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1、2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题二 第四讲 高考中的三角函数第四讲 高考中的三角函数(解答题型) 1(2014?重庆高考)已知函数f(x),3sin(x，)0，,?的图象关于直线x,对223称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值; 323,(2)若f,，求cos，的值( ,24632解:(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T,，从2而,2. T又因为f(x)的图象关于直线x,对称， 3所以2，,k，k,0，?1，?2，. 322由,?得k,0，所以,. 222363,(2)由(1)得f,3sin 2?,， ,22641,所以
2、sin ,. ,642由得0,， 636211522,所以cos,1,sin,1,. ,66443,因此cos， ,2,sin ，,sin,， ，,，66,sin,cos，cos,sin ,666613151,， 42423，15,. 8(2014?湖南高考)如图，在平面四边形ABCD中，AD,1，CD,2，AC,7. 2(1)求cos?CAD的值; 721(2)若cos?BAD,，sin?CBA,，求BC的长( 146222AC，AD,CD解:(1)在?ADC中，由余弦定理，得cos?CAD,. 2AC?AD7，1,427故由题设知，cos?CAD,. 727(2)设?BAC,，则,?BAD
3、,?CAD. 277因为cos?CAD,，cos?BAD,， 714212722,所以sin?CAD,1,cos?CAD,1,， ,7732122,7,sin?BAD,1,cos?BAD,1,. ,1414于是sin ,sin(?BAD,?CAD) ,sin?BADcos?CAD,cos?BADsin?CAD 3212721,7, ,1477143,. 2BCAC在?ABC中，由正弦定理，,. sin sin?CBA37AC?sin 2故BC,3. sin?CBA2161(辅助角公式 b22asin x，bcos x,a，bsin(x，)，其中tan ,. a可利用辅助角公式求最值、单调区间和
4、周期( 2(三角形的面积公式 111(1)S,ah,bh,ch(h，h，h分别是边a，b，c上的高); abcabc222111(2)S,absin C,bcsin A,acsin B; 222(3)S,s,s,s,a,b,s,c,(海伦公式)( ?ABC3(解三角形常见问题 (1)已知一边和两角解三角形; (2)已知两边及其中一边的对角解三角形; (3)已知两边及其夹角解三角形; (4)已知三边解三角形; (5)三角形形状的判定; (6)三角形的面积问题; (7)正弦、余弦定理的综合应用( 热点一 三角变换与求值 (1)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简，进而研究三角函数的图象与性质;
5、命题角度 (2)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简，且与解三角形交汇命题. 例1 (1)(2014?江西高考)已知函数f(x),sin(x，)，acos(x，2)，其中a?R，,?,，. ,22?当a,2，,时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值; 4,?若f,0，f(),1，求a，的值( ,22，(2)(2014?合肥模拟)若函数f(x),2cosx，23sin xcos x，m在区间0，上的最大值为2. ，2?求函数f(x)的单调递增区间; A6,?在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f,1，a,c，求sin B. ,2222,sin x，cos x师生共研 (1
6、)?f(x),sinx，2cosx，,(),2sin x,cos x,42222,sin x,sin,x， ,243，因为x?0，从而,x?,， ，4442故f(x)在0，上的最大值为，最小值为,1. 2,f,0，cos ,1,2asin ,0，,2,?由得, 2 2asin, ,sin ,a,1，, ,f,1，a,1，,又?,，知cos ?0，解得 ,22,. ,62,31,(2)?f(x),2cosx，23sin xcos x，m,1，cos 2x，3sin 2x，m,2sin 2x，cos 2x,22,，m，1,2sin2x，m，1， ,6，因为函数f(x)在区间0，上的最大值为2， ，
7、27,则由?2x，?知，当2x，,，即x,时，f(x),2sin2x，m，1的最大值为2,6666266，m，1,2， ,所以m,1，所以f(x),2sin2x，. ,6由2k,?2x，?2k，(k?Z)，得k,?x?k，(k?Z)， 26236所以函数f(x)的单调递增区间为k,，k，(k?Z)( 36A1,1，所以sin?因为fA，,， ,2627523因为A，0，0)的振幅为2，其图象的相4邻两个对称中心之间的距离为. 326,(1)若f，,，0，求sin ; ,3125(2)将函数y,f(x)的图象向右平移个单位得到y,g(x)的图象，若函数y,g(x),k在611，0，上有零点，求实
8、数k的取值范围( ，3622,师生共研 (1)由题知A,2，T,，?,3，?f(x),2sin3x， ,34226，,又f，,2sin3，,2sin2，,2cos 2,， ,，,，3123124253?cos 2,， 51,cos 212?sin,， 25又?00，所以,， 42,所以f(x),3sinx，. ,23令,，2k?x，?，2k，k?Z， 22325151，得,，4k?x?，4k，k?Z，所以函数f(x)的单调递增区间为,，4k，4k，k?Z. ，33332(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x),3sinx， 32因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点， 所以P(
9、1，3)、Q(3，,3)， 所以OP,2，PQ,4，OQ,23， 222OQ，PQ,OP3所以cos?OQP,， 2OQ?PQ2所以?OQP,. 6热点三 解三角形的实际应用 将实际问题转化为一个或几个三角形中命题角度 的问题，然后利用正弦定理、余弦定理解决. 例3 如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，?AOB,60?，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在AB上选一点C，过C修建与 OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得 修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由( 师生共研 60?， 由题意知，四边形ODCE是平行四边形(因为?AOB
10、,所以?ODC,120?. 连接OC，设OC,r，OD,x，OE,y，则CE,x，CD,y. 222222在?ODC中，由余弦定理得OC,OD，DC,2OD?DCcos 120?，即r,x，y，xy. x，y2222,所以(x，y),r，xy?r，. ,2233解得x，y?r，当且仅当x,y,r时取等号， 3323所以x，y的最大值为r，此时C为的中点( 3即点C应选在的中点处，才能使得修建的道路总长最大( 应用三角知识解决实际问题的思路如下: (1)分析题意，理解有关问题的题意和应用背景，画出示意图，并将已知条件在图形中标出; (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理
11、等知识求解; (3)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案( 3.如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点M的地方，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机(问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米, 解:作MI垂直公路所在直线于点I，则MI,3， 4?OM,5，?OI,4，?cos?MOI,.设骑摩托车的人的速度为v千米/小时，追上汽车5的时间为t小时， 4222由余弦定理得
12、(vt),5，(50t),2550t， 525400122,即v,，2 500,25,8，900?900， 2,ttt13015当t,时，v取得最小值为30，?其行驶距离为vt, 千米( ?884故骑摩托车的人至少以30千米/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车15行驶了 千米( 4热点四 三角与向量的综合问题 用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，命题角度 利用向量的模表述三角函数间的关系等，然后考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质及解三角形等. 2例4 (2014?福州模拟)已知函数f(x),2cosx，23sin xcos
13、 x(x?R)( ，(1)当x?0，时，求函数f(x)的单调递增区间; ，2(2)设?ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c,3，f(C),2，若向量m,(1，sin A)与向量n,(2，sin B)共线，求a，b的值( 2,师生共研 (1)f(x),2cosx，3sin 2x,cos 2x，3sin 2x，1,2sin2x，1. ,6令,，2k?2x，?，2k，k?Z， 2622，解得2k,?2x?2k，即k,?x?k，.?x?0，?f(x)的单调递增区间为，33362，0，. ，6131,(2)由f(C),2sin2C，1,2，得sin2C，,.又C?(0，)，?2C，?，
14、,6626665?2C，,，得C,. 663?向量m,(1，sin A)与向量n,(2，sin B)共线， sin A1a1?,，由正弦定理得,. ? sin B2b222222由c,，a，b,2abcos，得ab,ab,9. ? 3由?解得a,3，b,23. 在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决(解决本题的关键是利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为解三角形问题求解( 4(已知向量m,(cos A，,sin A)，n,(cos B，sin B)，m?n,cos 2C，其中A，B，C为?ABC的内角( (1)求
15、角C的大小; (2)若AB,6，且,18，求AC，BC的长( 解:(1)m?n,cos Acos B,sin Asin B,cos(A，B)， 因为A，B，C,， 所以cos(A，B),cos C,cos 2C， 2即2cosC，cos C,1,0， 1故cos C,或cos C,1， 2又0C，所以C,. 3(2)因为,18，所以CA?CB,36， ? 222由余弦定理AB,AC，BC,2AC?BC?cos，及AB,6得，AC，BC,12， ? 3由?解得AC,6，BC,6. 课题3 利用正弦、余弦定理解三角形 典例 (2014?山东高考)?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已
16、知 a,3，6cos A,，B,A，. 32(1)求b 的值; (2)求?ABC 的面积( 考题揭秘 本题考查解三角形中正弦定理的应用，三角公式的应用，三角形面积公式等基础知识和基本方法，考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力( 6审题过程 第一步:审条件(已知?ABC中，a,3，cos A,，B,A，. 32第二步:审结论(求b的值及?ABC的面积( 第三步:建联系(1)根据已知条件求出sin A和sin B，然后利用正弦定理求解;(2)求出sin C，然后使用三角形面积公式( 规范解答 (1)在?ABC中， 32由题意知sin A, 1,cosA,，又因为B,A， 326,所以s
17、in B,sinA，,cos A,.? ,23ab由正弦定理,，? sin sin AB63asin B3得b,32.? sin A333,(2)由B,A，得cos B,cosA，,sin A,.由A，B，C,，得C,(A，B)( ,223所以sin C,sin,(A，B),sin(A，B) ,sin Acos B，cos Asin B 36613,，,. ,3333311132因此?ABC的面积S,absin C,332,. 2232跟踪训练 设?ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b,3，c,1，A,2B. (1)求a的值; ,(2)求sinA，的值( ,4解:(1)因为A
18、,2B，所以sin A,sin 2B,2sin Bcos B. 222a，c,b由正弦、余弦定理得a,2b?. 2ac2因为b,3，c,1，所以a,12，a,23. 222b，c,a9，1,121(2)由余弦定理得cos A,. 2bc631222由于0A，所以sin A,1,cosA,1,. 934,212222,故sinA，,sin Acos，cos Asin,，,. ,44432326A,B21(在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin，4sin Asin B2,2，2. (1)求角C的大小; (2)已知b,4，?ABC的面积为6，求边长c的值( ，2， 解:(
19、1)由已知得21,cos(A,B)，4sin Asin B,2化简得,2cos Acos B，2sin Asin B,2， 2故cos(A，B),. 23所以A，B,，从而C,. 441(2)因为S,absin C，由S,6，b,4，C,，得a,32. ?ABCABC24222由余弦定理c,a，b,2abcos C，得c,10. 2，2(2014?南昌模拟)已知函数f(x),2cosx，23sin x?cos x，a，且当x?0，时，f(x)，6的最小值为2. (1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间; 1(2)保持函数y,f(x)的图象上的点的纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的，再把所得图2
20、，个单位长度，得到函数y,g(x)的图象，求方程g(x),2在区间象向右平移0，上的所有，122根之和( 解:(1)函数f(x),cos 2x，1，3sin 2x，a,2sin2x，a，1， 6，?x?0， ，6，?2x，?， ，662?f(x),a，2,2，故a,0，f(x),2sin2x，1. min6由2k,?2x，?2k，解得k,?x?k，(k?Z)， 26236，故函数f(x)的单调递增区间为k,，k，(k?Z)( ，36，,(2)由题意，g(x),2sin4x,，1,2sin4x,，1， ，,，126615,由g(x),2得sin4x,，则4x,2k，或2k，(k?Z)， ,626
21、66kk解得x,，或，(k?Z)， 21224，?x?0，?x,或， ，2124，故方程g(x),2在区间0，上的所有根之和为，,. ，212431,3(2014?青岛模拟)已知向量m,sin2x，sin x，n,(1，sin x)，f(x),m?n,. ,62(1)求函数f(x)的单调递减区间; A1,(2)在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a,23，f,，若3sin(A，,22C),2cos C，求b的大小( 12,解:(1)f(x),sin2x，sinx, ,621,cos 2x311,sin 2x，cos 2x，, 22223,sin 2x. 23，所以f(x)的单调递
22、减区间是k，k，k?Z. ，44A133,(2)由f,和f(x),sin 2x，得sin A,. ,2223636?若cos A,，则sin(A，C),cos C，sin C， 333又3sin(A，C),2cos C，所以cos C,2sin C. 6因为0C，所以cos C,. 366?若cos A,，同理可得:cos C,，显然不符合题意，舍去( 33222所以sin B,sin(A，C),cos C,. 33asin B故b,42. sin A五、教学目标：4(2014?厦门模拟) （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口
23、方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场(为了适应不同人群的面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A,C,P和滑雪练习道A,E,542P(如图)(已知cos?ACP,，cos?APC,，cos?APE,，公
24、路AP长为10(单位:百5534.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即米)，滑道EP长为6(单位:百米)( (1)求滑道CP的长度; 156.46.10总复习4 P84-90(2)由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP上找一处D，修建连接道DC，DE.问DP多长时，才能使连接道DC，DE最短，最短为多少百米, 应用题54解:(1)?cos?ACP,，cos?APC,， 55一锐角三角函数253?sin?ACP,，sin?APC,. 555?sin?PAC,sin(?APC，?ACP),sin?APC?cos?ACP，
25、sin?ACP?cos?APC,， 55.圆周角和圆心角的关系:PCAP,， sin?ACPsin?PAC?CP,5， ?滑道CP的长度是5百米( 二特殊角的三角函数值(2)设DP,x，x?0,10( 42?EP,6，CP,5，cos?APC,，cos?APE,， 5322，36,8?DE,x,2x?6?cos?APE,xx，36， 若a0，则当x时，y随x的增大而减小。22DC,x，25,2x?5?cos?APC,x,8x，25， 22?DE，DC,x,8x，36，x,8x，25， 2222令f(x),DE，DC,x,8x，36，x,8x，25,x,，4,20，,x,，4,9， 当且仅当x,4时，f(x),f(4),3，25. min?当DP为4百米时，DE，DC最短，为(3，25)百米(
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