灰色投入产出课件

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1、 在宏观经济分析过程中，来自各种渠道的统计资料、典型调查、生产数据以及实验报告等，其中大量数据是灰色量，因而，所编投入产出表中必然含有各种不同的灰数，此外，作为一个动态的经济系统，投入产出问题中的各种参数也必然是处于不断变化之中，因而这些参数也始终是一个具有上界或下界的灰数，本章把灰色系统理论的方法与投入产出结合起来，研究了灰色投入产出问题，主要内容包括灰色投入产出的基本概念和基本理论、灰色投入产出优化模型、灰色产业关联系数、灰色动态投入产出分析和灰色大道模型等。 111 灰色投入产出的基本概念 定义定义 11.1.111.1.1 设 为j部门消耗i部门产品的价值总量，称为流量矩阵。 定义定义

2、11.1.211.1.2 设 为j部门消耗i部门产品的价值总量， 为j部门的总产出，称为直接消耗系数。 直接消耗系数 的含义是生产单位j产品消耗i部门的数量，它反应了j部门对i部门的依赖程度，越大， 说明j部门与i部门的联系越密切。), 2 , 1,(njixijnnnnnnxxxxxxxxxQ212222111211), 2 , 1,(njixijjxnjixxajijij, 2 , 1,;ijaija 定义定义11.1.311.1.3称为直接消耗系数矩阵。命题命题 11.1.111.1.1 对于A中任意元素 ，有 证明 因j部门的总产出 ，j部门消耗i部门的价值量 ，从而命题命题11.1.

3、2 11.1.2 A中任一列元素之和小于1，即 .证明证明 反设存在k，使 ，由 ，得 。即k部门的总产出 小于或等于该部门消耗各部门产品的价值量。这样，k部门根本无法进行生产活动。所以 是不可能的。由k的任意性，可得 成立。 由于信息获取困难，因此，j部门消耗i部门的价值总量实际上是一个灰数 。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211ijanjiaij, 2 , 1,; 0njiaij, 2 , 1,; 00jx0ijxnjixxajijij, 2 , 1,; 0niijnja1), 2 , 1(111niikakikikxxakniikxx1kx11niikaniijnja

4、1), 2 , 1(1njixij, 2 , 1,),(定义定义11.1.4 称为完全消耗系数矩阵.定义定义11.1.5 称为灰色流量矩阵.当流量为灰数时,显然直接消耗系数 亦为灰数. 定义定义11.1.6 称为灰色直接消耗系数矩阵.命题命题11.1.3 设 为总产出向量, 为最终产品向量, 为新创造价值向量,为价格向量, 为灰色直接消耗系数矩阵,则有 ; （11.1.1）. (11.1.2)EAEC1)(nnijxQ)()(njixxajijij, 2 , 1,;)()(nnijaA)()(TnxxxX,21TnyyyY,21TnsssS,211YAEX1)(2SAEPT1)( 命题命题11

5、.1.4 上述(11.1.1)和(11.1.2)可用方程组的方式表达为 (11.1.3) (11.1.4)命题命题11.1.5 上述(11.1.3)和(11.1.4)可化为 (1.1.1.5) (11.1.6) 式(11.1.5)表明i部门总产出为各部门消耗i部门产品和i部门最终产品之和,通常称为分配方程组.式(11.1.6)表明j部门的总产出为j部门消耗各部门产品和j部门新创造价值之和,通常称为生产方程组.定义定义11.1.7 称 为灰色完全消耗系数矩阵. 灰色投入产出模型反映了经济系统各部门之间以及最终产品与总产品之间、价格与物质消耗、新创造价值之间的灰关系,是研究产业结构、分析经济系统运

6、行机制的基础.1., 2 , 1;)(1nixyxaiijnjij2., 2 , 1;)(1njpspajjiniij1., 2 , 1;)(1nixyxiinjij., 2 , 1;)(21nixsxjjnjijoEAEC1)()(11.2 灰色非负矩阵的P-F定理 上节中讨论的灰色流量矩阵和灰色直接消耗系数矩阵皆为灰色非负矩阵.因而关于灰色非负矩阵的谱半径及特征根的研究构成了灰色投入产出模型求解的理论基础.本节将给出灰色非负矩阵的Perron-Frobenius(P-F)定理的数学证明.定义定义11.2.1 设灰元 ,若 为连续灰数, 则称 为灰元的均值白化数; 为离散灰数, 为灰元 的可

7、取值,则 称为灰元 的均值白化数.(注:若某 为灰元, 则取 .)记 ,称 为 的扰动灰元. 定义定义11.2.2 设灰色矩阵 ,其中灰元 ,记 ,这里 的为灰元 的均值白化数, 是 在 基础上的扰动灰元,则相应地有aaaa,aaaa,1)(21aaa2), 2 , 1(,niaaainiiana11)(kaaaaaakkk,)(kkaaa a )()(,)(ijnnAGAijijijijijaaaa,ijijijaija ijijijija AAA)(nnnnnnijaaaaaaaaaaA)(212222111211nnnnnnijA212222111211)(称 为 灰色矩阵的均值矩阵,

8、为灰色矩阵 在 基础上的扰动灰色矩阵.定义定义11.2.3 ,若 的均值矩阵 则称为 灰色非负矩阵.定义定义11.2.4 ,设 为 的灰特征根, ,则称 为 的谱半径.显然,灰色矩阵的谱半径一般亦为灰元.命题命题11.2.1 ,则 ,即灰色矩阵 之谱半径的均值白化数等于其均值矩阵的谱半径.定义定义11.2.5 , 若 的均值矩阵 满足以下条件 存在,且则称 为灰色M矩阵.A)(AA)(AAnnGA)()(A0A)(AnnGA)(), 2 , 1()(niiii)(Akimaxkk)()(AnnGA)()()( AA)(AnnGA)()(A)(ijaA 1jiaij , 021A01A)(A命题

9、命题11.2.2 ,其均值矩阵 ,则 为灰色M矩阵定义定义11.2.6 ,满足 , 则称 为灰色P矩阵.命题命题11.2.3 , ，则为灰色M矩阵为灰色P矩阵.引理引理11.2.1 设 为灰色非负矩阵,且其均值矩阵 不可约,则 有一个灰色特征根 ,其中 .证明证明 只需证明均值矩阵 有正特征根,考虑集合则S是紧凸集,在S上作映射nnGA)(0A)( AE1)(AnnGAAA)(), 2 , 1(0),(det1nkiiAk)(AnnGA)(jiaij , 0)(AA)(A)()(*AA0)(*AAniiXXXS11, 0XAXAXfSSf)(,: 由 的非负性知 ,从而 为连续映射,由Brou

10、wer不动点定理可知S在映射下有不动点,亦即存在 使得 ,此即: 记 ,则 , 且 引理引理11.2.2 设 为灰色非负矩阵,且其均值矩阵 不可约,则 的任意k(kn)阶主子矩阵为灰色P矩阵.证明证明 先证 的任意k(kn)阶主子矩阵为灰色M矩阵.,设 为 的任意k(kn)阶主子矩阵,作矩阵B, 显然 ,且 ,于是 的主子矩阵 )(A0XASSf:SX *)(XXf*XXAXA*)(XAA *)(XAXA0)(*A)(AA)()(AEA)()(AEAkAAnnkAB0000 BA)()(),()(BAABkAEA)()()()(AAEAAEAkkkk且 由命题11.2.2可知 为灰色M矩阵,再

11、有命题11.2.3知 为灰色P矩阵. 定理定理11.2.1 (P-F定理-1)设 为灰色非负矩阵,且其均值矩阵 不可约,则有以下结论: 有一个灰色特征根 其均值白化数 ; 为 所对应的灰色特征向量,且 , 则其均值向量 ; ; 与 的元素 按相同方向漂移； 是 的“单根”.1)()()(AAAAkk)()(kkAEA)()(kkAEA)(AA1)(A)(*A0*2)(*X)(*A*)(XXX0*X3)()(*AA4)(*A)(ijA ij5)(*A)(A证明证明 是引理11.2.1和命题11.2.1的直接结果. 视引理11.2.1证明中的集合S为特征向量 的均值向量集合.由 ,知 . 设 不成

12、立,不妨假定 ,其中 ,由 ,将作相应的分块得 , 但 . 所以 ,此 与不可约矛盾，这就表明必有 . 设 为 的任一特征根, 为 所对应的特征向量, ,写成分量的形式两端同时取均值白化数,有12)(XSX *0*X0*XTXXX,*2*1*0, 0*2*1XX*)(XAXA*2*1*2*122211211)(XXAXXAAAA0*121XA0, 0*121XA021AA0*X3)()(A)(X)( )( )( )( )XAX niXXjnjiji, 2 , 1 );()()(1niXaXnjjiji, 2 , 1 ;1再取其绝对值 记 则有 (11.2.1)又有 非负, 不可约,知 且不可约

13、.注意到 ,得 用 在式(11.2.1)两边作内积,有由 知 ,又 任意,所以 为 的谱半径. 只需证 的均值白化数 为的均值白化数的增函数.设 、 皆为非负矩阵, 其均值矩阵 、 都不可约且 。由 、 可知， 、 分别有灰色特征根 、 ，其对应的特征向量为 、 满足),2,1( 11niXaXaXnjjijnjjiji0),(21TnaXXXXaaXAX)(AA0TA)()(*AAT*)(XAXATTX*)()()(*aTaTTaTaTaTXXAXXAXAXXXXX0*aTXX)(*A)()()(*AA)(A4)(*Aij)(A)(AAAAA 12)(A)(A)(*A)(*A)(*X)(*X

14、*( )0,A*()0,A*0,X 0*X再由 及 得 (11.2.2)在式（11.2.2）两边以 作内积,并注意到 ,于是有因为 ，所以 . 由 和引理11.2.2知， 为灰色P矩阵，因.作多项式 ： ，求导可得这就证明了 是 的“单”根.*XAXA*)(XAXA*)(XAXATX*)()(*AAT)()()(*XXAXXAXAXXXATTTTT0*XXT)()(*AA53)()(*kkAEA0)()(det*kkAEA)det()(AEf( )det(),kkfEA0)det()(*kkAEf)(*A)(A定理11.2.2(P-F定理2)设 为灰色非负矩阵,则 有一个灰色特征根 ，其均值白

15、化数 . 若 为 所对应的特征向量，且 ，则 . . 当 的任意元素 漂移时， 或则不变，或则按相同方向漂移. 证明证明 若均值矩阵 不可约,结论自明. 设 可约，则 可表示为 其中 或是0方阵，或为不可约方阵， 。注意到 ， ， ， 即得证，下面证明 。作矩阵 )(A1)(A*)(0*2)(*X)(*A*)(XXX0*X)()(*AA34)(Aij)(*AAAArrAAAA2211iiAri, 2 , 1 )(max)(*1*iiriAA13420),(ijaA则 ， 不可约，所以存在 ,它所对应的特征向量 ，于是有 （11.2.3）取序列 ， ，对应序列 , 由S的紧性可知存在子列所以不妨

16、设 ，对式（11.2.3）取极限得 且0AA0)(*A1, 01*niiXXXSX*)(XAXAi)(0iiSXi*SXiXXXkkiki*),(,0*X*0limXX*)(XAXA0*X11.3 灰色感应度系数与影响力系数一、灰色感应度系数与影响力系数一、灰色感应度系数与影响力系数 国民经济各产业的发展是相互关联的，产业间的依存、关联关系可以用投入产出表来研究。本节介绍灰色感应度系数、影响力系数等一系列重要的系数，以便将投入产出表用于产业结构分析。 定义定义11.3.1 灰色投入产出模型中 ， 称作逆阵系数。 定义定义11.3.2 设 为灰色完全消耗系数矩阵，则 （11.3.1）称为i部门的

17、灰色感应度系数。)()()(1YAEX1)( AE)()()(1ijcEAEC ninjijnjijicncu111)(1)()(定义定义11.3.3 设 为灰色完全消耗系数矩阵，则称为j部门的灰色影响力系数。 i部门的灰色感应度系数 反映了各部门产出增加对i部门产出的影响程度，j部门的灰色影响力系数 反映了j部门需求增加对其它各部门产出的影响程度，我们可以利用 、 研究各部门之间的关系。二、其它派生系数二、其它派生系数 在灰色投入产出分析中，经常用到的还有其它一些系数，此处仅给出其定义。 定义定义11.3.4 当j部门增加单位最终产品时，引起每个部门增加相应产值的合计数，称为灰色带动系数，用

18、 表示 (11.3.3)其中 .因此 为完全消耗系数矩阵第j列列和，它反应了j部门最终产品增加对其它部门的带动作用。)()(ijcC ninjijniijjcncv111)(1)()()(iu)(jv)(iu)(jvjdniijjcd1)()(EAEcCij1)()()()(jd定义定义11.3.5 为实现每个部门增加单位最终产品,要求i部门增加的产值称为灰色制约度系数,用 表示,即 (11.3.4) 为完全消耗系数第i行行和,它反应了i部门对其它部门的制约程度. 定义定义11.3.6 当j部门增加单位最终产品时, 引起每个部门增加相应的净产值的合计数,称为灰色诱发经济效益系数，用 表示，即 （11.3.5）其中 为i部门的净产值率，它反应了j部门最终产品增加对其它部门经济效益的诱导作用。)(iznicznjiji, 2 , 1 ;)()(1)(iz)(jpnjvcpiniijj, 2 , 1 ;)()(1iv