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1、word归纳柯西不等式的典型应用【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用【引言】：本人通过教师在中教法课上学习柯西不等式时，教师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集与整理资料，得到四类的典型题。【正文
2、】：对任意的实数其中等号当且仅当时成立,其中变式：2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法：1配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。2用数学归纳法证明 i当时，有，不等式成立。当时，。因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是时不等式成立。由iii可得对于任意的自然数，柯西不等式成立。3. 柯西不等式在解题中的应用利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进展夹逼的方法得证。例3.1.1
3、求证：。证明：由柯西不等式，得由如此可知上式取等号，当且仅当时于是 。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数，有不等式。证明：由柯西不等式：于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。因为而所以有。例3.2.2：设a,b,c为正数且不相等到，求证：证明：我们利用9与2这两个常数进展巧拆，9=，这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。明：2因为a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从
4、而原不等式成立。因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。柯西不等式中有三个因式 ， ，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式嵌入的因式之和往往是定值，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量 ， 具有广泛的选择余地，任意两个元素 ， 或 ， 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上
5、述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。例3.3.1 设,且，求证：解：由 如此 由且应用柯西不等式 即 故 例3.3.2 ，,求证：分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。假如把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。 证明： 。用柯西不等式解无理方程，是先把方程的含有无理式的运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。解：原方程组可化为运用柯西不等式得, 即，两式相乘，得当且仅当时取等号。故原方程组的解为。例3.4.2解
6、方程组：设3，解方程解：即 36 362令,如此 72即 等号成立 如此有 故 柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得，如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，如此可知的最大值与最小值分别是与，且取最大值与最小值的充要条件是。反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式时，如此可求出此函数的最小值。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。例3.5.1：求函数的极值，其中是常数。解：由柯西不等式： 故有。 当且仅当时，即时，函数有极小值，极大值。例3.5.2 为常数，当时，求函数的最大值与最小值。 解：由柯西不等式： 故。 当且仅
7、当，即为常数时等号成立。 将代入得 如此，即当时，分别为所求的最大与最小值。三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值确实定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进展解决。例3.6.1 在中 ，求证：证明：当且仅当时等号成立。 令，于是引进参求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得 1当且仅当时等号成立。中，证明。证明：由柯西不等式：即 1因为故 2又因为因而 3将3代入2得 4 将4代入1得即。点与直线，设是上任意一点，点到的距离的最小值|就是点到的距离，证明：|。证明：因为是上的点，所以有。 1 而| 2 由柯西不等式： 3 由1得： 4 将4代入3，如此有即移项如此有：| 5当且仅当即时5式取等号，即点到直线的距离公式：|。【结论】： 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。当遇到类似的题目，应用柯西不等式时，尽量联系条件，转化成柯西不等式的形式来求解。【参考文献】：1王学功，著名不等式，中国物资2李永新李得禄，中学数学教材教法，东北师大3柯西不等式与排序不等式，南山，某某教育4柯西不等式的微小变动，数学通报，2002 第三期14 / 14
归纳柯西不等式地典型应用
