线性代数第四章学习教案

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1、会计学1线性代数线性代数(xin xn di sh)第四章第四章第一页，共119页。2第2页/共119页第二页，共119页。3第3页/共119页第三页，共119页。4nbbb12 第4页/共119页第四页，共119页。5第5页/共119页第五页，共119页。6第6页/共119页第六页，共119页。7第7页/共119页第七页，共119页。8 显然, 关于(guny)向量的加法和数乘, 定理中运算律成立. 我们现在定义：第8页/共119页第八页，共119页。9 1 + = + （加法交换律）（加法交换律） 2 +(+)=(+)+ （加法结合律）（加法结合律） 3 +O= 4 +(-)=O 5 1=

2、 6 k(l)=(kl) 7. k( + )=k+k 8. (k+l)= k+l其中其中(qzhng), , , 是任意向量是任意向量, k, l是任意的实数是任意的实数. 第9页/共119页第九页，共119页。10第10页/共119页第十页，共119页。11二二. 向量子向量子(lingz)空间空间第11页/共119页第十一页，共119页。12例例1 证明证明: 如果如果W是是Rn的一个的一个(y )子空间子空间, 则必有则必有OW.aa3 例例2 设设S为为R2中所有形如中所有形如 (a为任意实数为任意实数) 的向量的向量(xingling)的集合的集合, 验证验证S是是R2的一个子空间的

3、一个子空间.例例3 验证验证(ynzhng)下述集合是下述集合是Rn(n2)的一个子空间的一个子空间. 121121( , , , , 0)|, , , nnSaaaaaaR第12页/共119页第十二页，共119页。13例例4 验证如下形式的向量的全体验证如下形式的向量的全体(qunt)构成的集合构成的集合 不是不是 的子空间的子空间.Raa21,12(, 1),aa 明显(mngxin)地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零向量的子集 =O 也是Rn 的一个子空间. 第13页/共119页第十三页，共119页。14线性组合与线性表出线性组合与线性表出线性组合与线性表出线性组合与线性表出

4、 定义定义(dngy) 设设 1, 2, , mRn, k1, k2, , km 为为m个数个数, 称向称向k11+k22+kmm为向量组为向量组1, 2, , m的一个线性组合的一个线性组合.，第14页/共119页第十四页，共119页。15 定义定义 设设 1, 2, , m, Rn, 如果存在数如果存在数l1, l2, , lm 使得使得(sh de)=l11+l22+lmm则称向量则称向量 可由向量组可由向量组1, 2, , m线性表出线性表出.，第15页/共119页第十五页，共119页。16 例线性方程组的向量形式例线性方程组的向量形式: 给定一线性方程组给定一线性方程组令系数矩阵令系

5、数矩阵 aijmn的列向量组为的列向量组为1, 2, , n, 而且而且(r qi)令向量令向量 =(b1, b2, , bm)T,则该线性方程组可以表示为以下向量形式：则该线性方程组可以表示为以下向量形式： x11+ x22+xnn =从而从而, 线性方程组是否有解当且仅当该方程组的常数项向量线性方程组是否有解当且仅当该方程组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组是否可由其系数矩阵的列向量组1, 1, , n线性表出线性表出.mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111第16页/共119页第十六页，共119页。17 例试判定例试判定

6、(pndng)向量向量=(1, 2, 0, 2)T是否可由向量组是否可由向量组线性表出线性表出. 1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T第17页/共119页第十七页，共119页。18定理设定理设1, 2, , m是一组向量，则是一组向量，则span(1, 2, , m)是一个是一个(y )向量空间向量空间.二、生成二、生成(shn chn)子空间子空间*第18页/共119页第十八页，共119页。19推论设推论设W是是Rn的一个子空间的一个子空间,1, 2, , m是是W中一中一组向量组向量, 则则W=s

7、pan(1, 2, , m)（即（即W由向量组由向量组1, 2, , m所生成）的充分所生成）的充分(chngfn)必要条件是：必要条件是：W中每一向量可由中每一向量可由1, 2, , m线性表出线性表出. 定理设定理设W是是Rn的一个的一个(y )子空间子空间, 1, 2, , m是是W中一组向量中一组向量, 则则span(1, 2, , m)W 第19页/共119页第十九页，共119页。20注注. 若若W=span(1, 2, , m) , 则称则称1, 2, , m是子空间是子空间(kngjin)W的一组生成元的一组生成元, 并称并称W为为1, 2, , m生成的子空间生成的子空间(kn

8、gjin).第20页/共119页第二十页，共119页。21第21页/共119页第二十一页，共119页。22 取取, 为平面为平面 上起点在原点且不共线的两个向量上起点在原点且不共线的两个向量. 则则, 生成了生成了 的一个子空间的一个子空间 . 由由, 不共线知不共线知, 对对任意的两个不全为零的数任意的两个不全为零的数k和和l, 线性组合线性组合k+l 不是不是零向量零向量. 否则否则,如有不全为零的数如有不全为零的数k和和l, 使得使得 k+l=O不妨不妨(bfng)设设l0，则有，则有 =(k/l) 从而从而 与与共线共线(即即 是是 的的 倍倍),矛盾矛盾. 因此因此, 等式等式 k+

9、l=O， k，lR 要成立要成立, 必须有必须有 k0 和和 l0同时成立同时成立. 此时称此时称与与是线性无关的是线性无关的. 第22页/共119页第二十二页，共119页。23 另外，由另外，由, 生成生成W知，知，W中任意中任意(rny)向量向量可由可由, 线性表出线性表出, 即存在实数即存在实数c和和d，使得，使得 =c+d 即有即有 c+d =O 从而从而, 有不全为零的数有不全为零的数c, d, 和和1, 使得成立使得成立. 这时称向量这时称向量组组 , , 是线性相关的是线性相关的.第23页/共119页第二十三页，共119页。24 设设1, 2, , m是向量空间是向量空间V的一组

10、向量的一组向量. 如存如存在一组不全为零的数在一组不全为零的数k1, k2, , km使得使得 k11+ k22 + + kmm=O则称则称1, 2, , m是线性相关的；是线性相关的；否则否则(fuz), 当且仅当当且仅当k1, k2, , km全为零时式才成全为零时式才成立立, 则称则称1, 2, , m是线性无关的是线性无关的. 第24页/共119页第二十四页，共119页。25 单独单独(dnd)(dnd)一个向量线性相关当且仅当它是一个向量线性相关当且仅当它是零向量零向量 单独单独(dnd)(dnd)一个向量线性无关当且仅当它是非零一个向量线性无关当且仅当它是非零向量向量两向量线性相关

11、两向量线性相关两向量对应元素成比例两向量对应元素成比例两向量线性无关两向量线性无关两向量不对应成比例两向量不对应成比例注注. .第25页/共119页第二十五页，共119页。26 一向量组中存在一个向量，则一定线性相一向量组中存在一个向量，则一定线性相关关 几何几何(j h)(j h)上：两向量线性相关上：两向量线性相关两向量两向量共线；三向量线性相关共线；三向量线性相关三向量共面三向量共面. .第26页/共119页第二十六页，共119页。27( )( ,),( ,),(,),( ,) 1234211020 11 10021( )( ,) ,( ,) ,( ,)TTT 1233423201253

12、第27页/共119页第二十七页，共119页。28kkkkkkkkk 123123123240204320第28页/共119页第二十八页，共119页。29 124211432rrrr 1213241240390514rr2353124039001第29页/共119页第二十九页，共119页。30 121010120101rr 12121002020101rr 23121001010202rr 232121001010004第30页/共119页第三十页，共119页。31第31页/共119页第三十一页，共119页。32小结：判定给定的一向量组小结：判定给定的一向量组1, 2, , m是否线是否线性相关

13、或线性无关，通常运用性相关或线性无关，通常运用“待定系数待定系数(xsh)法法”，即设待定系数即设待定系数(xsh) 满足关系式满足关系式再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关于这于这m个待定系数个待定系数(xsh)（做为未知量）的齐次线性（做为未知量）的齐次线性方程组，并进一步求解方程组，并进一步求解. 如有非零解如有非零解, 则则1, 2, , m线性相关线性相关. 否则否则, 1, 2, , m线性无关线性无关. 在本在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线性相关性进行判定性相关

14、性进行判定.1122mmkkkO第32页/共119页第三十二页，共119页。33第33页/共119页第三十三页，共119页。34iisiiisiiiikkkkkkkk 111111证证. . 必要性必要性. .线性相关，线性相关，iiiissiikkkkk 1 11111至少有一个系数至少有一个系数(xsh)ki0，使得，使得第34页/共119页第三十四页，共119页。35充分性充分性. .1111111111110iiiiissiiiiissllllllll 所以所以(suy)A(suy)A线性相关线性相关. .第35页/共119页第三十五页，共119页。36第36页/共119页第三十六页，

15、共119页。37第37页/共119页第三十七页，共119页。38ssssmmsmskkkkkk 111112121211 ,mmmssssmkkkkkkkkk 111212122121212第38页/共119页第三十八页，共119页。39通俗通俗(tn s)地：地：“多的如能被少的表出，则相多的如能被少的表出，则相关关”.此定理可等价地叙述为：此定理可等价地叙述为：通俗地说，通俗地说，“少的不能表出多的无关组少的不能表出多的无关组”.第39页/共119页第三十九页，共119页。40第40页/共119页第四十页，共119页。41,kkkabcabc 123111111000000第41页/共11

16、9页第四十一页，共119页。42第42页/共119页第四十二页，共119页。43第43页/共119页第四十三页，共119页。44第44页/共119页第四十四页，共119页。45第45页/共119页第四十五页，共119页。46证证. .设向量组设向量组 中有中有r r个向量线性相关，个向量线性相关，不妨设不妨设 线性相关，则存在一组不全为线性相关，则存在一组不全为零的数零的数 ，使得，使得(sh de)(sh de)因而存在不全为零的数因而存在不全为零的数 使得使得(sh (sh de)de)故故 线性相关线性相关. . 11220rrkkk 11221000rrrskkk 12, , ,s 1

17、2,rk kk12,r 12,0,0rk kk12,s 第46页/共119页第四十六页，共119页。47第47页/共119页第四十七页，共119页。48第48页/共119页第四十八页，共119页。49例例6.6.若向量若向量(xingling)(xingling)组组 线性相关线性相关，而向量，而向量(xingling)(xingling)组组 线性无关，线性无关，则向量则向量(xingling) (xingling) 可由可由 线性表出，且表示法唯一线性表出，且表示法唯一. .12,s 12,s 12,s 证明证明(zhngmng).(zhngmng).第49页/共119页第四十九页，共11

18、9页。50 向量空间向量空间V 中一组向量中一组向量1, 2 , , m 如满足如满足 (i) 1, 2 , , m线性无关线性无关(wgun); (ii) V 中任一向量可由此向量组线性表出中任一向量可由此向量组线性表出.则称则称1, 2 , , m为为V 中的一个基中的一个基. 第50页/共119页第五十页，共119页。51第51页/共119页第五十一页，共119页。52第52页/共119页第五十二页，共119页。53( ,),( ,),( ,) 12312 1 4 1 102 1 0 1 103 0 2 1 0 讨论向量空间讨论向量空间 span( 1, 2, 3)的维数的维数. 第53

19、页/共119页第五十三页，共119页。54第54页/共119页第五十四页，共119页。55, 1234510001010110011100000 例如例如(lr), 下述五个四维向量显然线性下述五个四维向量显然线性相关相关.第55页/共119页第五十五页，共119页。56第56页/共119页第五十六页，共119页。57第57页/共119页第五十七页，共119页。58定理定理(dngl) 设向量组设向量组可由向量组1, 2, , s线性表出, 则向量组第58页/共119页第五十八页，共119页。59定理定理(dngl) 设向量组设向量组可由向量(xingling)组1, 2, , s线性表出,

20、则向量(xingling)组第59页/共119页第五十九页，共119页。60 ,TTTT 1234031138226552000280411第60页/共119页第六十页，共119页。61rr 21382203116552000280411rrrr 131534382203110291111000208821rrrr 232511838220311000400020003/()r 3438220311000100020003第61页/共119页第六十一页，共119页。62/1201 2010011000100000000r ,rrrrrrrr 31323435832330220011000100

21、000000rr 21300210011000100000000第62页/共119页第六十二页，共119页。63. 31212第63页/共119页第六十三页，共119页。64给定一给定一 m n 级的矩阵级的矩阵 A=(aij)m n. . 第64页/共119页第六十四页，共119页。65第65页/共119页第六十五页，共119页。66第66页/共119页第六十六页，共119页。67第67页/共119页第六十七页，共119页。68第68页/共119页第六十八页，共119页。69第69页/共119页第六十九页，共119页。70 1112121222121212(,)(,)sssnnnnsbbbb

22、bbbbb 第70页/共119页第七十页，共119页。71即，即， 1, 2, s可由可由 1, 2, n线性表出，线性表出， r( AB)r( A)同理可证同理可证 r( AB)r(B),总之总之(zngzh)，r ABr Ar B()min( ( ),( ) 故故 1, 2, s的任一极大无关的任一极大无关(wgun)组可由组可由 1, 2, n的任一极大无关的任一极大无关(wgun)组线性表出，从而组线性表出，从而第71页/共119页第七十一页，共119页。72第72页/共119页第七十二页，共119页。73设齐次线性方程组设齐次线性方程组 AXO (4.7.1) 其中其中 (),(,)

23、 ,( , ,)TTijm nnmAaXxxxO1210 00. . 第73页/共119页第七十三页，共119页。74第74页/共119页第七十四页，共119页。75第75页/共119页第七十五页，共119页。76rnrnrrrrrnr rrncccddccddA11111,11,11100000000000000 第76页/共119页第七十六页，共119页。77rrnnrrnnrr rrrnnxdxd xxdxd xxdxd x11,11122,112,11 ,rrnxxx12100010001 第77页/共119页第七十七页，共119页。78显然显然(xinrn)(xinrn),rrnr

24、rr rrnn rdddddd 111211212100010001是齐次方程组的一组解，且由于是齐次方程组的一组解，且由于右边的向量组无关右边的向量组无关(wgun)(wgun)，故，故以上的向量组也是一个无关以上的向量组也是一个无关(wgun)(wgun)组组. .,100010001 第78页/共119页第七十八页，共119页。79另一方面，把上述方程组写成向量另一方面，把上述方程组写成向量(xingling)(xingling)的形式，的形式，,rrnrr rr rrnrrrnrnxdddxdddxxxxxx111121121122100010001 ,n r12 第79页/共119页

25、第七十九页，共119页。80第80页/共119页第八十页，共119页。81 xxxxxxxxxxx 123123412342302440510170 例求下述齐次线性方程组的一个例求下述齐次线性方程组的一个(y )基础解系，基础解系，并写出其通解并写出其通解.12132512301230244100215101710021rrrr 解解. .对系数矩阵对系数矩阵(j zhn)(j zhn)作初等行变换作初等行变换第81页/共119页第八十一页，共119页。822321121.50.512301201.500210010.500000000rrrrr 所以所以(suy)(suy)12424322

26、12xxxxx 第82页/共119页第八十二页，共119页。831223/210,;01 201 从而基础解系为从而基础解系为通解为通解为1 12212,(,).xkkk kR 第83页/共119页第八十三页，共119页。84解解. .对系数矩阵作初等对系数矩阵作初等(chdng)(chdng)行变换行变换补充例补充例1 1 求下列齐次线性方程组求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解. .1234123423340253207730 xxxxxxxxxxxx 111125327731A r102/73/7015/74/70000 第84页/共119页第八十四页，共119页。851

27、22/73/75/74/7,;1001 从而基础解系为从而基础解系为通解为通解为1 12212,(,).xkkk kR 所以所以(suy)(suy)13423423775477xxxxxx 第85页/共119页第八十五页，共119页。86r171002231010440001200000 32050323612015316414A 补充例补充例2 求下列以求下列以A为系数矩阵为系数矩阵(j zhn)齐次方程组的基齐次方程组的基础解系与通解础解系与通解第86页/共119页第八十六页，共119页。87120.53.50.750.25,100201 所以所以(suy)(suy)，基础解系，基础解系为

28、为所以线性方程组的通解为所以线性方程组的通解为 1 12212,. xkkk kR 第87页/共119页第八十七页，共119页。88非齐次的线性方程组的解的讨论非齐次的线性方程组的解的讨论(toln) 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组AX=其中其中(qzhng)A=(aij)mn, X=(x1, x2, , xn)T, (b1, b2, , bm)T, 并且并且 b1, b2, , bm 不全为零不全为零. 上述方程组有解时上述方程组有解时, 其解与对应其解与对应(duyng)的齐次线的齐次线性方程组性方程组AX=O的解有着密切的联系的解有着密切的联系.第88页/共119页第八十八页，共1

29、19页。89第89页/共119页第八十九页，共119页。90第90页/共119页第九十页，共119页。91第91页/共119页第九十一页，共119页。92 xxxxxxxxxxx 123123412342312443510174 例例 求下述非齐次线性方程组的通解求下述非齐次线性方程组的通解(tngji)： 12132512301123012441300211510171400211rrrr 解解. .对方程组的增广对方程组的增广(zn un)(zn un)矩阵进行行初等变换：矩阵进行行初等变换：第92页/共119页第九十二页，共119页。932321121.50.5123011201.52.

30、5002110010.50.50000000000rrrrr 所以所以(suy)(suy)12424352221122xxxxx 原方程组的一个原方程组的一个(y )(y )特解为特解为051,0,022T 第93页/共119页第九十三页，共119页。941223/210,;01 201 导出组的基础导出组的基础(jch)解系为解系为通解为通解为01 12212,(,).xkkk kR 第94页/共119页第九十四页，共119页。95 25,R AR B 因因所以线性方程组有无穷多解所以线性方程组有无穷多解. .解解. .对增广矩阵对增广矩阵(j zhn)(j zhn)进行行初等变换：进行行初

31、等变换：1 1 1 1173 1 2 1320 2 1 2623B 1 0 1/2 029/20 1 1/2 1323/20 00000r 补充例补充例3 求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组123451234523457323222623xxxxxxxxxxxxxx 第95页/共119页第九十五页，共119页。96xxxxxxx135234519222123322 所所以以1231/2021/213,.100010001 令令，求得基础解系为，求得基础解系为345100010001xxx ，第96页/共119页第九十六页，共119页。97令令345000 xxx ，得一特解，得一

32、特解9/223/2000 故所求通解为故所求通解为1231/2029/21/21323/2100001000010 xkkk 123,k k kR 第97页/共119页第九十七页，共119页。98求该方程组的通解求该方程组的通解(tngji).(tngji).补充例补充例4 设四元非齐次线性方程组设四元非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的系数矩阵(j zhn)A的秩为的秩为3，已知它的解向量为，已知它的解向量为 ，其中，其中123, 1233446,1820 解解. .方程组的导出组基础解系含方程组的导出组基础解系含4 3=1个向量，为个向量，为123171()232 第98页/共119页第九十

33、八页，共119页。99故方程组的通解故方程组的通解(tngji)(tngji)为为13147()1322 xcccR 第99页/共119页第九十九页，共119页。100,n r 12 第100页/共119页第一百页，共119页。1014) 通解即为通解即为 01122n rn rkkk. 第101页/共119页第一百零一页，共119页。102设设 V 是一是一 n 维向量空间，维向量空间， 1, 2, , n是是 V 的一的一个基个基. 4.8 4.8 基变换基变换(binhun)(binhun)与坐标变换与坐标变换(binhun)(binhun)* * V， 则存在则存在 c1, c2, ,

34、 cn V 使得使得， =c1 1+ c2 2+cn n （23） 第102页/共119页第一百零二页，共119页。103第103页/共119页第一百零三页，共119页。104现在设现在设 1, 2, , n是是 V 的另一个基，那么又存在的另一个基，那么又存在 n个数个数 d1, d2, , dn为为 在基在基 1, 2, , n下的坐标， 即下的坐标， 即 第104页/共119页第一百零四页，共119页。105问题是：作为同一向量在不同基下的坐标问题是：作为同一向量在不同基下的坐标(zubio)向量，向量，(d1, d2, , dn)T与与(c1, c2, , cn)T之间的关之间的关系如

35、何表示？系如何表示？因为因为 1, 2, , n是是 V 的一个基， 则对每一个的一个基， 则对每一个 j有线性有线性表达式表达式 , ,jjjnjnjn 1221 2 第105页/共119页第一百零五页，共119页。106第106页/共119页第一百零六页，共119页。107再由坐标的唯一性得再由坐标的唯一性得 nncdcdAcd 1122 第107页/共119页第一百零七页，共119页。108定理定理4.8.2 4.8.2 向量空间向量空间V V的任两个基之间的过渡的任两个基之间的过渡(gud)(gud)矩阵可逆矩阵可逆. . 第108页/共119页第一百零八页，共119页。109第109

36、页/共119页第一百零九页，共119页。110第110页/共119页第一百一十页，共119页。111第111页/共119页第一百一十一页，共119页。112第112页/共119页第一百一十二页，共119页。113若已知具体的向量若已知具体的向量(xingling)数值数值第113页/共119页第一百一十三页，共119页。114第114页/共119页第一百一十四页，共119页。115第115页/共119页第一百一十五页，共119页。116第116页/共119页第一百一十六页，共119页。117第117页/共119页第一百一十七页，共119页。118作业作业(zuy)：pp.?-?，1, 2，3, 5(1)，6(2), (4)，8，11, 13, 18, 19, 22, 23(2), 25(2), 26(1), 27.第118页/共119页第一百一十八页，共119页。119感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第119页/共119页第一百一十九页，共119页。