两角和与差地公式

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1、word 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β)) tan(α－β)＝(T(α－β)) tan(α＋β)＝(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2

2、α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．在准确熟练地记住公式的根底上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－＝－1. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1

3、－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (5)设sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，如此tan 2α＝.(√) 1．(2013·某某)α∈R，sin α＋2cos α＝，如此tan 2α等于() A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.应当选C. 2．假如＝，如此tan 2α等于() A．－ B. C．－ D. 答案　B

4、 解析　由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3， 如此tan 2α＝＝. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，假如tan＝，如此sin θ＋cos θ＝________. 答案　－ 解析　∵tan＝，∴tan θ＝－， 即且θ为第二象限角， 解得sin θ＝，cos θ＝－. ∴sin θ＋cos θ＝－. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________． 答案　1 解析　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2

5、sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴f(x)的最大值为1. 题型一　三角函数公式的根本应用 例1(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，如此tan(α＋β)的值为() A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)假如0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝， cos(－)＝，如此cos(α＋)等于() A. B．－ C. D．－ 答案　(1)A(2)C

6、 解析　(1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝＝＝－3. 应当选A. (2)cos(α＋) ＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)． ∵0<α<， 如此<＋α<， ∴sin(＋α)＝. 又－<β<0， 如此<－<， 如此sin(－)＝. 故cos(α＋)＝×＋×＝.应当选C. 思维升华　三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系． (1)假如α∈(，π)，tan(α＋)＝，如此sin α等于()

7、A. B. C．－ D．－ (2)计算：－sin 10°(－tan 5°)＝________. 答案　(1)A(2) 解析　(1)∵tan(α＋)＝＝， ∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈(，π)，∴sin α＝. (2)原式＝－sin 10°· ＝－ ＝ ＝ ＝ ＝. 题型二　三角函数公式的灵活应用 例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为() A. B. C. D. (2)化简：＝________

8、. (3)求值：＝________. 答案　(1)B(2)cos 2x(3) 解析　(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝.应当选B. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. (3)原式＝＝ ＝tan(45°＋15°)＝. 思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用与变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan

9、 αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力． (1)α∈(0，π)，化简：＝________. (2)在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，如此tan＋tan＋tantan的值为________． 答案　(1)cos α(2) 解析　(1)原式＝. 因为α∈(0，π)，所以cos>0， 所以原式＝ ＝(cos＋sin)·(cos－sin)＝cos2－sin2＝cos α. (2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan ta

10、n ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. 题型三　三角函数公式运用中角的变换 例3(1)α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.如此sin(α－β)＝________，cos β＝________. (2)(2013·课标全国Ⅱ)sin 2α＝，如此cos2等于() A. B. C. D. 答案　(1)－(2)A 解析　(1)∵α，β∈(0，)，从而－<α－β<. 又∵tan(α－β)＝－<0， ∴－<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝. ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－

11、(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝. (2)因为cos2＝ ＝＝， 所以cos2＝＝＝，选A. 思维升华　1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角〞用“角〞表示．(1)当“角〞有两个时，“所求角〞一般表示为两个“角〞的和或差的形式；(2)当“角〞有一个时，此时应着眼于“所求角〞与“角〞的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角〞变成“角〞． 2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等． (1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，如此cos

12、 β等于() A. B. C.或 D.或 (2)cos(α－)＋sin α＝，如此sin(α＋)的值是________． 答案　(1)A(2)－ 解析　(1)依题意得sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为>>－， 所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2)∵cos(α－)＋sin α＝， ∴cos α＋sin α＝， (cos α＋sin α)＝， sin(＋α)

13、＝， ∴sin(＋α)＝， ∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－. 高考中的三角函数求值、化简问题 典例：(1)假如tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，如此＝________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，如此() A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ (3)(2012·大纲全国)α为第二象限角，sin α＋cos α＝，如此cos 2α等于() A．－ B．－ C. D. (4)(2012·某某)等于() A．－ B．－ C. D. 思维点拨　(1)注意和差公式的逆用与

14、变形． (2)“切化弦〞，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将式子中的角向特殊角转化． 解析　(1)原式＝＝， 又tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝. ∵π<2θ<2π，∴<θ<π.∴tan θ＝－， 故原式＝＝3＋2. (2)由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)． ∵α∈(0，)，β∈(0，)， ∴α－

15、β∈(－，)，－α∈(0，)， ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. (3)方法一　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， ∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝>0， ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)， ∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 方法二　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－. ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0

16、， ∴sin α－cos α＝ ＝＝. 由得 ∴cos 2α＝2cos2α－1＝－. (4)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 答案　(1)3＋2(2)B(3)A(4)C 温馨提醒　(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧． 方法与技巧 1．巧用公式变形： 和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝， 配方变形：1±sin α＝2， 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 2．

17、重视三角函数的“三变〞：“三变〞是指“变角、变名、变式〞；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防X 1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1〞的各种变通． 2．在(0，π)X围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的X围后再求值. A组　专项根底训练

18、 (时间：30分钟) 1．tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于() A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α＋＋β－＝α＋β， 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ＝＝. 2．假如θ∈[，]，sin 2θ＝，如此sin θ等于() A. B. C. D. 答案　D 解析　由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2， 又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝. 同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 3．tan α＝4，如此的值为() A．4 B. C．4 D

19、. 答案　B 解析　＝， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos2α得＝. 4．(2013·某某)4cos 50°－tan 40°等于() A. B. C. D．2－1 答案　C 解析　4cos 50°－tan 40°＝ ＝＝ ＝＝＝. 5．cos(x－)＝－，如此cos x＋cos(x－)的值是() A．－ B．± C．－1 D．±1 答案　C 解析　cos x＋cos(x－)＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝cos(x－)＝－1. 6．＝________. 答案　 解

20、析　＝ ＝＝＝. 7．α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，如此tan α＝________. 答案　1 解析　根据条件： cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，如此sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.＝________. 答案　－4 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 9．－＝－2tan

21、α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解　因为－ ＝－ ＝－ ＝ ＝， 所以＝－2tan α＝－. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0. 故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}． 10．α∈，且sin ＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)假如sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值． 解　(1)因为sin ＋cos ＝， 两边同时平方，得sin α＝. 又<α<π，所以cos α＝－. (2)因为<α<π，<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<. 又sin(α－β)

22、＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－×＋×＝－. B组　专项能力提升 (时间：25分钟) 11．tan(α＋)＝，且－<α<0，如此等于() A．－ B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－. 又－<α<0，所以sin α＝－. 故＝＝2sin α ＝－. 12．假如α∈，且sin2α＋cos 2α＝，如此tan α的值等于() A. B. C. D. 答案　D 解析　∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝， ∴sin2α

23、＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝， ∴cos α＝或－(舍去)， ∴α＝，∴tan α＝. 13．假如tan θ＝，θ∈(0，)，如此sin(2θ＋)＝________. 答案　 解析　因为sin 2θ＝＝＝， 又由θ∈(0，)，得2θ∈(0，)， 所以cos 2θ＝＝， 所以sin(2θ＋) ＝sin 2θcos＋cos 2θsin＝×＋×＝. 14．函数f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. (1)解　∵f(x)＝sin＋co

24、s ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明　由得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤，∴β＝， ∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 15．f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)． (1)假如tan α＝2，求f(α)的值； (2)假如x∈[，]，求f(x)的取值X围． 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin· cos ＝＋sin 2x＋sin ＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝. cos 2α＝＝＝－. 所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ＝sin＋. 由x∈，得≤2x＋≤. 所以－≤sin≤1,0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值X围是. 22 / 22