易拉罐形状和尺寸地最优设计

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1、word 2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目请先阅读“对论文格式的统一要求C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、某某啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你

2、们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各局部的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3 设易拉罐的中心纵断面如如下图所示，即上面局部是一个正圆台，下面局部是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5 用你们做此题以与以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1

3、000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以与难点。易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要此题在建立数学模型的根底上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进展了比照分析。结论明确，易拉罐的设计不但要考虑材料本钱造价，还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个局部厚度和材料单价完全一样，最优设计方案为半径与高的比为圆柱的高，为圆柱的半径；模型二，设易拉罐顶盖、

4、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，外表积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍b时，最优设计方案为。在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度一样，利用LINGO软件对模型进展分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进展分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、巩固耐用等因素。在第四问中，本文根据第三问中模型最优设

5、计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的根底上，参加了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比拟发现，前面四个模型中，模型二和模型四表现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进展比拟，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度易于拉动拉环时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo一、 问题的提出随着社会的变化，大量的瓶装灌装饮料应

6、运而生，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、某某啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。测量各个品牌间不同的易拉罐的高度、直径、厚度等，利用所得到的数据来验证易拉罐的最优设计。需要使用什么样的方法才能验证易拉罐的最优设计呢？易拉罐的实际尺寸是否有要求、有什么样的要求呢？在已有的数据根底上我们能不能自己设计易拉罐的形状和尺寸的的最优化呢？二、 分析问题对于问

7、题一的分析：问题一测量易拉罐的具体数值，没有问题。只需注意易拉罐的多样化就好。对于问题二：在假设最优化条件为保证容积的情况之下，使易拉罐所需材料最省，也就是所需材料的外表积最小。在外表积最小时，设圆柱的体积V为常数，求半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找到模型的最优设计。在建立模型之前我们需要考虑易拉罐的材料和材料的受力情况。对于问题三：本设计要在保证容积最优化的情况之下，使易拉罐所需的材料最省。由于易拉罐的外形不是纯正的圆柱体，所以在建模之时要对模型作出假设。假设易拉罐的上半局部是一个正圆台，下半局部是一个正圆柱体。然后考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模

8、型的最优解；通过观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的3倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、顶盖厚度为a，其余局部为b，且a：b=3:1,体积V=355ml时，同时利用lingo软件，计算出模型的最优解。对于问题四：自己设计易拉罐的形状和尺寸，在节省材料的情况之下还需要易拉罐自身的承重、外观的美观、实用性等等。易拉罐在设计为圆锥时是最省材料的，但不实用，所以需要将易拉罐设计为圆柱、圆台的结合体，考虑拉环等因素，顶端与顶端要有所侧重。对于问题五：表达自己的直观感受以与对模型的理解即可。三、 模型假设1、易拉罐顶盖、底盖厚度为，其它局部厚度为2、易拉罐是正圆柱体3、易拉罐整体厚度均一样4、易拉罐的上局

9、部是一个圆台，下半局部是一个正圆柱体5、易拉罐整体厚度一样6、四、 符号说明符号符号说明符号符号说明圆柱半径r圆台半径圆柱高h圆台高易拉罐外表积易拉罐体积最小化在软件lingo中的圆柱半径在软件lingo中的圆柱高在软件lingo中的圆台半径在软件lingo中的圆台高五、 模型的建立与求解问题一的模型解：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各局部的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。数据测量如表一所示：表一：数据测量结果1mm2mm3mm4mm平均mm罐盖直径罐

10、身直径罐低直径罐盖厚度0.314 罐身厚度罐底厚度罐盖高度罐身高度罐底高度罐盖斜边长度拉环长度数据来源：.第七页问题二的模型：一、设易拉罐内半径为，高为，厚度为a, 体积，其中r和h是自变量，所用材料的面积是因变量，而是固定参数，如此和分别为：设模型的建立：其中是目标函数，是约束，是的，即要在体积一定的条件下求的最小值时，和的取值是多少模型求解因为按照实际测量数据可知，所以带，的项可以忽略，且，如此有求的最小值，令其导数为零，即,解得临界点为,如此因为,如此,所以当时，是最优解模型结论在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均一样的条件下，当体积为固定参数，而外表积求导，得到高是半径的两倍，此时，模型最优

11、。二易拉罐顶盖、底盖厚度不同时的最优设计模型2、确定变量和参数：设；饮料内半径为，高为，体积为，易拉罐顶盖、底盖厚度为，其它局部厚度为。其中和是自变量，所以材料的体积是因变量，而，和是固定参数。如此和分别为：, 设模型建立： 其中是目标函数，是约束条件，厚度比例与是的，即要在体积一定的条件下求和的取值是多少时体积最小模型求解因为按照实际测量数据可知,所以带的项可以忽略，且,如此 ，求的最小值，令其导数为零，即,解得临界点为：如此因为如此，因此当时，为最优解。观察模型一与模型二，可见当厚度不同时，半径与高的比例不同，似乎有一定联系，因此我们假设顶与底盖的厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数

12、，如此因为按照实际测量数据所可知a R，所以带，的项可以忽略，且,如此有 求的最小值，令其导数为零，即,解得临界点的值为2bR,S为最优解。对于问题三的模型有：（一） 第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所以材料的体积S是因变量，而V是固定参数，如此S和V分别为：设： 建立模型：其中S是目标目标函数，是，R约束条件，V是的，即要在体积一定的条件下求外表积最小时,R,r,H,h的取值各是多少模型求解：利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4，如此利用LINGO计算结

13、果，得时S为最优解。在易拉罐的上半部是一个正圆台，下半部是一个正圆柱体，且厚度均一样的前提下，当体积为固体参数， 外表积最小，利用lingo软件计算，得到圆台的高与圆柱的高等于两倍圆柱的半径，同时也等于四倍的圆台半径，模型最优。二、第四种易拉罐形状和尺寸设计的最优模型设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为，正圆柱体的高为，正圆台的高为h， 体积为，其中是自变量，所用材料的体积是因变量，而是固定参数，如此和分别为：设：如此有模型：其中是目标函数，是约束条件，是的，即要在体积一定的条件下求外表积最小值，的取值各是多少。模型求解：利用lingo软件求解，设且如此：利用lingo求解得，时，为最优解。在假设易

14、拉罐上局部是一个正圆台，下局部是一个正圆柱体，且厚度不同，顶盖、底部半径是罐身的3倍的条件下，当体积为固体参数，而外表积最小时，通过lingo软件得到，时，为最优解。对于问题四的模型有：考虑到易拉罐的稳定性和使用的方便性，在考虑稳定性时，只能采用模型二和模型四的设计，将厚度比例视为此题的条件，带入测量所得的数据，并利用lingo求解模型得：目标函数：求约束条件：设，在lingo中求解。比拟模型二与第三问中的模型四的结果，可以知道模型四比拟优化，但模型四脱离了实际，所以r必须大于0。在r取不同的值时，模型的优化如下所示，模型为：分别取0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,2.6,2.7,2.8

15、,2.9,3.0,3.5,4.0,5.0,6.0时，利用lingo计算模型中的的最优值为：表二 lingo计算模型中的的最优值表00000由表2可见当r大于3时，图形已经不是最优，省去后面的结果。即当r小于3时，S的值都小于模型二的结果，因此可以得出结论：模型四比模型二的设计更优。既然模型四比模型二更优，那么是否可以吧模型四的正圆柱底部也改成一个正圆台？考虑上下都为圆台的设计方案模型五，材料体积S的方程如下： 将上述S与模型四的结果比拟，容易看出上下都为圆台的设计方案更优。但考虑到存放方便时，这样易拉罐“站不稳，同时“易拉罐一定需要有一个拉环，如果设计在顶部考虑使用方便，r必须大于零。进一步考

16、虑上下都为圆台时，r的合理取值。 利用LINGO分析r分别取，模型的评价与改良，0.5，1.0，1.5, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3， 2.4， 2.5， 2.6， 2.7， 2.8， 2.9， 3.0得出的最优解时R，H，h,S的值rRHhSrR3.9271 H6.8543 6.8537 6.8538 6.8545 H0.7225 0.6895 0.6555 0.6205 S37.5961 38.2642 38.9625 36.6911 rRHhS在现实中，拉环的测量值为4.25，手指的大小约1.11，如此最优设计就是拉环穿过直径，所以r=4.25+1.11/2=2.68，r近似为

17、2.7，此时H=6.85。对于问题五：刚开始接触数学建模让我觉得很困难，原本数学成绩就不甚理想，我也只是抱着试试看的心态参加了数学建模大赛。在接触之后我发现，数学建模其实就是把每一个问题实际化，同时他也解释了我们为什么学数学。数学建模主要是问题提出、问题分析、问题重述、模型假设、符号说明、模型的建立与求解、模型的评价与推广、参考文献、附录这几大步骤组成。其中，最为困难、最为费事的是模型的建立与求解。模型的建立与求解是整篇论文的关键。就如同本文。本文在研究易拉罐的最优设计方案时还涉与到了力学、美学、工程学等等方面的知识。建立一个有用的模型，要经过多方面的考量，以与数据的查验。所以说，模型的建立是

18、数学建模的最重要局部。数学建模就是数学在现实生活中的实际应用，他不是单一的数学，而是数学与各个学科的结合。于我们的生活息息相关。其次，数学建模需使用到大量的相关软件，数据处理的spss，最优问题的lingo，线性问题的管理运筹学以与最为强大的数学软件MATLAB。这些软件的使用大大的优化的我们在处理实际问题的时间。真正的做到了花最少的时间，处理更多的问题。好的模型，离不开题目的分析处理，在遇到问题时，怎样把抽象的问题实际化，并作出合理的假设，于我们后期的解题尤为重要。把问题实际化后，再根据某种规律初步的对题目有一个思考方向，然后再确定题目的变量关系，列出解题的算式步骤或方程。这是一个比拟难的过

19、程，却是我们必经之路。在此，有很多的数学方法可用，这就要取决于我们对数学的理解与了解程度了。数学建模的难点：1、 怎样把题目实际化2、 怎样对题目做出合理的假设3、 怎样的到合理的数学模型4、 怎样解决模型中的数学问题，得到模型的答案5、 怎样验证模型的正确性与模型的可行性六、 模型的评价与推广优点：1、 模型是建立在大量是实际数值之上的，具有很强的实际应用意义2、 模型的建立充分考虑了使用者的使用过程，力求方便3、 模型是建立在最省材料之下的最适用模型，在外表积最小时，设计的最优易拉罐4、 对同一问题建立多个模型，找到最优模型缺点：模型的移植性有待提高，对于大多数问题无法使用。问题二模型的评价：在考虑比拟模型一和模型二之后可以发现，模型一的设计更优，模型二较为废材料。问题三模型的评价：比照几个模型发现，第一个模型比拟实用，第二个模型材料更省，造价更低，所以，第二个模型更优化。问题四模型的评价：此模型是优于现实中的设计的，但增加了制作工艺的难度，要有所取舍。参考文献1.第七页3王绵森、马知恩，工科数学分析根底上册，高等教育，19984卢险峰，最优化方法应用根底，同济大学，200313 / 13