边际与弹性课件

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1、1/33._)(lnlnln )( . 3 yxoxxyxxfy则则处满足处满足在在若若._, . 1)1(sin2 dyeyx._,)23( . 2 dyfxfy可微，其中2/33._, . 1)1(sin2 dyeyxdxxxedyx)1()1cos()1sin(2)1(sin2 dxxex)1(2sin)1(sin2 dxxex)1(2sin)1(sin2 ._,)23( . 2 dyfxfy可可微微，其其中中dxxf)23(2 dxxf)23(2 dxxfdy)2()23( 3/33._)(lnlnln )( . 3 yxoxxyxxfy则则处处满满足足在在若若xylnlnln xxx

2、y1ln1lnln1 xxxlnlnln1 xxxlnlnln1 一、边际与边际分析一、边际与边际分析二、弹性与弹性分析二、弹性与弹性分析5/33 如果函数 在 处可导，则在 内的平均变化率为 ；在 处的瞬时变化率为 ，经济学中称它为 在 处的边际函数值。)(xfy 0 x),(00 xxx xy 0 xx )()()(lim0000 xfxxfxxfx )(xf0 xx 1 1、 边际概念边际概念6/33（1 1）边际成本）边际成本2 2、 经济学中常见的边际函数经济学中常见的边际函数QQCQQCQCQCQQ )()(limlim)(00称为边际成本。称为边际成本。的导数的导数总成本函数总成

3、本函数)()(QCQC QQCQQCQC )()(含义含义: : 产量在产量在 Q, ,Q+Q 上平均每生产上平均每生产1 1单位产品，单位产品，所增加的总成本所增加的总成本. .7/33，则令0 QQCQ 0lim)(QC 产量为产量为 Q 时的时的边际成本边际成本,较小时当 Q dCC 即即QQCQCQQC )()()(特例特例: :1 Q)()()1(QCQCQC 产量为产量为 Q 时时的的边际成本边际成本产量在产量在 Q 基础上基础上, ,再生产再生产1 1 个个产品产品( (即第即第(Q+1)个个产品产品), ),所增所增加的总成本。加的总成本。8/33边际成本边际成本)(QC 它近

4、似等于在已经生产它近似等于在已经生产Q 单位产单位产品的基础上，再生产品的基础上，再生产1 1 个单位产个单位产品，所需要的成本品，所需要的成本. .即即之之和和与与可可变变成成本本是是固固定定成成本本总总成成本本注注,)()(:10QCCQC)()(10QCCQC )()()()(110QCQCCQC 从而.成成本本是是无无关关的的这这说说明明边边际际成成本本与与固固定定9/33.,100)(5071000)(本本平均单位成本和边际成平均单位成本和边际成吨时的总成本吨时的总成本求产量为求产量为元元的函数的函数是产量是产量吨时的总成本吨时的总成本生产某产品生产某产品QQQCQCQ 例例1 1解

5、解:,100)1(总总成成本本为为吨吨时时产产量量为为);(22001005010071000)100(元元 C:)2(平均单位成本为平均单位成本为);(221002200)()100(吨元 QQCC:)3(边边际际成成本本为为).(5 . 9257)100(100吨元 xQC.,)101(1)100(不含固定成本不含固定成本的追加成本的追加成本吨吨即第即第吨吨为再生产为再生产C 10/33边际收益边际收益它表示销售第它表示销售第(Q +1)个产品所增加的收入近似值个产品所增加的收入近似值. .)(QRR 总收益总收益)(QR 称为边际收益称为边际收益.的导数的导数边际利润边际利润生产并销售生

6、产并销售Q个单位产品的利润为个单位产品的利润为)()()(QCQRQL 边际利润为边际利润为)()()(QCQRQL 它表示销售第它表示销售第(Q +1)个产品所增加的利润近似值个产品所增加的利润近似值. .边际分析：利用边际函数分析经济问题边际分析：利用边际函数分析经济问题. .3 3、边际分析、边际分析11/33经济意义经济意义：如产量已达到：如产量已达到Q，再多生产一个单位产，再多生产一个单位产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润有所增加。有所增加。 000)(,)()()()(QLQCQCQCQR时显然，显然，0)(,)()( QLQ

7、CQR时当经济意义经济意义：再增加产量，所增加的收益要小于所增：再增加产量，所增加的收益要小于所增加的生产成本，从而总利润将减少。加的生产成本，从而总利润将减少。0)(,)()( QLQCQR时当12/33例例2.2. 某商品投市场获得的利润某商品投市场获得的利润 L与该产品日产与该产品日产量量Q吨的关系为吨的关系为)(15003240)(2元 QQQL试确定日产量为试确定日产量为3030吨、吨、4545吨时的边际利润吨时的边际利润, ,并解并解释其含义释其含义解解QQL6240)( )/(60306240)30( 吨吨元元 L)/(30456240)45(吨吨元元 L上述结果表明：上述结果表

8、明：当产量为当产量为3030吨时，再生产吨时，再生产1 1个单位产品，利润大约增加个单位产品，利润大约增加6060元。元。当产量为当产量为4545吨时，再生产吨时，再生产1 1个单位产品，利润大约减少个单位产品，利润大约减少3030元。元。0)40( L可能是最大利润点。可能是最大利润点。13/331 1、绝对改变量与相对改变量绝对改变量与相对改变量定义定义变量变量 t从初值从初值t0 变到终值变到终值 t1 则称则称 t = t1- - t0为变为变量量 t 在在 t0处的处的绝对改变量绝对改变量. . t / t0称为称为 t 在在t0处的处的相对改变量相对改变量. .例如例如 ：某服装原

9、价为某服装原价为200元，现在价格为元，现在价格为150元；元；则降价则降价 p= 50元，这是价格元，这是价格p的绝对改变量，而的绝对改变量，而 p/ p = 0.25= 25%，为，为降降价的百分比价的百分比. .比如：比如：一台冰箱原价一台冰箱原价2000元，现价元，现价1950，则降价则降价 p= 50元，这是价格元，这是价格p的绝对改变量，的绝对改变量，而而 p/ p = 0.025= 2.5%.问那个商品问那个商品降降价幅度大？价幅度大？ 14/33例例3 3 由某百货公司调价前后饰品的销售记录可得其由某百货公司调价前后饰品的销售记录可得其价格价格p和需求量和需求量( (即销售量即

10、销售量) )Q 的有关数据如下：的有关数据如下：调价前调价前调价后调价后单价单价p需求量需求量Q单价单价p1需求量需求量Q1100元元350克克95元元490克克试计算试计算: :价格和需求量的绝对改变量与相对改变量价格和需求量的绝对改变量与相对改变量; ;需求的相对改变量是价格相对改变量的几倍？需求的相对改变量是价格相对改变量的几倍？解解对价格对价格对需求量对需求量),(510095元元 p%);5(05. 01005减减少少 pp),(140350490克克 Q%);40(4 . 0350140增增加加 QQ由由805. 04 . 0 ppQQ即价格变动即价格变动1%1%，则需求量变动，则

11、需求量变动8%8%。15/33定义定义设函数 在点 处可导，且 ，称函数的相对改变量与自变量的相对改变量 之比 为函数从 到 两点间的平均相对变化率，或称为 与 两点间的弹性或弧弹性)(xfy 0 x00 x)()()(0000 xfxfxxfyy 0 xx 00 xxyy 0 xxx 00 xxx 02 2、函数的弹性、函数的弹性16/33定义定义 当 时，如果 的极限存在，则该极限值称为 在 处的相对变化率，也就是相对导数，或称为在 的点弹性。)(xf0 xx 00 xxyy 0 x0 x2 2、函数的弹性、函数的弹性记作记作 0 xxxEyE )(0 xfxEE或或000lim0 xxy

12、yxEyExxx 即000limyxxyx )()(000 xfxxf 17/33很小时，为定值，且当为定值时，当xxEyExxx 00)(000弧弹性 xxyyxEyExx弹性函数的定义弹性函数的定义00( )( , )/( )0limlim/( )( , ).xxyf xa bEyyyyxxf xyExxxxyyyf xa b 一一般般的的，若若函函数数在在区区间间内内可可导导，且且，则则称称为为函函数数在在区区间间内内的的点点弹弹性性函函，简简称称弹弹性性函函数数数数18/33 函数的函数的弹性弹性（点弹性点弹性或或弧弹性弧弹性）与量纲无关，）与量纲无关，函数函数 在点在点 处的弹性处的

13、弹性 反映了反映了 的变化幅的变化幅度度 对对 变化幅度变化幅度 的大小影响，也就是的大小影响，也就是 对对 变化反应的强烈程度或灵敏度变化反应的强烈程度或灵敏度)(xfxEyExxxx )(xfyy )(xfx弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。之比。由弹性的定义知：由弹性的定义知： 平均函数边际函数xyyyxyxEyE19/33需求需求 Q 对价格对价格 p 的弹性的弹性 定义定义3、 经济学中常见的弹性函数设商品的需求量设商品的需求量Q是销售价格是销售价格p的函数的函数Q=Q(p) 则称则称 为该商品在价格为该商品在价格 间的需求弹性

14、间的需求弹性 ppQQ ( (弧弹性弧弹性) ) 。 ),(ppp 20/33定义定义ppQQEpEQEEpppQQppdd 0lim0即即弹性（点弹性），记为弹性（点弹性），记为时的需求时的需求价格为价格为则称此极限为该商品在则称此极限为该商品在之比的极限存在，之比的极限存在，与与时，时，若当若当21/33点弹性的经济意义点弹性的经济意义 由于需求函数通常为价格的减函数故由于需求函数通常为价格的减函数故 ，它表示在价格为它表示在价格为p p时，当价格上涨时，当价格上涨1%1%需求量将减需求量将减少少 ，而当价格下跌，而当价格下跌1%1%时，需求量将增时，需求量将增加加0 dE%dE%dE随着

15、价格的上涨随着价格的上涨 ( (下跌下跌) ,) ,需求量将减少需求量将减少 ( (增加增加) , ) , 即需求量变化方向与价格相反即需求量变化方向与价格相反. .对实际问题可以根据弹性的符号确定变化方向对实际问题可以根据弹性的符号确定变化方向22/33需求弹性的计算方法需求弹性的计算方法 ppQQppQQEppd 00limlimpQQpp 0limQQp QQpEd 23/33例例4 4 已知某商品的需求函数是：已知某商品的需求函数是：试计算需求弹性，并解释其经济意义。试计算需求弹性，并解释其经济意义。peQ1 . 0200 解解QQpEd ppeep1 . 01 . 0200)200(

16、 ppeep1 . 01 . 0200)1 . 0(200 p1 . 0 经济意义：经济意义：当价格为当价格为p 时，若提价时，若提价( (降价降价)1%)1%，则需求量将减少（增加）则需求量将减少（增加）%1 .0%pEd 注：需求弹性反映了需求对价格变动的敏感程度。注：需求弹性反映了需求对价格变动的敏感程度。24/33? RpEd，研究与已知需求弹性对收益的影响需求弹性对收益的影响 设需求函数为设需求函数为 ，)()(ppQpR )(pQQ 则收益函数则收益函数 dRR因为因为E Ed1 1( (高弹性高弹性) ), ,要使要使 R0，必须必须 p0, , 即高弹性时即高弹性时, 应适当降

17、价应适当降价, 薄利多销薄利多销, 使总收益增加使总收益增加;即低弹性时即低弹性时, ,可适当提价使总收益增加；可适当提价使总收益增加；() 0，必须必须 p0无论提价降价无论提价降价, ,总收益不变总收益不变 R 0 0. .)1( pQdRR( () ) =1 1( (单位弹性单位弹性) ). .低弹性商品低弹性商品生活必须品生活必须品高弹性高弹性商品商品奢侈品、有替代品的商品奢侈品、有替代品的商品dE 令26/33例例5.5.某企业根据市场调查，建立了某商品需求量某企业根据市场调查，建立了某商品需求量Q, ,与价格与价格p之间的函数关系为之间的函数关系为 Q=100- -2p试求试求需求

18、弹性需求弹性E Ed；当价格分别为当价格分别为2424元、元、3030元时元时, ,要使销售收入有所增加，应采取何种价格措施？要使销售收入有所增加，应采取何种价格措施？解解 )()(pQpQpEd pppp 5021002当当 p=24 时时92. 0245024 dE因为因为 , , 故应适当提价故应适当提价, , 可使收入增加可使收入增加. .1 dE当当 p= =30, ,5.1305030 dE因为因为 , ,故应采取降价措施故应采取降价措施, , 薄利多销薄利多销, , 可使可使收入增加收入增加. .1 dE27/33pdQdQQpEdlnln 需求弹性计算公式的另一种常用形式需求弹

19、性计算公式的另一种常用形式 dpdQQpQQpEd pdpQdQ pdQdlnln 这种形式主要用于：这种形式主要用于： 当当 Q 只含有乘、除、乘方、开方时。只含有乘、除、乘方、开方时。28/33pdQdQQpEdlnln 如：如：312 pQQQpEd )1(31342)31(2 ppp31 pQln312lnln)2( pdQdEdlnln 31 需求弹性计算公式的另一种常用形式需求弹性计算公式的另一种常用形式 29/33(2) 供给弹性供给弹性.收益的销售弹性(3) 收益弹性收益弹性RPPREPER ddRQQREQER dd收益的价格弹性； QPPQEs dd供给弹性，通常指的是供给

20、的价格弹性。供给弹性，通常指的是供给的价格弹性。设供给函数设供给函数 可导，则供给弹性可导，则供给弹性)(pfQs 30/335 .1 3 .2 例例6.6.已知某品牌彩电的需求弹性的绝对值在已知某品牌彩电的需求弹性的绝对值在1.5 2.3,若生产该品牌彩电的企业计划在元旦春节期若生产该品牌彩电的企业计划在元旦春节期间将价格下调间将价格下调20%20%，则，则销售量预期增长的幅度销售量预期增长的幅度大约是多少？大约是多少？总收益预期增长的幅度大约是多少？总收益预期增长的幅度大约是多少？已知已知 dE2 . 0/ pp?)2( ?)1( RRQQ求求分析：分析：31/33解解: :ppQQEpd

21、 0lim较小时，较小时，当当 p ppEQQd ) 2 . 0(3 . 2, 3 . 2 QQEd当46. 0 0)( dEppQQ) 2 . 0(5 . 1, 5 . 1 QQEd当3 . 0 销量大约增加销量大约增加30%46%30%46%32/33REpQRRd|)|1( )2( QpEpQd|)|1( ppEd |)|1() 2 . 0() 3 . 21 (, 3 . 2 RREd当26. 0 ) 2 . 0() 5 . 11 (, 5 . 1 RREd当1 . 0 总收益大约增加总收益大约增加10%26%10%26%33/33作业：作业：习题习题3-63-6（P132P132） 10; 12