九级数学上册 第26章二次函数单元复习 华东师大版

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1、第26章二次函数2二次函数2二次函数的图象与性质41. 二次函数yax2的图象与性质42. 二次函数yax2bxc的图象与性质63. 求二次函数的函数关系式13阅读材料15生活中的抛物线15实践与探索16小结19复习题20第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？26.1二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试

2、（1） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2） x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3） 我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关设每

3、件商品降价x元（0x2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数我们可以得到：问题1中的函数关系式为yx（202x）（0x10）即 y2x220x（0x10）问题2中的函数关系式为 y（10x8）（100100x）（0x2），即 y100x2100x200 （0x2）.观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如yax2bxc （a、b、c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm（1

4、） 当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式2. 已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3（1） 分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；（2） 这两个函数中，哪个是x的二次函数？1. 设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3（1） 分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；（2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式这个函数是二次函数吗

5、？3. 已知二次函数yax2c，当x2时，y4；当x1时，y3求a、c的值4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m（1） 求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m时的截面面积（取3.14，结果精确到0.1 m2） 二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质对二次函数的研究，我们也从图像入手1. 二次函数yax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线那么，二次函数的图

6、像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 yax2 的图像与性质例1 画二次函数yx2的图象解列表在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数yx2的图象，如图26.2.1所示像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点做一做（1） 在同一直角坐标系中，画出函数yx2与yx2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2） 在同一直角坐标系中，画出函数y2x2、y2x2的图象观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3） 将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函

7、数 yax2 的图象是一条抛物线，它关于y轴对称它的顶点坐标是（0，0）观察yx2、y2x2的图象，可以看出：当a0时，抛物线yax2开口向上在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升顶点是抛物线上位置最低的点图象的这些特点，反映了当a0时，函数yax2具有这样的性质：当x0时，函数值y随x的增大而减小；当x0时，函数值y随x的增大而增大；当x0时，函数 yax2 取得最小值，最小值y0思考观察函数yx2、y2x2的图象，试作出类似的概括，当a0时，抛物线yax2有些什么特点？它反映了当a0时，函数yax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流 练 习

8、1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y3x2； （2） yx22.根据上题所画的函数图象填空（1） 抛物线y3x2的对称轴是_，顶点坐标是_，当x_时，抛物线上的点都在x轴的上方；（2） 抛物线yx2的开口向_，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_方，它的顶点是图象的最_点3.不画图象，说出抛物线y4x2和yx2的对称轴、顶点坐标和开口方向4.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式Sr2，表明S是r的函数（1） 当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的面积S（取3.14）；（2） 画出函数Sr2的图象2. 二次函数yax2bxc的图象与性质问题1试研究二次函数y2x24x3

9、的图象分 析将函数关系式配方，得y2（x1）21我们设法寻求它与y2x2图像的联系为此，先看几个简单的例子例2在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x 21的图像解列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y2x21的函数值都比函数y2x2的函数值大1反映在图象上，函数y2x21的图象上的点都是由函数y2x2的图象上的

10、相应点向上移动了一个单位函数y2x21与y2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同函数y2x21的图象可以看成是将函数 y2x2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）据此，可以由函数y2x2的性质，得到函数y2x21的一些性质：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值，最_值y_做一做先在同一直角坐标系中画出函数y2x22与函数y2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y2x22的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质思 考在同一直角坐标系中，函数yx22的图象与函数yx2的图象有

11、什么关系？你能说出函数yx22的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数yx2、yx22和yx22（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数yx24的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线yx22和yx22？如果要得到抛物线yx24，应将抛物线yx2作怎样的平移？yax2k（a、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表 例3在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y2x2和y2（x1）2的图象解 列表 描点、连

12、线，画出这两个函数的图象观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括通过观察、分析，可以发现：函数y2（x1）2与y2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同函数y2（x1）2的图象可以看作是将函数y2x2的图象向右平移1个单位得到的它的对称轴是直线x1，顶点坐标是（1，0）据此，可以由函数y2x2的性质，得到函数y2（x1）2的性质：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值，最_值y _做一做在同一直角坐标系中画出函数y2（x1）2与函数y2x2的图象，比

13、较它们的联系和区别并说出函数y2（x1）2的图象可以看成由函数y2x2的图象经过怎样的平移得到由此讨论函数y2（x1）2的性质 思 考在同一直角坐标系中，函数y（x2）2的图象与函数yx2的图象有什么关系？试说出函数y（x2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质练 习1. 已知函数yx 2、y（x3）2和y（x3）2（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 分别讨论各个函数的性质2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线y（x3）2和y（x3）2？3. 你能说出函数ya（x

14、h）2（a、h是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y2（x1）21的图象和性质分 析我们已经知道函数y2（x1）2的图象与函数y2x2的图象之间的关系在此基础上，可以找到函数y2（x1）21的图象与函数y2（x1）2的图象之间的关系试一试（1） 填写下表（2） 从上表中，你能分别找到函数y2（x1）21与函数y2（x1）2、y2x2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y2（x1）21有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y2（x1）22的图象，并将它与函数y2（x1）2 的图象作比较（

15、2） 试说出函数y（x1）22的图象与函数yx2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标练 习1.已知函数yx2、y（x2）22和y（x2）23（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y（x2）23的性质2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得到抛物线y（x2） 22和抛物线y（x2）23？如果要得到抛物线y（x2）26，那么应该将抛物线yx2作怎样的平移？ya（xh）2k（a、h、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表4.不画出图象，直接说

16、出函数y3x26x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（提示：将3x26x8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质分析因为 yx2x（x1）22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x1，顶点坐标为（1，2）根据这些特点，我们容易画出它的图象解列表画出的图象如图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x1时，函数取得最大值，最大值y2做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数yx24x10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y2

17、 x 28x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思考对于任意一个二次函数yax2bxc （a0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标（1） y3（x3）24；（2） y2（x1）22；（3） y（x3）22；（4） y（x1）20.62. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标（1） y2x24x；（2） y2x23x；（3） y3x26x7；（4） yx24x53. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象（1） y2（x1）24；（

18、2） y（x2）25；（3） yx22x1；（4） yx 24x7应用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题问题1这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y2x220x（0x10）取得最大值将这个函数的关系式配方，得y2（x5）250显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x5时，函数取得最大值y50这时，AB5（m），BC202x10（m）所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长10 m时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2问题2实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y100x2100x200（0x2）取得最大值请

19、同学们完成这个问题的解答例5用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解设做成的窗框的宽为x m，则长为m这里应有x0，且0，故0x2做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是y=x,即 y=.配方得 y（x1）2+,所以当x1时，函数取得最大值，最大值y1.5因为x1时，满足0x2，这时所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大最大面积是1.5 m2练 习1. 求下列函数的最大值或最小值（1） yx23x4；（2） y12xx2；（3） y； （4） y1005x2；（5） y6

20、x212x； （6） yx 24x12. 有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）3. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图如图26.2.6，以AB的垂直平

21、分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为yax2 （a0）（1）因为AB与y轴交于点C，所以CB2（m），又CO0.8 m，所以点B的坐标为（2，0.8）因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得0.8a 22，所以 a0.2因此，函数关系式是yx2根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式例6已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式分析因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函

22、数关系式为ya（x8）29根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值例7已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式解设所求二次函数为yax2bxc，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c1又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到解这个方程组，得a=，b=-所以，所求二次函数的关系式是y=.注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2） 已知抛物线的顶点是（1，2），且过点（1，10）；（3） 已知抛物线过三点：（0

23、，2）、（1，0）、（2，3）2. 已知抛物线yax2bxc过三点：（1，1）、（0，2）、（1，1）（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象（1） yx22与yx23；（2） y（x3）2与y（x1）2；（3） y3（x2）2与y3（x2）21；（4） y（x3）21与y（x3）222. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴（1）yx23x4； （2）y24xx2；（3）yx22x1；（4）yx26x7；（5）y2x23x；（6）y2x25x73. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标（1）y4x24x1； （2）y4x29；（3）y4x23x；（4）y3x25x64. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，27）；（2） 已知抛物线的顶点在（1，2），且过点（2，3）；（3） 已知抛物线过三点：（1，2），（0，1），（2，7）5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m如图所示，把它的图形放在直角坐标系中（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？