向量组线性相关性判定

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1、word某某师X学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作 者 院系数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级2011级 学 号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日 期2015年月 日15 / 15学生诚信承诺书本人X重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进展的研究工作与取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得某某师X学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名： 日期：导师签名： 日期：院长签名： 日期：论文使用授权说明本人

2、完全了解某某师X学院有关保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保存送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或局部内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法某某师X学院 数学与统计学院 某某 某某 455002摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的根底上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值与结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的

3、假如干方法.关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1 维向量的定义一维、二维、三维向量，推广到维向量定义：个有次序的数所组成的数组或分别称为个数称为向量的个分量,第个数称为第个分量.等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规如此进展运算.特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的维向量的集合关于线性运算是封闭的，

4、我们将该集合称为维向量空间或线性空间.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组.例如一个矩阵对应一个维列向量组,也对应一个维行向量组设是一向量组,表达式称为向量组的一个线性组合,其中是一组实数,称为这个线性组合的系数.如果向量是向量组的线性组合如此称向量能由向量组线性表示.例如，任一维向量，都可以由维基向量线性表示.例1. 设向量组试判断是否可由线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解 设一组数使即有 由向量相等的定义可得线性方程组该方程组的一个

5、解为于是即由线性表示.定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相等,即.定义1向量组线性相关在向量组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示.定义2 给定向量组，个数构造如果存在不全为零的数使式成立，称向量组是线性相关的,否如此称它线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组中有某个向量(不妨设)能由其余个向量线性表示,即有使于是因为不全为0,所以向量组线性相关.反过来，如果向量组线性相关，如此有其中不全为0,不妨设,于是即能由线性表示.例2 判断向量组是否线性相关.解：可取为未知数，建立如下方程式看它是否有的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为如下

6、方程组前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故线性相关.特别的一组解，可取为即或定理2向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数;向量组线性无关的充分必要条件是这是因为,向量组线性相关即Ax=0有非零解向量组线性无关例3 证明维单位坐标向量组线性无关.使得 根据向量线性运算的定义可以得到 从而所以是线性无关的.另证 我们利用定理，设向量组构成的矩阵为是即等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组是线性无关的.例4 向量讨论向量组与向量组的线性相关性.解 对矩阵施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以

7、同时看出矩阵与的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知向量组线性相关；向量组线性无关.1含零向量的向量组必线性相关.线性无关的向量组中一定不含零向量.2一个向量线性相关一个向量线性无关. (3)两个非零向量线性相关两个向量线性无关它们不成比例.(4)向量组有一局部线性相关，如此全体线性相关.向量组全体线性无关，如此每一局部线性无关.假如向量组线性相关,如此向量组也线性相关.反之,假如向量组线性无关,如此向量组也线性无关.结论可表示为:一个向量组假如有线性相关的局部组,如此该向量组线性相关.一个向量组假如线性无关,如此它的任何局部组都线性无关.性质4说明：这是因为,记,有. 假如向量组线性相关,如

8、此有，从而因此向量组线性相关.(5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.个维向量组成的向量组,当维数小于向量个数时一定线性相关.特别地,个维向量一定线性相关.这是因为,个维向量构成矩阵有假如如此故个向量线性相关.(6)设向量组线性无关,而向量组线性相关,如此向量必能由向量组线性表示,且表示式是唯一的.这是因为,记,有即有因此方程组有唯一解即向量能由向量组线性表示,且表示式唯一.给定向量组如果存在不全为零的数使得成立，如此称向量组是线性相关的.否如此，如果不存在不全为零的数使得成立，也就是说，只有当全部为0时，才成立，如此称向量组是线性无关的.例5 设向量组线性无关，判断向量

9、组的线性相关性.解 设一组数使如此有 即因为向量组线性无关，所以该方程组的系数行列式故方程组只有零解所以向量组线性无关. 例6 判断向量组的线性相关性.解 设一组数使 比拟上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组 该方程组的一个非零解为故向量组线性相关.5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理3 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示.定理4 向量组线性无关，而线性相关可由线性表示且表达方式唯一.定理5 假如向量组有一局部向量组线性相关向量组线性相关.与此等价的一个说法为：向量组线性无关向量组的任一局部向量组线性无关.例7 线性无关，线性相关，问：1能

10、否由线性表示？2能否由线性表示？解 1由线性无关线性无关，又由线性相关能由线性表示且表达方式唯一，所以存在数使得，故能由线性表示.能由表示，如此存在数，使得又由1能由线性表示，所以能由线性表示，所以线性相关，与矛盾，故不能由线性表示.5.3 利用向量组的秩进展判定其秩记为，由极大无关组的定义和秩的定义可得：假如向量组的秩等于向量的个数，如此该向量组是线性无关的；假如向量组的秩小于向量的个数，如此该向量组是线性相关的.例8 判断向量组的线性相关性. 解 构造矩阵并作初等行变换 可见，故线性无关.5.4 利用反证法进展判定 在有些题目中，直接证明结论有时候比拟困难，而从结论的反面入手却很容易推出一

11、些与条件或定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，如此结论成立.例9 设向量组中任一向量不是它前面个向量的线性组合，且，证明向量组线性无关.证明 反证法假设向量组线性相关，如此存在不全为零的数使得：， 由此可知，由上式可得即可以由它前面个向量线性表示，这与题设矛盾，因此，于是式转化为.类似于上面的证明可得式转化为.但，所以这与不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10 设为阶矩阵，为维列向量，假如，但.证明：向量组线性无关.证明：用反证法. 假设向量组线性相关，由于，从而，如此可由线性表出，设为否如此，于是，这与矛盾，因此向量组线性无关.例11 设是一组维向量，单位坐标向量可

12、被它们线性表出，证明：线性无关.证明：法1 反证法假如线性相关，如此至少有一可由其他线性表示不妨设可由线性表示.由题设，可由线性表示，从而可由线性表示，而任一维向量均可由线性表示，因而也可由维向量构成的向量集合的秩小于，这与的秩等于矛盾，故线性无关.法2 设的秩为，如此而的秩为由题设，可由线性表出，因此，故5.5 利用齐次线性方程组的解进展判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进展了判定.对于各分量都给出的向量组，假如以为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解向量，如此此向量组是线性相关的.例12 证明向量

13、组线性相关.证明 ：以为系数向量的齐次线性方程组是即利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，即齐次线性方程组有非零解，所以向量组线性相关.例13 证明：如果，那么线性无关.证明：设得到线性方程组由于系数行列式的转置行列式，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关.5.6 利用矩阵的秩进展判定设向量组是由个维列向量所组成的向量组，如此向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵（1） 当时，如此向量组是线性无关的.（2） 当时，如此向量组是线性相关的.例14 设问当为何值时，向量组线性相关，并将表示为和的线性组合.解：利用矩阵的秩有可见，当时，向量组线性相关，并且有

14、所以.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进展判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15 断向量组的线性相关性.解：以为行向量构成矩阵，并进展初等行变换化为行阶梯形如此向量的个数，故向量组线性相关.例16 向量组线性无关，如此如下线性无关的向量组是分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法： 1定义法 先设能够不全为零还是必须全是0，从而得知是线性相关还是线性无关. 2利用矩阵的秩. 要论证线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵，利用或来说明.3利用有关

15、结论，特别是等价向量组有一样秩的结论.4反证法. 解 法1 观察可知，线性相关.，线性相关；，线性相关.由排除法可知应选.法2 对，设，拆项重组为 由线性无关知 ，由于系数行列式所以方程组只有零解从而均线性相关.5.7 利用行列式的值进展判定假如向量组是由个维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵，即为阶方阵，如此（1） 当时，如此向量组是线性相关的.（2） 当时，如此向量组是线性无关的.假如向量组的个数与维数不同时，如此（1） 当时，如此向量组是线性相关的.（2） 当时，转化为上述来进展判定，即选取个向量组成的维向量组，假如此维向量组是线性相关的，如此添加分量后，得到的向量组也是线性相关

16、的.例17 试讨论的线性相关性.证明：令 如此，所以线性相关.行列式值的判定实质上是根据克莱姆法如此判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进展判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进展判定.例18 向量组是线性无关的，且有，证明向量组线性无关.证明：设有使得即整理为 因是线性无关的，所以由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解，所以向量组线性无关.例19 向量组线性相关，试求的值.分析 对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1） 先由定义写出，再根据向量组相当写出齐次线

17、性方程组；假如该齐次线性方程组有非零解即无穷多解，如此向量组线性相关；假如该齐次线性方程组只有零解，如此向量组线性无关.（2） 排成矩阵列向量时或行向量时，求的秩；假如时，向量组线性相关；假如时，向量组线性无关.（3） 对于个维向量，可同上将其排成矩阵，用是否成立来判断是否线性相关.（4） 利用线性相关的有关结论，如“局部相关，如此整体相关等来判定.解 或.法1 或时，线性相关.法2 或时行列式为0.6.结论 通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可

18、以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的根底上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.参考文献1 王鄂芳,石生明.高等代数M.高等教育,2003.2 徐仲,陆全.高等代数M.西北工业大学,2009.3蓝以中.高等代数简明教程M.大学，2002.4肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法J.伊犁师X学院学报自然科学版，32008:58-595罗秀芹，董福安，X铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨J.高等代数研究，92005：18-196杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定J.某某农业大学学报自然科学版，320057黄娟霞.关于向量组线性相

19、关性的初步探讨J.某某石油化工学院学报，22012:68-698董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性J.考试周刊，332013:57-589牛少彰，X吉佑，线性代数M.：邮电大学，2004.10钱某某，高等代数题解精粹M.：中央民族大学，2002.11杨子胥，高等代数习题集上修订版M.某某：某某科学技术，200112钱志强，线性代数教与学参考M.：中国致公，2002.Methods to determine the correlation between the linear vector group Hou xuling(School of Mathematics and Statisti

20、cs, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002)Abstract: Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that w

21、e can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlationKey words:Vector group The linear correlation Linear independence Judging method