导数应用习题课件

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1、导数应用习题课导数应用习题课一、基本内容一、基本内容二、例题选解二、例题选解洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 Cauchy中值定理中值定理Taylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容定义定义 这种在一定条件下通过分子分母

2、这种在一定条件下通过分子分母分别求导分别求导再再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则法则.型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 关键关键 : 将其它类型未定式化为洛必达法则可解将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型决的类型 .),00()( 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.1、洛必达法则、洛必达法则定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在可

3、可导导内内上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法2、导数的应用、导数的应用(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值是函数的局部性概念，可能的极值点极值是函数的局部性概念，可能的极值点为驻点和不可导点为驻点和不可导点驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.步骤步骤 :;)()()1及不可导点及不可导点或或求导数求导数xfxf ;0)()2的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)( )()3判判断断极极值值点点在在该该点点的的符符号号或或的的正正负负号号在在驻驻点点或或不不可可

4、导导点点左左右右检检查查xfxf .)4 求求极极值值步骤步骤 :1) 求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2) 求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个小那个就是最小值那个就是最小值;注意注意 :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题可能的最值点为临界点与区间端点。可能的最值点为临界点与区间端点。实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意 :1)建立目标函数建立目标函数;2)求

5、最值求最值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻定理定理;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf (4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.利用函数的二阶导数及三阶导数符号判定。利用函数的二阶导数及三阶导数符号判定。注意：注意：极值点

6、、最值点、拐点的关系与区别。极值点、最值点、拐点的关系与区别。.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘曲曲率率圆圆半半径径.30.1,1 kk例例1.65,6sinln的的正正确确性性上上在在验验证证罗罗尔尔定定理理对对 xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上连续上连续且在且在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并并且且2ln 二、例题选解二、例题选解.65,6sinln的的条

7、条件件上上满满足足罗罗尔尔定定理理在在函函数数 xy, 0cot xy由由内内显显然然有有解解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.lim ) 1 (21xxxe求极限例例2解解 texettxx2201limlim . 012lim20 ttte210sinlim (2) xxxx 解解210sinlimxxxx 61 e xxxxesinlnlim210 xxxxelnsinlnlim210 xxxxxe110212lim (3) 解解 12ln1lim120 xxxexxe原式原式 221ln1lim120 xxxexxexx

8、xxexxxxxxee 11lim2221lim201202e 1lim (4) 00 xxxx解解 11lim00 xxxxxxxxxexlnlim0000lim , 12000011lim1lnlim xxxxxxee0limlnlim0000 xxxxxxxex2()(lim000）hxfhxfh 200000()(2)(lim (5) hhxfxfhxfxfh）存存在在， 解解hhxfhxfh2()(lim000）原原式式 )(0 xf )(2()()()(lim000000 xfhhxfxfxfhxfh ）例例3.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的的次次数数为

9、为分分子子关关于于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原原式式.21 内内增增。在在试试证证为为增增函函数数且且可可导导内内在在上上连连续续在在设设), 0()(:,)(,), 0(, 0)0(,), 0)( xxfxffxf例例4证证), 0(21 xx定定理理条条件件上上满满足足与与分分别别在在 Lxxxxf, 0)(2110)()( , ), 0(11111 xfxfx 使使得得)()()( ),(12122212xfxfxxfxx 使使得得21 且且)()(,)(21

10、ffxf 有有增增由由0)()()(111212 xxfxxxfxf即即 0)()()()(112121112 xxxxxxfxxfxf0)()()(1122112 xxxxxfxxf0)()()(112211122 xxxxxxxfxxf0)()( , 0, 0,11221221 xxfxxfxxxx所所以以由由于于另证另证), 0(,)()( xxxfxF设设2)()()(xxfxfxxF 则则2)0()()(xfxfxfx ), 0(,)()(2xxfxxfx )()(), 0(,)(xffxxf 故故增增由由于于)., 0(, 0)( xxF即即.), 0()(单增单增在在则则 xxx

11、f.)()( ),(,:),(,0)(,0)()(,),(,)(cffbaRcbaxxfbfafbabaxf 使使试试证证且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设例例5证证定定理理条条件件上上满满足足在在设设 RbaxfexFcx,)()(0)( , ),( Fba使使得得0)()( fefcecc即即0)()(, 0 fcfec故故由由于于cff )()( 即即.,12并并作作函函数数的的图图形形渐渐近近线线拐拐点点区区间间凹凹凸凸极极值值的的单单调调区区间间求求函函数数 xxxy例例6解解:)1(定义域定义域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇

12、函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得得可可能能拐拐点点的的横横坐坐标标,lim)3( yx;没没有有水水平平渐渐近近线线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜渐渐近近线线为为曲

13、曲线线直直线线yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为驻点驻点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极极大大值值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐拐点点为为xyoxy 1 1作图作图内内最最多多只只有有一一个个实实根根。在在试试证证且且内内可可导导在在设设),(0)(:,0)()(,),( )( xfxfxfxf例例7. 证证只需

14、判断只需判断 f ( x ) 的单调性即可的单调性即可.构造函数构造函数).,(),()( xxfexFx )()()(xfxfexFx ).,(, 0 x.),()(内连续单调增内连续单调增在在xF.),(0)()(内内最最多多只只有有一一个个实实根根在在 xfexFx).,(, 0 xex而而.),(0)(内内最最多多只只有有一一个个实实根根在在故故 xf)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数例例8证证,1 , 00 x设设有有展成一阶泰勒公式展成一阶泰勒公式处把处把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (1) (2),),1()0(ff 注注意意到到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又又由由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可可知知命命题题成成立立的的任任意意性性由由 x