仿真教学课件

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1、仿真教学PPT课件 3-1 基于数值积分法的连续系统仿真基于数值积分法的连续系统仿真 3-2 基于离散相似法的连续系统仿真基于离散相似法的连续系统仿真 3-3 系系统非线性环节的仿真统非线性环节的仿真 仿真教学PPT课件3.1 基于数值积分法的基于数值积分法的连续系统仿真连续系统仿真 3.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 3.1.2 数值积分方法的选择数值积分方法的选择 3.1.3 基于数值积分法的连续系统仿真基于数值积分法的连续系统仿真 3.1.4 数值积分法的数值积分法的MATLAB函数函数仿真教学PPT课件 连续系统的数学模型一般都能以微分方程的连续系统的数学模型一般都能以微分方

2、程的形式给出，所以连续系统仿真算法问题通常可归形式给出，所以连续系统仿真算法问题通常可归结为如何用计算机来求解微分方程的问题，也就结为如何用计算机来求解微分方程的问题，也就是对一阶微分方程如何进行求解。是对一阶微分方程如何进行求解。是是解决该问题的重要方法之一。解决该问题的重要方法之一。 例如，假设有一系统，它的数学模型可用例如，假设有一系统，它的数学模型可用（1 1）式所示微分方程来描述）式所示微分方程来描述3.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理3.1 基于数值积分的基于数值积分的连续系统仿真连续系统仿真仿真教学PPT课件 数数 值值积积 分分方方 法法是是解解 决决在在 已已知知 初

3、初值值 的的情情 况况下下 ，对对),( tyf进进行行 近近 似似积积分分 ，对对 )(ty进进 行行数数值值求求解解的的方方法法。在在数数学学上上称称为为微微分分方方程程初初值值问问题题的的数数值值方方法法。 仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件三、龙格三、龙格库塔法（库塔法（RungeKutta法）法） 龙格龙格库塔法的基本思想是：库塔法的基本思想是：用几个点上的函用几个点上的函数值的线性组合来代替函数的各阶导数，然后再按数值的线性组合来代替函数的各阶导数，然后再按泰勒级数展开确定其中的系数。泰勒级数展开确定其中的系数。 下面以二阶下

4、面以二阶RK法为例介绍其基本原理。法为例介绍其基本原理。)()(,00tyttytyfdtdy( 5 )仿真教学PPT课件将将K2用二元函数泰勒级数展开式展开，并只取前三用二元函数泰勒级数展开式展开，并只取前三项，则有：项，则有：mmmmyfhKbtfhbtyfK121,2)(首先假设式（首先假设式（1 1）的解具有下面的形式：）的解具有下面的形式：),(),()(1122122111hbthKbyfKtyfKKaKahyymmmmmm式中，式中，a a1 1、a a2 2、b b1 1、b b2 2为待定系数。为待定系数。仿真教学PPT课件将将 K1、K2 代入式代入式（5），），得：得：m

5、mmmyfhKbtfhbtyfK121,2)(),(),()(1122122111hbthKbyfKtyfKKaKahyymmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmyfhtyfbatfhbatyhfaayyfhtyfbtfhbtyfhatyhfayy2222122121211),(),()(),(),(),( 6 )仿真教学PPT课件比较式比较式（5）与与（6）可以得到：可以得到：另一方面，将另一方面，将ym+1在在ym附近进行泰勒展开，并只取附近进行泰勒展开，并只取前三项，则有：前三项，则有：mmmmyhyhyy 21212,)(21)(hyftyftftyhfymmmmmmm21211

6、221221babaaa仿真教学PPT课件 上述上述3个方程中有个方程中有4个未知数，因而解不是唯一个未知数，因而解不是唯一的。若限定的。若限定 ，则可得其中一组解：，则可得其中一组解：21aa 1,212121bbaa将它们代入式（将它们代入式（5），可得一组计算公式：），可得一组计算公式：),(),()(2121211hthKyfKtyfKKKhyymmmmmm仿真教学PPT课件截断误差为截断误差为 O(hO(h3 3) )截断误差为截断误差为 O(hO(h5 5) )仿真教学PPT课件（6 6） 梯形公式可看作二阶龙格梯形公式可看作二阶龙格库塔公式，截断误差正比库塔公式，截断误差正比h3

7、（2 2）步长）步长 h可变。可变。RK的特点：的特点：仿真教学PPT课件四、亚当姆斯（四、亚当姆斯（AdamsAdams）法）法 在计算在计算ym+1时，只利用前一步的时，只利用前一步的ym的值，经过若干的值，经过若干步的计算以后，可以求出一系列的值步的计算以后，可以求出一系列的值y1，y2，.，yn。如果充。如果充分利用前面多步的值来计算分利用前面多步的值来计算ym+1，则可以达到既提高计算速度，则可以达到既提高计算速度又能获得较高精度的目的，这就是又能获得较高精度的目的，这就是的基本思想。在多步的基本思想。在多步法中，应用较广的是法中，应用较广的是Adams法。法。 Adams法有法有和

8、和两种。两种。 Adams显式一般形式：显式一般形式： （5） 式中，式中， 为显式为显式Adams公式系数，部分数据如下表公式系数，部分数据如下表rmrmmmmfffhyy1101i仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件如二次（如二次（Adams）亚当姆斯公式：）亚当姆斯公式：三次（三次（Adams）亚当姆斯公式：）亚当姆斯公式：即是即是多步法计算公式多步法计算公式。 多步法与单步法相比，欲达相同精度，计算工多步法与单步法相比，欲达相同精度，计算工作量较少，在相同条件下多步法比单步法要快。作量较少，在相同条件下多步法比单步法要快。2115162312mmmmmfffhyy32119375955

9、24mmmmmmffffhyy仿真教学PPT课件计算稳定性计算稳定性 仿真计算时，是否仍然稳定呢？先看下面的例子：仿真计算时，是否仍然稳定呢？先看下面的例子： 从稳定性理论，我们知道如何去从系统的微分从稳定性理论，我们知道如何去从系统的微分方程或传递函数去判断该系统的稳定性。那么，对方程或传递函数去判断该系统的稳定性。那么，对于一个稳定的连续系统，当用某数值积分方法进行于一个稳定的连续系统，当用某数值积分方法进行五、数字仿真中的几个问题五、数字仿真中的几个问题仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件（4）仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件小结：小结： 一般稳定性与步长关系密切（

10、除恒稳公式之外），若一般稳定性与步长关系密切（除恒稳公式之外），若用两种显著不同的步长所得到的数值解有明显差别，则可用两种显著不同的步长所得到的数值解有明显差别，则可能是这种数值方法不稳定；反之如果基本相同，则一般视能是这种数值方法不稳定；反之如果基本相同，则一般视为是稳定的为是稳定的 。仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件 3.1.2 数值积分方法的选择数值积分方法的选择一、积分方法的选择一、积分方法的选择在步长相同的条件下，积分方法的在步长相同的条件下，积分方法的阶数越高，精度越高；另外，多步法的精度比单步法阶数越高，精度越高；另外，多步法的精度比单步法高，隐式算法的精度

11、高于显式算法。因此，当需要高高，隐式算法的精度高于显式算法。因此，当需要高精度时，可采用高阶的多步隐式算法和较小的步长。精度时，可采用高阶的多步隐式算法和较小的步长。若精度要求不高，一般可选择低阶算法。若精度要求不高，一般可选择低阶算法。为加快计算速度，可在精度要求不高为加快计算速度，可在精度要求不高时，尽量选择低阶的计算工作量少的方法。时，尽量选择低阶的计算工作量少的方法。仿真教学PPT课件数值解的稳定性必须保证，否则计算结果将数值解的稳定性必须保证，否则计算结果将失去真实意义。不同的方法有不同的稳定性，要失去真实意义。不同的方法有不同的稳定性，要通过合适选择步长来保证稳定性。通过合适选择步

12、长来保证稳定性。单步法有自启动能力，多步法没有自启动能单步法有自启动能力，多步法没有自启动能力，必须借助于单步法启动运算之后，才能开始力，必须借助于单步法启动运算之后，才能开始工作。一般简单的仿真程序多用单步法。工作。一般简单的仿真程序多用单步法。仿真教学PPT课件单步法在整个计算中，步长可在一定范围内单步法在整个计算中，步长可在一定范围内变化；而多步法则对步长的变化有严格的要求。变化；而多步法则对步长的变化有严格的要求。若要求仿真时步长可变，最好用单步法。若要求仿真时步长可变，最好用单步法。 综上所述，积分方法的选择与多种因素有关，综上所述，积分方法的选择与多种因素有关，各因素之间又相互影响

13、。究竟选哪一种方法，要各因素之间又相互影响。究竟选哪一种方法，要由具体系统及具体要求而定。由具体系统及具体要求而定。仿真教学PPT课件 二、积分步长的选择二、积分步长的选择 步长的选择很重要。步长过大会增大截断误差，步长的选择很重要。步长过大会增大截断误差，甚至出现数值不稳定现象，甚至出现数值不稳定现象， 过小了又因增加了步过小了又因增加了步数，而使舍入误差增大。所以存在一个最佳步长使数，而使舍入误差增大。所以存在一个最佳步长使得总误差最小（如图所示）。得总误差最小（如图所示）。 在用经验方法选取步长时，一种方法是根据系在用经验方法选取步长时，一种方法是根据系统方程中统方程中最小时间常数最小时

14、间常数Tmin来决定步长，一般取：来决定步长，一般取： h=（0.20.05）Tmin仿真教学PPT课件数值积分计算时，积分步长有数值积分计算时，积分步长有固定步长固定步长和和变步长变步长两种工作方式。两种工作方式。 就是在整个仿真计算过程中，积分步长就是在整个仿真计算过程中，积分步长 h 始终保持不变。始终保持不变。 就是在仿真积分计算的每一步，根据计算误差的大小改变就是在仿真积分计算的每一步，根据计算误差的大小改变步长步长h。目的目的：在保持一定的计算精度的前提下，尽可能地选取较大：在保持一定的计算精度的前提下，尽可能地选取较大的步长。的步长。方法方法：首先估计计算误差：首先估计计算误差

15、；判断误差是否在允许的误差；判断误差是否在允许的误差 0范范围内；若在允许误差范围内，则该步计算有效，否则计算无围内；若在允许误差范围内，则该步计算有效，否则计算无效，改变步长，重新计算。效，改变步长，重新计算。 因此，在变步长的积分计算中，必须解决因此，在变步长的积分计算中，必须解决误差估计方法误差估计方法和和步长调整策略步长调整策略两个问题。两个问题。仿真教学PPT课件三、直接采用三、直接采用MATLAB语言根据算法原理编程语言根据算法原理编程 31030yydtdycleart0=0;y0=1/3;h=0.1;N=1.5/h;t(1)=0;y(1)=1/3;for i=2:N+1 k1=

16、 -30*y0; y1=y0+h*k1; y0=y1; y(i)=y1; t(i)=t(i-1)+h;endy1cleart0=0;y0=1/3;h=0.1;N=1.5/h;t(1)=0;y(1)=1/3;for i=2:N+1 k1=-30*y0; k2=-30*(y0+h*k1/2); k3=-30*(y0+h*k2/2); k4=-30*(y0+h*k3); y1=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; y0=y1; y(i)=y1; t(i)=t(i-1)+h;endy1stableEuler.m stableRK.m仿真教学PPT课件START读入读入 、 、 、 0t0

17、ynh m=0),()2,2()2,2(),(3423121hthkyfkhtkhyfkhtkhyfktyfkmmmmmmmm )22(643211kkkkhyymmmn-1 打印打印1my m=m+1RK程序框图程序框图仿真教学PPT课件习习 题题3-1 用用Euler法求初值问题法求初值问题1,01)0(2tuutudtdu的数值解。取步长的数值解。取步长 h=0.1。Euler法：法： u（1） =1.7848RK法：法： u（1） =1.7321 仿真教学PPT课件RK法：法：86466447. 0)2(yEuler法法：86806219. 0)2(y精确解：精确解：86466472.

18、 0)2(y习习 题题3-2 用用Euler法（法（h=0.025）及经典）及经典Runge-Kutta法法（h=0.1）计算初值问题：）计算初值问题：0)0(1yyy在在 t=2 时刻的值，并和精确解比较。时刻的值，并和精确解比较。仿真教学PPT课件仿真教学PPT课件对一个对一个n维向量维向量X，每前进一个步距，每前进一个步距h，至少要求，至少要求n4个个ijk的值。的值。仿真教学PPT课件3.1.4 数值积分法的数值积分法的MATLAB函数函数 MATLAB工具箱提供了各种数值积分方法的常用函数，这些函数的基工具箱提供了各种数值积分方法的常用函数，这些函数的基本功能是用数值计算方法求解常系

19、数微分方程（本功能是用数值计算方法求解常系数微分方程（ODE）或微分方程组。）或微分方程组。ODE45一种显式一种显式RK（4-5）公式，单步法，变步长，适用于求解非）公式，单步法，变步长，适用于求解非刚性微分方程。对于大多数问题能获得满意的解。刚性微分方程。对于大多数问题能获得满意的解。ODE23一种显式一种显式RK（2-3）公式，单步法，变步长，适用于求解非）公式，单步法，变步长，适用于求解非刚性微分方程。在允许计算误差较大或方程具有轻微刚性时，刚性微分方程。在允许计算误差较大或方程具有轻微刚性时，效果比效果比ODE45好。好。ODE113一种变阶一种变阶Adams-Bashforth-M

20、oulon算法，多步法，适用于求算法，多步法，适用于求解非刚性微分方程。在允许计算误差较小时，比解非刚性微分方程。在允许计算误差较小时，比ODE45更有更有效。效。ODE15s多步法，用于求解多步法，用于求解刚性微分方程刚性微分方程。当。当ODE45、ODE113无法无法解决问题时，可尝试用解决问题时，可尝试用ODE15s求解。求解。ODE23s单步法，用于求解单步法，用于求解刚性微分方程刚性微分方程。若在使用。若在使用ODE15s无效情无效情况下，可尝试使用况下，可尝试使用ODE23s来求解某些刚性方程。在允许计来求解某些刚性方程。在允许计算误差较大时，比算误差较大时，比ODE15s更有效。

21、更有效。仿真教学PPT课件函数调用格式：函数调用格式：说明说明：（1）solver为数值积分函数名为数值积分函数名，即，即ODE45、ODE23、ODE113、ODE15s、ODE23s。（2）F是描述常微分方程的函数是描述常微分方程的函数m文件名文件名。（3）tspan为一个行向量，描述运算的起止时间为一个行向量，描述运算的起止时间。例如。例如0 20。（4）y0为初始值为初始值。)0, (,ytspanFsolveryt仿真教学PPT课件解决问题的一般步骤：解决问题的一般步骤： 首先把描述系统的高阶微分方程转变为一阶微首先把描述系统的高阶微分方程转变为一阶微分方程组形式。分方程组形式。 建

22、立一个建立一个函数函数m m文件文件用于描述该一阶微分方程用于描述该一阶微分方程 组。组。1.1. 再建立一个再建立一个脚本脚本m m文件文件，调用某个，调用某个solversolver函数求函数求解微分方程。解微分方程。仿真教学PPT课件【例例3.4-1】 已知二阶微分方程已知二阶微分方程0)1 (2yyyy 初始条件：初始条件：1)0(,0)0(yy求时间区间求时间区间t=0 20微分方程的解微分方程的解。解：分三个步骤求解解：分三个步骤求解（1）将微分方程表示为一阶微分方程组）将微分方程表示为一阶微分方程组1221221)1(yyyyyy（2）建立描述微分方程组的）建立描述微分方程组的函

23、数函数m文件文件vdp.m function dy=vdp(t,y) dy=y(2);(1-y(1)*y(1)*y(2)-y(1);（3）建立）建立脚本脚本m文件文件example23.m，调用解题器指令求解调用解题器指令求解yt,y=ode45(vdp,0 20,0,1);plot(t,y(:,1),r-,t,y(:,2),b:);xlabel(t);ylabel(y);legend(y1,y2);仿真教学PPT课件【例例3.4-2】 已知一个刚体在无外力作用下运动方程及初始条件为已知一个刚体在无外力作用下运动方程及初始条件为2133123212yyyyyyyyy初始条件：初始条件：1) 0

24、(, 1) 0(,0) 0(321yyy求时间区间求时间区间t=0 12微分方程的解。微分方程的解。解：分两个步骤求解解：分两个步骤求解（1）建立描述微分方程组的函数）建立描述微分方程组的函数m文文 件件rigit.m unction dy=rigit(t,y) dy=y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-2*y(1)*y(2);（2）建立脚本）建立脚本m文件文件example24.m，调用解题器指令求解调用解题器指令求解yt,y=ode45(rigit,0 12,0 1 1);plot(t,y(:,1),r-,t,y(:,2),b:,t,y(:,3),g-);xlabel(t);yla

25、bel(y);legend(y1,y2,y3);仿真教学PPT课件几个基本概念：几个基本概念： （1）单步法和多步法）单步法和多步法单步法是指计算某时刻数值单步法是指计算某时刻数值 ，只需前一时刻，只需前一时刻 有关信息，它是一种有关信息，它是一种能自启动的算法。多步法是指计算某时刻数值能自启动的算法。多步法是指计算某时刻数值 ，需要，需要 时刻有时刻有关信息，它是一种不能自启动的算法。关信息，它是一种不能自启动的算法。（2 2）显式法和隐式法）显式法和隐式法 显式法是指计算显式法是指计算 时所需数据均已算出。隐式法是指计算时所需数据均已算出。隐式法是指计算 的算式的算式中含有中含有 时刻的数据。因此在使用隐式公式中，需要用另一公式估计这里时刻的数据。因此在使用隐式公式中，需要用另一公式估计这里未知数据，然后用隐式公式进行迭代，这叫预估未知数据，然后用隐式公式进行迭代，这叫预估校正法。显然这种方法不校正法。显然这种方法不能字启动。能字启动。（3 3）定步长和变步长）定步长和变步长 定步长为积分步长定步长为积分步长 h 在仿真运行过程中始在仿真运行过程中始终不变。而积分步长在仿真运行过程中自动修正改变为变步长。终不变。而积分步长在仿真运行过程中自动修正改变为变步长。mt, 1,mmtt1my1mt1my1my1my