排列组合专题复习及经典例题详解

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1、排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略3.难点综合运用解题策略解决问题4.学习过程:(1)知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法在第n类型办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种

2、不同的方法，做第n步有种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏3排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，时叫做选排列，时叫做全排列.4排列数：从n个不同元素中，取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.5排列数公式：排列数具有的性质：特别提醒：规定0!=16

3、组合：从n个不同的元素中，任取m(mn)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7组合数：从n个不同元素中取m(mn)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示. 8组合数公式：组合数的两个性质： ； 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（

4、5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲

5、、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有种站法，故共有站法为此外，也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下

6、2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有站法.（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，甲在左端而且乙在右端的站法有种，故甲不站左端、乙不站右端共有-2+=504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有种，故共有+=504（种）站法.考点二:组合问题例

7、2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为.（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为.方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法.（3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选

8、法为；“男、女队长都入选”的选法为；所以共有2+=196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为-=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，而且其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有种.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先

9、从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类：第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂测试1.从5名男医生、4名女医生

10、中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有种解题策略：合理分类与准确分步的策略2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一

11、个，最后剩余的三人进行全排列有种选法（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有种方法故共有种选法解题策略：.特殊元素优先安排的策略.合理分类与准确分步的策略.排列、组合混合问题先选后排的策略3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48 B.12 C.180 D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：从另外两个偶数中选一个，有种方法，.从3个奇数中选两个，有种方法；.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；.其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘

12、法原理共有种方法（2）不含0，分步：偶数必然是2和4 ；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法解题策略：合理分类与准确分步的策略5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

13、（ ）A.6 B.12 C.30 D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法，甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有种选法，由分步计数原理此时共有种最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种故选C法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有种选法，所

14、以至少有一门不相同的选法为种不同的选法解题策略：正难则反，等价转化的策略6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324 B.328 C.360 D.648【解析】：第一类个位是0，共种不同的排法；第二类个位不是0，共种不同的解法故共有+=328（个）解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85 B.56 C.49 D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有种选法，甲、乙有一个被选中，有种不同的选法，共+=49种不同的选法解题策略：（1）特殊元素

15、优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.4 B.18 C.24 D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进行全排列共种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共种不同的排法所以总的排法为-=30种注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题解题策略：.正难则反、等价转化的策略.相邻问题捆绑处理的策略.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复