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1、高考数学 高频考点归类分析 几何证明（真题为例）几何证明 典型例题: 例1. (2012年广东省理5分)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足?ABC=30?，过点A做圆O的切线与OC的延长线交P，则PA= ? 。 【答案】3。 【考点】切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。 【解析】连接OA，则由AP是圆O的切线得OA?AP。 ?ABC=30?，?AOC=60?，?APO=30?。 PAPA=3?，。 tan3?=AOCOA例2. (2012年湖北省理5分)如图，点D在?O的弦AB上移动，=4，连接，过点作的垂线交?于点，则的最大值为 ? 。 ABODDODOCCD 【答案
2、】2。 【考点】动点问题，勾股定理，垂线段的性质，垂径定理。 OC【解析】连接， ODCD,?，22CDOCOD=,?。 OC?线段长为定值(圆的半径)， CDOD?要使最大，即要最小。 根据垂直线段最短的性质和垂径定理，当点为的中点，即点C与点重合时DABB最小。 OD1?CD的最大值为。 CDAB=2,2湖南省理5分)如图，过点的直线与圆相交于，两点.若=1，=2，例3. (2012年POABPAABPO=3，则圆的半径等于 ? . O【答案】6。 【考点】割线定理。 【解析】如图，设PO交圆O于C，D，设圆的半径为，由割线定理得 rPAPBPCPD, ，即， 1(12)(3)(3)，,，
3、,rr解得，r,6。 陕西省理5分)如图，在圆中，直径与弦垂直，垂足为，例4. (2012年OABCDEEFDB,AB,6垂足为F，若，则 ? AE,1DFDB,【答案】5。 【考点】垂径定理，相交弦定理，射影定理。 AB,6BE,5【解析】?，?。 AE,1?直径AB与弦CD垂直，?根据垂径定理，得DE=CE。 2DE,5 ?根据相交弦定理，得，即。 DEAEEB,52RtDEBD在中，根据射影定理，得。 DFDBDE,5ACAC例5. (2012年天津市文5分)如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与ABB的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点CDBDEAB3,AF,3,则
4、线段CD的长为 ? FFB,1EF,24【答案】。 3【考点】与圆有关的比例线段。 【分析】如图，连接，则?1=?2，?2=?。 ABCBE, CBBFCBCF,CBF?，?=?，?,ABC。?。 ，,，A1BB, ABBCABAC代入数值得=2，=4。 BCACACAF4,又由平行线等分线段定理得，解得=。 CDCDFB3例6. (2012年广东省文5分)(几何证明选讲选做题)如图，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，若，则AB= ? ( ，PBA,，DBAADmACn,mn【答案】。 【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。 【解析】由弦切角定理知: , ，,，PBAACB又?
5、，?。 ，PBA,，DBA，,，DBAACBmAB,ABDACB?mn又?，,，AA，?。?,解得AB=。 ,ABn,ABC例7. (2012年全国课标卷理10分)如图，分别为边的中点，直线DEDE,ABAC,ABCCFAB/交的外接圆于两点，若，证明: FG,(1);(2) CDBC,BCDGBD?【答案】证明:(1)连接AF， A,ABC?分别为边的中点， DE,ABAC,?DEBC/。 FED又?CFAB/，?四边形是平行四边形。 BCFDG?CF。?CF。 BDDACB?四边形是平行四边形。?CDFA,。 DCFA又由CFAB/和圆的对称性，得四边形是等腰梯形，DCFA?BCAF,。
6、CDBC,?。 DEBC/CFBG,(2)?，?四边形是等腰梯形。?。 BCFGCDCBCFBDBG, 又?=，?。?。 BD,BDBGDEBC/AFDC/ 又?，?。 ，,，,，BCDCDFAFD又?(同弧所对圆周角相等)，?。 ，,，AFDGBD，,BCD，GBD,BCDGBD? ?。 【考点】平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆的对称性，等腰梯形的性质，平行的性质，圆周角定理，相似三角形的判定。 【解析】(1)根据三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质，经过等量代换可证。 CDCB(2)根据相似三角形的判定定理，由和可证。 ，,BCD，GBD,BDBG/例8.
7、(2012年辽宁省理10分)如图，?O和?相交于两点，过A作两圆的切线分别OAB,交两圆于C， D两点，连接DB并延长交?O于点E。证明 (?)ACBDADAB,; (?) ACAE,。 【答案】证明:(I)?AC与?O相切于点A，?。 ，,，CABADBACAB同理可得。?。 。，,，ACBDAB,ACBDAB?,ADBD?ACBDADAB,。 (II)?AD与?O相切于点A，?。 ，,，AEDBADAEAB，?。?。又?，,，ADEBDA,EADABD?,ADBD?。 AEBDADAB,由(I)的结论ACBDADAB, 可得ACAE,。 【考点】圆的基本性质，圆的切线的性质，相似三角形的判
8、定和性质。 ，,，,，CABADBACBDAB，【解析】(I)利用圆的切线的性质得，从而有ACAB，根据相似三角形对应线段成比例得，由此得到所证。 ,ACBDAB?,ADBD(II)利用圆的切线的性质得，又，可得，,，AEDBAD，,，ADEBDAAEAB，根据相似三角形对应线段成比例得，即，再,EADABD?AEBDADAB,ADBDACBDADAB,ACAE,结合(I)的结论可得。 DE,例9. (2012年江苏省10分)如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，ABABOACAEDE,连结BD并延长至点，使，连结( CBDDC,求证:( ，,，EC【答案】证明:连接。 AD0 ?是圆的直径
9、，?(直径所对的圆周角是直角)。 ，,ADB90ABO?(垂直的定义)。 ADBD,又?，?是线段的中垂线(线段的中垂线定义)。 ADBDDC,BC?(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)。 ABAC,?(等腰三角形等边对等角的性质)。 ，,，BCDE,?为圆上位于异侧的两点， 又AB?(同弧所对圆周角相等)。 ，,，BE?(等量代换)。 ，,，EC【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 ，BE和【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，,，EC相等;另 一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上ABADOBDDC,BC的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。 ，,，BC本题还可连接，利用三角形中位线来求证。 OD，,，BC例10. (2012年北京市理5分)如图. ?ACB=90。CD?AB于点D，以BD为直径的圆与BC【 】 交于点E.则A. CE?CB=AD?DB B. CE?CB=AD?AB C. AD?AB=CD ? D.CE?EB=CD ? 【答案】C。 【考点】射影定理。 【解析】由射影定理可得AD?AB=CD ?。故选C。
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