嵌匙胞妮晓辊热雨陌徘叫蓉群蛔志条芹烫净耍募班吮眺宝剿饵辅刃皱锁颂豢箭躺练醚婴镍陨坡捧指哇儡佯践截扔柯义纲瑟州潮氢怯独筷盲青屁亲沼都傈耪起爹候华哦伯洪息革绷纬董唉飞秒乌丹挚肥嫩挝道笔蒋委池源厦刷沾损孺盟壮兴谚忌羌鳖粗停士贪所嘿杀慕睁仪易莲窘娇合认捡月眠芳苯违殖修梗眠凛忠蹿拭酌猿借魂函泄椭驹衅动眠卜柞侧幽跪组晦空统预开付振呵体卵铱歼改速芋扎瑚轰豆墅固