数学大事年表

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1、n数学发展至今，不知道经历了多少数学发展至今，不知道经历了多少人的呕心沥血，现在把数学历史上人的呕心沥血，现在把数学历史上发生的大事年表列出：发生的大事年表列出： n约公元前约公元前3000年年 埃及象形数字埃及象形数字 n公元前公元前2400前前1600年年 早期巴比伦泥版早期巴比伦泥版楔形文字，采用楔形文字，采用60进位值制记数法。已进位值制记数法。已知勾股定理知勾股定理 n公元前公元前1850前前1650年埃及纸草书年埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用用10进非位值制记数法进非位值制记数法 n公元前公元前1400前前1100年年 中国殷墟甲骨

2、文，中国殷墟甲骨文，已有已有10进制记数法进制记数法 n周公周公(公元前公元前11世纪世纪)、商高时代已知勾三、商高时代已知勾三、股四、弦五股四、弦五 n约公元前约公元前600年希腊泰勒斯开始了命题年希腊泰勒斯开始了命题的证明的证明 n约公元前约公元前540年年 希腊毕达哥拉斯学派，发希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现现勾股定理，并导致不可通约量的发现 n约公元前约公元前500年年 印度印度绳法经绳法经中给出中给出2相当精确的值，并知勾股定理相当精确的值，并知勾股定理 n约公元前约公元前460年年 希腊智人学派提出几何作希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角

3、和二图三大问题：化圆为方、三等分角和二倍立方倍立方 n约公元前约公元前450年年 希腊伊利亚学派的芝诺提希腊伊利亚学派的芝诺提出悖论出悖论 n公元前公元前430年年 希腊安提丰提出穷竭法希腊安提丰提出穷竭法 n约公元前约公元前387年年 希腊柏拉图在雅典创办希腊柏拉图在雅典创办“学园学园”，主张通过几何的学习培养逻，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力辑思维能力 n公元前公元前370年年 希腊欧多克索斯创立比例论希腊欧多克索斯创立比例论 n约公元前约公元前335年年 欧多莫斯著几何学史欧多莫斯著几何学史 n中国筹算记数，采用十进位值制中国筹算记数，采用十进位值制 n约公元前约公元前300年年 希

4、腊欧几里得著希腊欧几里得著几何原几何原本本，是用公理法建立演绎数学体系的，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范最早典范 n公元前公元前287前前212年年 希腊阿基米德，确希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想推测问题答案，隐含近代积分论思想 n公元前公元前230年年 希腊埃拉托塞尼发明希腊埃拉托塞尼发明“筛法筛法” n公元前公元前225年年 希腊阿波罗尼奥斯著希腊阿波罗尼奥斯著圆锥圆锥曲线论曲线论 n约公元前约公元前150年年 中国现存最早的数学书

5、中国现存最早的数学书算数书算数书成书（成书（19831984年间在湖年间在湖北江陵出土）北江陵出土） n约公元前约公元前100年年 中国中国周髀算经周髀算经成书，成书，记述了勾股定理记述了勾股定理 n中国古代最重要的数学著作中国古代最重要的数学著作九章算术九章算术经历代增补修订基本定形（一说成书年代经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元为公元 50100年间），其中正负数运算年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献界数学史上的重要贡献 n约公元约

6、公元62年年 希腊海伦给出用三角形三边长希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）表示面积的公式（海伦公式） n约公元约公元150年年 希腊托勒密著希腊托勒密著天文学天文学，发展了三角学发展了三角学 n约公元约公元250年年 希腊丢番图著算术，处希腊丢番图著算术，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作写符号，是古希腊代数的代表作 n约公元约公元263年年 中国刘徽注解九章算术，中国刘徽注解九章算术，创割圆术，计算圆周率创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等，包含有极限推导四面体及四棱

7、锥体积等，包含有极限思想思想.n约公元约公元300年年 中国孙子算经成书，系中国孙子算经成书，系统记述了筹算记数制，卷下统记述了筹算记数制，卷下“物不知数物不知数”题是孙子剩余定理的起源题是孙子剩余定理的起源 n公元公元320年年 希腊帕普斯著希腊帕普斯著数学汇编数学汇编，总结古希腊各家的研究成果总结古希腊各家的研究成果,并记述了并记述了“帕普斯定理帕普斯定理”和旋转体体积计算法和旋转体体积计算法 n公元公元410年年 希腊许帕提娅，历史上第一位希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人的著作人的著作 n公元公元462年年 中国祖冲之算出圆

8、周率在中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与与3.1415927之间之间,并以并以22/7为约为约率，率，355/113为密率（现称祖率）为密率（现称祖率） n中国祖冲之和他的儿子祖暅提出中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势幂势既同则积不容异既同则积不容异”的原理，现称祖暅原的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635) n公元公元499年年 印度阿耶波多著印度阿耶波多著阿耶波多文阿耶波多文集集，总结了当时印度的天文、算术、，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知代数与三角学知识。已知=3.1416，尝，尝试以连分数解不定方程试以连分数解

9、不定方程n公元公元600年年 中国刘焯首创等间距二次内插中国刘焯首创等间距二次内插公式，后发展出不等间距二次内插法公式，后发展出不等间距二次内插法（僧一行，（僧一行，724）和三次内插法）和三次内插法(郭守敬，郭守敬，1280) n约公元约公元625年年 中国王孝通著中国王孝通著缉古算经缉古算经，是最早提出数字三次方程数值解法的著作是最早提出数字三次方程数值解法的著作 n公元公元628年年 印度婆罗摩笈多著印度婆罗摩笈多著婆罗摩历婆罗摩历算书算书，已知圆内接四边形面积计算法，已知圆内接四边形面积计算法，推进了一、二次不定方程的研究推进了一、二次不定方程的研究 n公元公元656年年 中国李淳风等

10、注释十部算经，中国李淳风等注释十部算经，后通称后通称算经十书算经十书 n公元公元820年年 阿拉伯花拉子米著阿拉伯花拉子米著代数学代数学，以二次方程求解为主要内容，以二次方程求解为主要内容，12世纪该书世纪该书被译成拉丁文传入欧洲被译成拉丁文传入欧洲 n约公元约公元870年年 印度出现包括零的十进制数印度出现包括零的十进制数码，后传入阿拉伯演变为现今的印度码，后传入阿拉伯演变为现今的印度阿拉伯数码阿拉伯数码 n约公元约公元1050年年 中国贾宪提出二项式系数中国贾宪提出二项式系数表（现称贾宪三角和增乘开方法）表（现称贾宪三角和增乘开方法） n公元公元1100年年 阿拉伯奥马阿拉伯奥马海亚姆首创

11、用两海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根 n公元公元1150年年 印度婆什迦罗第二著婆什印度婆什迦罗第二著婆什迦罗文集为中世纪印度数学的代表作，迦罗文集为中世纪印度数学的代表作，其中给出二元不定方程若干特解其中给出二元不定方程若干特解,对负数对负数有所认识，并使用了无理数有所认识，并使用了无理数n公元公元1202年年 意大利意大利L.斐波那契著斐波那契著算盘算盘书书，向欧洲人系统地介绍了印度阿拉，向欧洲人系统地介绍了印度阿拉伯数码及整数、分数的各种算法伯数码及整数、分数的各种算法 n公元公元1247年年 中国秦九韶著中国秦九韶著数书九章数书九章，创

12、立解一次同余式的大衍求一术和求高次创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，相当于西方的方程数值解的正负开方术，相当于西方的霍纳法霍纳法(1819) n公元公元1248年年 中国李冶著中国李冶著测圆海镜测圆海镜，是，是中国现存第一本系统论述天元术的著作中国现存第一本系统论述天元术的著作 n约公元约公元1250年年 阿拉伯纳西尔丁阿拉伯纳西尔丁图西开始图西开始使三角学脱离天文学而独立使三角学脱离天文学而独立,将欧几里得将欧几里得几何原本几何原本译为阿拉伯文译为阿拉伯文 n公元公元1303年年 中国朱世杰著中国朱世杰著四元玉鉴四元玉鉴，将天元术推广为四元术，研究高阶等差数将天元术

13、推广为四元术，研究高阶等差数列求和问题列求和问题 n公元公元1325年年 英国英国T.布雷德沃丁将正切、余布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算切引入三角计算 n公元公元14世纪世纪 珠算在中国普及珠算在中国普及 n约公元约公元1360年年 法国法国N.奥尔斯姆撰奥尔斯姆撰比例算比例算法法，引入分指数概念，又在，引入分指数概念，又在论图线论图线等著作中研究变化与变化率，创图线原理，等著作中研究变化与变化率，创图线原理，即用经、纬度（相当于横、即用经、纬度（相当于横、 纵坐标）表示纵坐标）表示点的位置并进而讨论函数图像点的位置并进而讨论函数图像 n公元公元1427年年 阿拉伯卡西著阿拉伯卡西著算术之

14、钥算术之钥，系统论述算术、代数的原理、方法，并在系统论述算术、代数的原理、方法，并在圆周论圆周论中求出圆周率中求出圆周率17位准确数字位准确数字 n公元公元1464年年 德国德国J.雷格蒙塔努斯著雷格蒙塔努斯著论一论一般三角形般三角形，为欧洲第一本系统的三角学，为欧洲第一本系统的三角学著作，其中出现正弦定律著作，其中出现正弦定律 n公元公元1482年年 欧几里得欧几里得几何原本几何原本(拉丁拉丁文译本文译本)首次印刷出版首次印刷出版 n公元公元1489年年 捷克韦德曼最早使用符号捷克韦德曼最早使用符号+、表示加、减运算表示加、减运算 n公元公元1545年年 意大利意大利G.卡尔达诺的卡尔达诺的

15、大术大术出版，载述了出版，载述了S费罗费罗(1515)、N.塔尔塔利塔尔塔利亚亚(1535)的三次方程解法和的三次方程解法和L.费拉里费拉里(1544)的四次方程解法的四次方程解法 n公元公元1572年意大利年意大利R.邦贝利的邦贝利的代数代数学学出版，指出对于三次方程的不可约出版，指出对于三次方程的不可约情形，通过虚数运算必可得三个实根，情形，通过虚数运算必可得三个实根，给出初步的虚数理论给出初步的虚数理论 n公元公元1585年荷兰年荷兰S.斯蒂文创设十进分斯蒂文创设十进分数数(小数小数)的记法的记法 n公元公元1591年年 法国法国F.韦达著韦达著分析方法入分析方法入门门，引入大量代数符号

16、，改良三、四，引入大量代数符号，改良三、四次方程解法，指出根与系数的关系，为次方程解法，指出根与系数的关系，为符号代数学的奠基者符号代数学的奠基者 n公元公元1592年年 中国程大位写成中国程大位写成直指算法直指算法统宗统宗，详述算盘的用法，载有大量运，详述算盘的用法，载有大量运算口诀，该书明末传入日本、朝鲜算口诀，该书明末传入日本、朝鲜 n公元公元1606年年 中国徐光启和利玛窦合作将中国徐光启和利玛窦合作将欧几里得欧几里得几何原本几何原本前六卷译为中文前六卷译为中文 n公元公元1614年年 英国英国J.纳皮尔创立对数理论纳皮尔创立对数理论 n公元公元1615年年 德国开普勒著德国开普勒著酒

17、桶新立体酒桶新立体几何几何，有求酒桶体积的方法，是阿基，有求酒桶体积的方法，是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡米德求积方法向近代积分法的过渡 n公元公元1629年年 荷兰吉拉尔最早提出代数基荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理本定理 n法国费马已得解析几何学要旨，并掌握法国费马已得解析几何学要旨，并掌握求极大极小值方法求极大极小值方法 n公元公元1635年年 意大利（意大利（F.）B.卡瓦列里建立卡瓦列里建立“不可分量原理不可分量原理” n公元公元1637年年 法国法国R.笛卡儿的笛卡儿的几何学几何学出出版，创立解析几何学版，创立解析几何学 n法国费马提出法国费马提出“费马大定理费马大定理” n公

18、元公元1639年年 法国法国G.德扎格著德扎格著试论处理圆试论处理圆锥与平面相交情况初稿锥与平面相交情况初稿，为射影几何先，为射影几何先驱驱 n公元公元1640年年 法国法国B.帕斯卡发表帕斯卡发表圆锥曲线圆锥曲线论论 n公元公元1642年年 法国法国B.帕斯卡发明加减法机械帕斯卡发明加减法机械计算机计算机 n公元公元1655年年 英国英国J.沃利斯著沃利斯著无穷算无穷算术术，导入无穷级数与无穷乘积，首创，导入无穷级数与无穷乘积，首创无穷大符号无穷大符号 n公元公元1657年年 荷兰荷兰C.惠更斯著惠更斯著论骰子游论骰子游戏的推理戏的推理，引入数学期望概念，是概，引入数学期望概念，是概率论的早

19、期著作。在此以前率论的早期著作。在此以前B.帕斯卡、帕斯卡、费马等已由处理赌博问题而开始考虑概费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论率理论 n公元公元1665年年 英国英国I.牛顿一份手稿中已有牛顿一份手稿中已有流数术的记载，这是最早的微积分学文流数术的记载，这是最早的微积分学文献，其后他在献，其后他在无穷多项方程的分析无穷多项方程的分析（1669年撰，年撰，1711年发表）、年发表）、流数术流数术方法与无穷级数方法与无穷级数（1671年撰年撰, 1736年发年发表）等著作中进一步发展流数术并建立表）等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理微积分基本定理 n公元公元1666年德国年德国G

20、.W.莱布尼茨写成莱布尼茨写成论组合的技术论组合的技术，孕育了数理逻辑思，孕育了数理逻辑思想想 n公元公元1670年英国年英国I.巴罗著巴罗著几何学讲几何学讲义义，引进，引进“微分三角形微分三角形”概念概念 n约公元约公元1680年年 日本关孝和始创和算，引日本关孝和始创和算，引入行列式概念，开创入行列式概念，开创“圆理圆理”研究研究 n公元公元1684年年 德国德国G.W.莱布尼茨在莱布尼茨在学艺学艺上发表第一篇微分学论文上发表第一篇微分学论文一种求极大一种求极大极小与切线的新方法极小与切线的新方法，两年后又发表，两年后又发表第一篇积分学论文，创用积分符号第一篇积分学论文，创用积分符号 n公

21、元公元1687年年 英国英国I. 牛顿的牛顿的 自然哲学的自然哲学的数学原理数学原理出版，首次以几何形式发表出版，首次以几何形式发表其流数术其流数术 n公元公元1689年瑞士约翰第一年瑞士约翰第一伯努利提出伯努利提出“最速降曲线最速降曲线”问题，后导致变分法的产问题，后导致变分法的产生生 n法国法国 G.-F.-洛必达出版洛必达出版无穷小分析无穷小分析，其中载有求极限的洛必达法则其中载有求极限的洛必达法则 n公元公元1707年年 英国英国I.牛顿出版牛顿出版广义算术广义算术，阐述了代数方程理论阐述了代数方程理论 n公元公元1713年年 瑞士雅各布第一瑞士雅各布第一伯努利的伯努利的猜度术猜度术出

22、版，载有伯努利大数律出版，载有伯努利大数律 n公元公元1715年年 英国英国B.泰勒出版泰勒出版正的和反的正的和反的增量方法增量方法，内有他，内有他1712年发现的把函数年发现的把函数展开成级数的泰勒公式展开成级数的泰勒公式 n公元公元1722年法国年法国A.棣莫弗给出公式棣莫弗给出公式（cos +i sin ）n =cos n+ i sin n n公元公元1730年苏格兰年苏格兰J.斯特林发表斯特林发表微分微分法，或关于无穷级数的简述法，或关于无穷级数的简述，其中给，其中给出了出了!的斯特林公式的斯特林公式 n公元公元1731年法国年法国A.C.克莱罗著克莱罗著关关于双重曲率曲线的研究于双重

23、曲率曲线的研究，开创了空间，开创了空间曲线的理论曲线的理论 n公元公元1736年瑞士年瑞士L.欧拉解决了柯尼斯欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题堡七桥问题 n公元公元1742年英国年英国C.马克劳林出版马克劳林出版流流数通论数通论，试图用严谨的方法来建立流，试图用严谨的方法来建立流数学说，其中给出了马克劳林展开数学说，其中给出了马克劳林展开 n公元公元1744年瑞士年瑞士L.欧拉著欧拉著寻求具有寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧某种极大或极小性质的曲线的技巧，标志着变分法作为一个新的数学分支的标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生诞生 n公元公元1747年法国年法国J.le R. 达朗贝尔发表达朗

24、贝尔发表弦振动研究弦振动研究,导出了弦振动方程导出了弦振动方程,是偏是偏微分方程研究的开端微分方程研究的开端 n公元公元1748年瑞士年瑞士L.欧拉出版欧拉出版无穷小无穷小分析引论分析引论，与后来发表的，与后来发表的微分学微分学(1755)和和积分学积分学(1770)一起，以函数一起，以函数概念为基础综合处理微积分理论，给出概念为基础综合处理微积分理论，给出了大量重要的结果，标志着微积分发展了大量重要的结果，标志着微积分发展的新阶段的新阶段 n公元公元1750年瑞士年瑞士G.克莱姆给出解线性克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则方程组的克莱姆法则 n瑞士瑞士L.欧拉发表多面体公式欧拉发表多面体公式

25、:V-E+F =2 n公元公元1770年法国年法国J.L.拉格朗日深入探拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题，考虑有理函讨代数方程根式求解问题，考虑有理函数当变量发生置换时所取值的个数，成数当变量发生置换时所取值的个数，成为置换群论的先导为置换群论的先导 n德国德国J.H.朗伯开创双曲函数的全面研究朗伯开创双曲函数的全面研究 n公元公元1777年法国年法国G.-L.L布丰提出投针布丰提出投针问题问题,是几何概率理论的早期研究是几何概率理论的早期研究 n公元公元1779年法国年法国.贝祖著贝祖著代数方程代数方程的一般理论的一般理论，系统论述消元法理论，系统论述消元法理论 n公元公元1788年法国

26、年法国J.L.拉格朗日的拉格朗日的分分析力学析力学出版，使力学分析化，并总结出版，使力学分析化，并总结了变分法的成果了变分法的成果 n公元公元1794年法国年法国A.M.勒让德的勒让德的几几何学基础何学基础出版，是当时标准的几何教出版，是当时标准的几何教科书科书 n法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校师范学校 n公元公元1795年法国年法国G.蒙日发表蒙日发表关于把关于把分析应用于几何的活页论文分析应用于几何的活页论文，成为微，成为微分几何学先驱分几何学先驱 n公元公元1797年法国年法国J.-L.拉格朗日著拉格朗日著解解析函数论析函数论，主张以函数的幂

27、级数展开，主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论为基础建立微积分理论 n挪威挪威C.韦塞尔最早给出复数的几何表示韦塞尔最早给出复数的几何表示 n公元公元1799年年 法国法国G.蒙日出版蒙日出版画法几何画法几何学学，使画法几何成为几何学的一个专，使画法几何成为几何学的一个专门分支门分支 n德国德国C.F.高斯给出代数基本定理的第一个高斯给出代数基本定理的第一个证明证明 n公元公元17991825年法国年法国P.-S.拉普拉斯拉普拉斯的的5卷巨著卷巨著天体力学天体力学出版，其中包含出版，其中包含了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方程、位势函数等程、位势函数等

28、n公元公元1801年德国年德国C.F.高斯的高斯的算术研究算术研究出版，标志着近代数论的起点出版，标志着近代数论的起点 n公元公元1802年法国年法国J.E.蒙蒂克拉与拉朗德蒙蒂克拉与拉朗德合撰的合撰的数学史数学史共共4卷全部出版卷全部出版,成为最成为最早的较系统的数学史著作早的较系统的数学史著作 n公元公元1807年法国年法国J.B.J.傅里叶在热傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表传导研究中提出任意函数的三角级数表示法（傅里叶级数），他的思想总结在示法（傅里叶级数），他的思想总结在1822年发表的年发表的热的解析理论热的解析理论中中 n公元公元1810年法国年法国J.D.热尔岗创办

29、热尔岗创办纯纯粹与应用数学年刊粹与应用数学年刊，这是最早的专门，这是最早的专门数学期刊数学期刊 n公元公元1812年英国剑桥分析学会成立年英国剑桥分析学会成立 n法国法国 P.-S.拉普拉斯著拉普拉斯著概率的解析理概率的解析理论论,提出概率的古典定义提出概率的古典定义,将分析工具引将分析工具引入概率论入概率论 n公元公元1814年法国年法国 A.-L.柯西宣读复变函柯西宣读复变函数论第一篇重要论文数论第一篇重要论文关于定积分理论关于定积分理论的报告的报告（1827年正式发表），开创了年正式发表），开创了复变函数论的研究复变函数论的研究 n公元公元1817年捷克年捷克B.波尔查诺著波尔查诺著纯粹

30、纯粹分析的证明分析的证明，首次给出连续性、导数，首次给出连续性、导数的恰当定义，提出一般级数收敛性的判的恰当定义，提出一般级数收敛性的判别准则别准则 n公元公元1818年法国年法国S.-D.泊松导出波动方泊松导出波动方程解的程解的“泊松公式泊松公式” n公元公元1821年法国年法国A.-L.柯西出版柯西出版代数代数分析教程分析教程，引进不一定具有解析表达，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于式的函数概念；独立于B.波尔查诺提出波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作响深

31、远的著作 n公元公元1822年法国年法国J.V.彭赛列著彭赛列著论图论图形的射影性质形的射影性质，奠定了射影几何学基础，奠定了射影几何学基础 n公元公元1826年挪威年挪威N.H.阿贝尔著阿贝尔著关于很关于很广一类超越函数的一个一般性质广一类超越函数的一个一般性质，开创，开创了椭圆函数论研究了椭圆函数论研究 n德国德国A.L.克雷尔创办克雷尔创办纯粹与应用数学杂纯粹与应用数学杂志志 n法国法国J.-D.热尔岗与热尔岗与J.-V.彭赛列各自建立对彭赛列各自建立对偶原理偶原理 n公元公元1827年德国年德国C.F.高斯著高斯著关于曲面关于曲面的一般研究的一般研究，开创曲面内蕴几何学，开创曲面内蕴几

32、何学 n德国德国A.F.麦比乌斯著麦比乌斯著重心演算重心演算，引进，引进齐次坐标，与齐次坐标，与J.普吕克等开辟了射影几何普吕克等开辟了射影几何的代数方向的代数方向 n公元公元1828年英国年英国G.格林著格林著数学分析数学分析在电磁理论中的应用在电磁理论中的应用，发展位势理论，发展位势理论 n公元公元1829年年 德国德国C.G.J.雅可比著雅可比著椭圆椭圆函数论新基础函数论新基础，是椭圆函数理论的奠，是椭圆函数理论的奠基性著作基性著作 n俄国俄国.罗巴切夫斯基发表最早的非欧罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著几何论著论几何基础论几何基础 n公元公元18291832年法国年法国E.伽罗瓦彻底伽

33、罗瓦彻底解决代数方程根式可解性问题，确立了解决代数方程根式可解性问题，确立了群论的基本概念群论的基本概念 n公元公元1830年年 英国英国G.皮科克著皮科克著代数通代数通论论，首创以演绎方式建立代数学，为，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想铺平了道路代数中更抽象的思想铺平了道路 n公元公元1832年匈牙利年匈牙利J.波尔约发表波尔约发表绝对绝对空间的科学空间的科学，独立于，独立于.罗巴切夫斯罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想基提出了非欧几何思想 n瑞士瑞士J.施泰纳著施泰纳著几何形的相互依赖性的几何形的相互依赖性的系统发展系统发展，利用射影概念从简单结构，利用射影概念从简单结构构造复杂

34、结构，发展了射影几何构造复杂结构，发展了射影几何 n公元公元1836年法国年法国J.刘维尔创办法文的刘维尔创办法文的纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数学杂志 n公元公元1837年德国年德国P.G.L.狄利克雷提出现狄利克雷提出现今通用的函数定义今通用的函数定义(变量之间的对应关系变量之间的对应关系) n公元公元1840年法国年法国 A.-L.柯西证明了微分柯西证明了微分方程初值问题解的存在性方程初值问题解的存在性 n公元公元18411856年德国年德国K.（T.W.）外尔）外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极分析建立在算术

35、概念的基础之上，给出极限的限的说法和级数一致收敛性概说法和级数一致收敛性概 念；同念；同时在幂级数基础上建立复变函数论时在幂级数基础上建立复变函数论 n公元公元1843年英国年英国W.R.哈密顿发现四元数哈密顿发现四元数 n公元公元1844年德国年德国E.E.库默尔创立理想数库默尔创立理想数的概念的概念 n德国德国H.G.格拉斯曼出版格拉斯曼出版线性扩张论线性扩张论。建立建立个分量的超复数系个分量的超复数系,提出了一般的提出了一般的维几何的概念维几何的概念 n公元公元1847年德国年德国K.G.C.von 施陶特著施陶特著位置的几何学位置的几何学，不依赖度量概念建，不依赖度量概念建立射影几何体

36、系立射影几何体系 n公元公元18491854年英国的年英国的A.凯莱提出凯莱提出抽象群概念抽象群概念 n公元公元1851年年 德国（德国（G.F.）B.黎曼著黎曼著单单复变函数的一般理论基础复变函数的一般理论基础，给出单值，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文念，是复变函数论的一篇经典性论文 n公元公元1854年德国（年德国（G.F.）B.黎曼著黎曼著关关于几何基础的假设于几何基础的假设,创立创立维流形的黎维流形的黎曼几何学曼几何学 n英国英国G.布尔出版布尔出版思维规律的研究思维规律的研究，建立逻辑代数（即布尔代数）建立

37、逻辑代数（即布尔代数） n公元公元1855年英国年英国A.凯莱引进矩阵的基凯莱引进矩阵的基本概念与运算本概念与运算 n公元公元1858年德国（年德国（G.F.）B.黎曼给出黎曼给出函数的积分表示与它满足的函数方程，函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国提出黎曼猜想德国A. F. 麦比乌斯发现单麦比乌斯发现单侧曲面（麦比乌斯带）侧曲面（麦比乌斯带） n公元公元1859年中国李善兰与英国的伟烈年中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的亚力合译的代数学代数学、代微积拾级代微积拾级以及以及几何原本几何原本后后9卷中文本出版卷中文本出版,这是这是翻译西方近代数学著作的开始翻译西方近代数学著作的开始

38、n中国李善兰建立了著名的组合恒等式中国李善兰建立了著名的组合恒等式（李善兰恒等式）（李善兰恒等式） n公元公元1861年年 德国德国K.（T.W.）外尔斯特拉）外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子函数的例子 n公元公元1863年德国年德国P.G.L.狄利克雷出版狄利克雷出版数论讲义数论讲义，是解析数论的经典文献，是解析数论的经典文献 n公元公元1865年伦敦数学会成立，是历史上年伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会第一个成立的数学会 n公元公元1866年俄国年俄国.切比雪夫利用切比切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的雪夫

39、不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题大数律，成为概率论研究的中心课题 n公元公元1868年意大利年意大利E.贝尔特拉米著贝尔特拉米著论论非欧几何学的解释非欧几何学的解释，在伪球面上实现罗，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型型 n德国（德国（G.F.）B.黎曼的黎曼的用三角级数表示用三角级数表示函数的可表示性函数的可表示性正式发表，建立了黎曼正式发表，建立了黎曼积分理论积分理论 n公元公元1871年德国（年德国（C.）F.克莱因在射影克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与空间中适当引进度量而得到双曲几何与

40、椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型几何模型 n德国德国G.（F.P.）康托尔在三角级数表示的）康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后的一系列论文中奠定了集念，并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础合论的基础 n公元公元1872年德国（年德国（C.）F.克莱因发表克莱因发表埃尔朗根纲领埃尔朗根纲领，建立了把各种几何，建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观学看作为某种变换群的不变量理论的观点，以群论为基础统一几何学点，以群论为基础统一几何学 n实数理论的确立：实数理论的确立：G.

41、（F.P.）康托尔的基）康托尔的基本序列论；本序列论；J.W.R.戴德金的分割论；戴德金的分割论；K.(T.W.)外尔斯特拉斯的单调序列论外尔斯特拉斯的单调序列论 n公元公元1873年法国年法国C.埃尔米特证明埃尔米特证明e的超的超越性越性 n公元公元1874年挪威年挪威M.S.李开创连续变换李开创连续变换群的研究，现称李群理论群的研究，现称李群理论 n公元公元1879年德国（年德国（F.L.）G.弗雷格出版弗雷格出版概念语言概念语言,建立量词理论建立量词理论,给出第一个给出第一个严密的逻辑公理体系，后又出版严密的逻辑公理体系，后又出版算术算术基础基础(1884)等著作，试图把数学建立在等著作

42、，试图把数学建立在逻辑的基础上逻辑的基础上 n公元公元18811884年德国年德国(C.)F.克莱因与克莱因与法国（法国（J.）H.庞加莱创立自守函数论庞加莱创立自守函数论 n公元公元18811886年法国（年法国（J.）H.庞加庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文，创莱关于微分方程确定的曲线的论文，创立微分方程定性理论立微分方程定性理论 n公元公元1882年年 德国德国M.帕施给出第一个射影帕施给出第一个射影几何公理系统几何公理系统 n德国德国F.von林德曼证明林德曼证明的超越性的超越性 n公元公元1887年法国（年法国（J.）G.达布著达布著曲曲面的一般理论面的一般理论，发展了活动标架法，

43、发展了活动标架法 n公元公元1889年意大利年意大利G.皮亚诺著皮亚诺著算术算术原理新方法原理新方法，给出自然数公理体系，给出自然数公理体系 n公元公元1894年荷兰年荷兰T.（J.）斯蒂尔杰斯发）斯蒂尔杰斯发表表连分数的研究连分数的研究，引进新的积分，引进新的积分（斯蒂尔杰斯积分（斯蒂尔杰斯积分n公元公元1895年法国（年法国（J.）H.庞加莱著庞加莱著位置几何学位置几何学，创立用剖分研究流形，创立用剖分研究流形的方法，为组合拓扑学奠定基础的方法，为组合拓扑学奠定基础 n德国德国F.G.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究论的系统研究 n公元公元1896年德国年德

44、国H.闵科夫斯基著闵科夫斯基著数数的几何的几何，创立系统的数的几何理论，创立系统的数的几何理论 n法国法国J.（-S.）阿达马与瓦里）阿达马与瓦里-布桑证明素布桑证明素数定理数定理 n公元公元1897年第一届国际数学家大会在年第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行瑞士苏黎世举行 n公元公元1898年英国年英国K.皮尔逊创立描述统皮尔逊创立描述统计学计学 n公元公元1899年德国年德国D.希尔伯特出版希尔伯特出版几几何基础何基础，给出历史上第一个完备的欧，给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统几里得几何公理系统,开创了公理化方法开创了公理化方法,并预示了数学基础的形式主义观点并预示了数学基础的

45、形式主义观点 n公元公元1900年德国年德国D.希尔伯特在巴黎第希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为二届国际数学家大会上作题为数学问数学问题题的报告。提出了的报告。提出了23个著名的数学问个著名的数学问题题 数学史上的三次危机数学史上的三次危机 无理数的发现无理数的发现第一次数学危机第一次数学危机n大约公元前大约公元前5世纪，不可通约量的发现导世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为把几何、算术、天文、音乐称为“四艺四艺”，在其中追求

46、宇宙的和谐规律性。他们认为：在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，比，n毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比整数之比(不可通约不可通约)的情形，如直角边的情形，如直角边长均为长均为1的直角三角形就是如此。这一的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的导致了当时认识上的“危机危机”，从而，从

47、而产生了第一次数学危机。产生了第一次数学危机。n到了公元前到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得在欧几里得原本原本第第5卷中。欧多克斯卷中。欧多克斯和狄德金于和狄德金于1872年给出的无理数的解释与年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。通约量而带来的某些困难和微

48、妙之处。n第一次数学危机对古希腊的数学观点有极第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这

49、不能不说是数学思想上的何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命一次巨大革命! 无穷小是零吗？无穷小是零吗？第二次数学危机第二次数学危机n18世纪，微分法和积分法在生产和实践世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 n1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发年，英国哲学家、大主教贝克莱发表表分析学家或者向一个不信正教数学分析学家或者向一个不信正教数学家的进言家的进言，矛头指向微积分的基础，矛头指向微积分的基础-无无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。穷小的问题，

50、提出了所谓贝克莱悖论。n他指出：他指出：“牛顿在求牛顿在求xn的导数时，采取的导数时，采取了先给了先给x以增量以增量0，应用二项式，应用二项式(x+0)n，从，从中减去中减去xn以求得增量，并除以以求得增量，并除以0以求出以求出xn的增量与的增量与x的增量之比，然后又让的增量之比，然后又让0消逝，消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续违反矛盾律的手续先设先设x有增量，又有增量，又令增量为零，也即假设令增量为零，也即假设x没有增量。没有增量。”n他认为无穷小他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，

51、之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝为逝去量的灵魂去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。导致了数学史上的第二次数学危机。 n18世纪的数学思想的确是不严密的，直观世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷导数、微分、积分等概

52、念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。函数可否展成幂级数等等。 n直到直到19世纪世纪20年代，一些数学家才比较年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基工作结

53、束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。格的基础。悖论的产生悖论的产生第三次数学危机第三次数学危机n数学史上的第三次危机，是由数学史上的第三次危机，是由1897年的突年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数多的数学分支，并且实际上集合论成了数学

54、的基础，因此集合论中悖论的发现自然学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑的怀疑n1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某年给出的，它涉及到某村理发师

55、的困境。理发师宣布了这样一条村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。并且，只给村里这样的人刮脸。n当人们试图回答下列疑问时，就认识到当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：了这种情况的悖论性质：“理发师是否理发师是否自己给自己刮脸？自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。原则。 n罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪罗素悖论使整个数学大

56、厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的要出版的算术的基本法则算术的基本法则第第2卷末尾卷末尾写道：写道：“一位科学家不会碰到比这更难一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地罗素先生的一封信把我置于这种境地”。n于是终结了近于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷级数，就好像一切灾难都集合，承认无穷级数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。形式延续着。