第6章测量误差学习教案

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1、会计学1第第6章测量误差章测量误差第一页，共46页。6.2 测量误差的种类测量误差的种类(zhngli)n测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差n1.粗差粗差(错误错误)超限的误差超限的误差n2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按n 规律性变化，具有积累性。规律性变化，具有积累性。n例：例： 误差误差 处理方法处理方法n 钢尺尺长误差钢尺尺长误差ld 计算改正计算改正n 钢尺温度误差钢尺温度误差lt 计算改正计算改正 n 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)n 经纬仪视

2、准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)n n系统误差可以系统误差可以(ky)消除或减弱。消除或减弱。n (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)第1页/共45页第二页，共46页。n3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同，n 表面看无规律性。表面看无规律性。n 例：估读数、气泡居中判断、瞄准例：估读数、气泡居中判断、瞄准(mio zhn)、对中等误差，、对中等误差，n 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。n4.几个概念几个概念:n准确度准确度 (测量成果与真值的差异）测量成果与真值的差异）n

3、精（密）度（观测值之间的离散程度）精（密）度（观测值之间的离散程度）n最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）n测量平差（求解最或是值并评定精度）测量平差（求解最或是值并评定精度）第2页/共45页第三页，共46页。6.3 偶然误差的特性偶然误差的特性(txng)n举例举例:n 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的内个三角形的内n 角之和，得到角之和，得到358个三角形闭合差个三角形闭合差i(偶然误偶然误n 差，也即真误差差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差i n 进行分析进行分析(fnx)。n 分析分析(fnx)

4、结果表明，当观测次数很多时，偶然结果表明，当观测次数很多时，偶然n 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而n 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。第3页/共45页第四页，共46页。第4页/共45页第五页，共46页。用频率直方图表示的偶然误差用频率直方图表示的偶然误差(wch)统计：统计：频率直方图中，每一条形的面积表示误差频率直方图中，每一条形的面积表示误差(wch)出现在该区出现在该区 间的频率间的频率k/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1。频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两

5、边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于对称于y轴。轴。各条形顶边中点连线经光滑各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现后的曲线形状，表现(bioxin)出偶然误差的普遍出偶然误差的普遍规律规律 第5页/共45页第六页，共46页。偶然误差的特性偶然误差的特性(txng)n从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性(txng)：n(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定n 的限值的限值(有界性有界性)；n(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对

6、值大的误差出现的机会多(趋势性趋势性)；n(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；n(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿抵偿性性)： 0limlim21nnnnn特性(txng)(1)、(2)、(3)决定了特性(txng)(4)，特性(txng)(4)具有实用意义。 第6页/共45页第七页，共46页。偶然误差具有偶然误差具有(jyu)正态分布的特性正态分布的特性n当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间、误差区间d无限缩小无限缩小n(d0)时

7、，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，n这条曲线称为这条曲线称为n“正态分布曲正态分布曲n线线”，又称为，又称为n“高斯高斯(o s)误差分误差分n布曲线布曲线”。n所以偶然误差所以偶然误差n具有正态分布具有正态分布n的特性。的特性。正态分布曲线 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y第7页/共45页第八页，共46页。6.4 衡量衡量(hng ling)精度的指标精度的指标1.方差与标准差方差与标准差由正态分布密度由正态分布密度(md)函数函数Y第8页/共45页第九页，共

8、46页。标准差的数学标准差的数学(shxu)意义意义22221)(efynnnnnlimlim22222122上式中， 称为方差方差：称为标准差标准差：nnnnlimlim2第9页/共45页第十页，共46页。测量工作中，用中误差作为衡量观测(gunc)值精度的标准。中误差:观测(gunc)次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形nnlim观测次数观测次数n有限时，用中误差有限时，用中误差(wch)m表示偶然误差表示偶然误差(wch)的离散情形的离散情形上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：nnmn22221i=i - X第10页/共45页第十一页，共46页。第11页/共45页第十二页，共4

9、6页。nm1=2.7是第一组观测值的中误差；n m2=3.6是第二组观测值的中误差。nm1小于m2,说明(shumng)第一组观测值的误差分布比较集中，n 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比n 较离散，其精度较低：第12页/共45页第十三页，共46页。2.容许容许(rngx)误差误差(极限误差极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概内的概率为：率为： demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三

10、倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|第13页/共45页第十四页，共46页。n3.相对误差相对误差(相对中误差相对中误差)n 误差绝对值与观测量之比。误差绝对值与观测量之比。 n用于表示距离的精度。用于表示距离的精度。n用分子为用分子为1的分数的分数(fnsh)表示。表示。n分数分数(fnsh)值较小相对精度较高；分数值较小相对精度较高；分数(fnsh)值较大相对精度值较大相对精度较低。较低。n例例2：用钢

11、尺丈量两段距离分别得：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m；n S2=200米米,m2=0.02m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：K2K1，所以，所以(suy)距离距离S2精度较高。精度较高。第14页/共45页第十五页，共46页。6.5 误差传播误差传播(chunb)定律定律第15页/共45页第十六页，共46页。一一. .观测值的函数观测值的函数例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函

12、数倍数函数一般函数坐标增量一般函数第16页/共45页第十七页，共46页。设有函数),(21nxxxFZ为独立独立观测值 (a)ix对(a)全微分nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)用偶然误差 、 代替微量元素 、 得：ixidxdznnxxFxxFxxFZ2211(c)转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-5)二二. .一般一般(ybn)(ybn)函数的中误差公式函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律第17页/共45页第十八页，共46页。n通过以上误差传播定律的推导通过以上误差传播定律的推导(tudo)，我们可以总结求观测

13、值函数中误差的步骤：，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤：n1.列出函数式；列出函数式；n 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；n 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 n 第18页/共45页第十九页，共46页。 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：量得地形图上两点间长度例：量得地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离(jl)S及其中误差及其中误差ms：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 010001000

14、10001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数几种常用函数(hnsh)的中误差的中误差 第19页/共45页第二十页，共46页。设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 162321412

15、1492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数线性函数(hnsh)的中误差的中误差第20页/共45页第二十一页，共46页。 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术算术(sunsh)平均值的中误差式平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果(chnggu)精度最有效的方法。第

16、21页/共45页第二十二页，共46页。4.和或差函数和或差函数(hnsh)的中误差的中误差当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例例： 测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ， 求总高差 的中误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm第22页/共45页第二十三页，共46页。 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ22222

17、22121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkm nnnnnllllx12111nmmX第23页/共45页第二十四页，共46页。例例1：要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：3 . 435 . 7m测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m 用DJ

18、6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得(sh de)三角形闭合差 m15 。四四. 误差传播误差传播(chunb)定律的应用定律的应用第24页/共45页第二十五页，共46页。例2：试用中误差传播定律分析视距测量(cling)的精度。 解:(1)测量水平距离(jl)的精度 基本公式： 2cosKlD 求全(qiqun)微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2其中： )206265( 水平距离中误差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD第25页/共45页第二十六页，共46页。例例2：试用：试用(shyng)中误差传播定律分析视距测量的精度

19、。中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差(o ch)的精度 基本公式： 2sin21Klh 求全(qiqun)微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2其中： )206265( 高差中误差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh第26页/共45页第二十七页，共46页。例3:(1)用钢尺(n ch)丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.lml (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长(zhu chn)S和面积A的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且解: (1)周长(zh

20、u chn) , lS4dldS4全微分:周长的中误差为 lSmm4 面积 , 2lA 全微分:ldldA2面积的中误差为 lAlmm2第27页/共45页第二十八页，共46页。 (2)周长(zhu chn) ;周长(zhu chn)的中误差为 lllllS44321lllllmmmmmlllll43213321且 面积(min j)2243214LllllA全微分(wi fn):LdLdA2 但由于432141414141dldldldldL 得周长的中误差为 llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321第28页/共45页第二十九页，共46页。例例4：已知直

21、线MP的坐标方位角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。20m 40Dmmm xmymPMXYOxycossinxDyDDMPcossinsincosdDdddDddDyDx解：解：180206265由误差传播定律：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmmP点的点位中误差：222225.338.346.3PxyMmmmm第29页/共

22、45页第三十页，共46页。6.6 同（等）精度直接同（等）精度直接(zhji)观测平差观测平差n 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是最或是(hu sh)值值)n 用观测值的改正数用观测值的改正数v计算观测值的计算观测值的 中误中误差差n (即即:白塞尔公式白塞尔公式)第30页/共45页第三十一页，共46页。 6.6.1.观测值的算术观测值的算术(sunsh)平均值平均值(最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值) 证明算术(sunsh)平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X上式等号两边(lingbin)分别相加得和

23、：对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x= =1+2+nnn nXl 第31页/共45页第三十二页，共46页。两边除以n：由 lnX nlXn当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得Xnlnlim当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限(yuxin)时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。第32页/共45页第三十三页，共46页。观测观测(gunc)值的改正数值的改正数v ： Vi = L - i (i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检

24、核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n 以算术(sunsh)平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。第33页/共45页第三十四页，共46页。 6.6.2精度精度(jn d)评定评定用观测值的改正数用观测值的改正数v计算中误差计算中误差1nvvm一.计算公式(即白塞尔公式)： 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 与 中：第34页/共45页第三十五页，共

25、46页。1nvvn证明如下证明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真误差：真误差：改正数：改正数：由上两式得iiiivXLv对上式取n项的平方和 vvvn22其中(qzhng): 0lnLv第35页/共45页第三十六页，共46页。 vvnvvvn222 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nnnvvnn21nvvnnm1nvvm中误差(wch)定义:白塞尔公式(gngsh):第36页/共45页第三十七页，共46页。第37页/共45页第三十八页，共46页。n算例算例2：对某距离用精密：对某距离用精密(jngm)

26、量距方法丈量六次，求该距量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值离的算术平均值 ； 观测值的观测值的中误差中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误算术平均值的相对中误差差 ：凡是相对(xingdu)中误差，都必须用分子为1的分数表示。第38页/共45页第三十九页，共46页。n一、权的概念一、权的概念n 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标(zhbio)。n1 权的定义：权的定义：n设一组不同精度的观测值为设一组不同精度的观测值为l i

27、 ,其中误差为其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数选定任一大于零的常数，则定义权为，则定义权为2iimP称Pi为观测(gunc)值l i 的权。第39页/共45页第四十页，共46页。2iimP对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数(chngsh)值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2222122221211:1:1:nnimmmmmmPPP2 权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定(xun dn)的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定(xun d

28、n)一个值。第40页/共45页第四十一页，共46页。二、测量二、测量(cling)中常用的定权方法中常用的定权方法1 同精度观测(gunc)值的权对于一组同精度观测(gunc)值l i ，一次观测(gunc)的中误差为m，由权的定义，选定= m2，则一次观测(gunc)值的权为：1222mmmPn次同精度观测(gunc)值的算术平均值的中误差为：) 1( nnvvnmM同精度观测值算术平均值的权为：nmmnMPL222第41页/共45页第四十二页，共46页。n2 单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差(wch)n对于一组不同精度的观测值对于一组不同精度的观测值l i ，一次观测的中误差，一次

29、观测的中误差(wch)为为mi ，设某次观测的中误差，设某次观测的中误差(wch)为为m，其权为，其权为P0，选，选定定= m2，则有：，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示(biosh)。对于中误差为mi的观测值，其权为：1220mmP22iimP相应(xingyng)中误差的另一表示方法为iiPm1第42页/共45页第四十三页，共46页。n3 水准测量的权与测站水准测量的权与测站(c zhn)数成反比，或者与路线长度成反比。数成反比，或者与路线长度成反比。iiNcmPi122iiLcmPi2224 4 角度角度(jiod)(jiod)测量的权与测回数

30、成正比。测量的权与测回数成正比。iiiLcnmcmnmP22225 5 距离测量距离测量(cling)(cling)的权与长度成反比的权与长度成反比scmPss22第43页/共45页第四十四页，共46页。三、非等精度观测三、非等精度观测(gunc)值的最或是值值的最或是值加权平均值加权平均值设对某量进行了n次非等精度(jn d)观测，观测值分别为l1,l2,ln, 其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值： PPlPPPlPlPlPLnnn212211四、加权平均值的中误差四、加权平均值的中误差(wch) PnPvvPM)1(第44页/共45页第四十五页，共46页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第45页/共45页第四十六页，共46页。