圆锥曲线基础必备

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1、word圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-椭圆一、椭圆定义口诀：椭圆三定义，简称和比积.注解：1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.定值=焦距PF1F2如图，设为椭圆上一点，和为两个定点，如此：式就是椭圆和为定值的定义式.2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.定值=PF1F2S如图，设为椭圆上一点，点到定直线(准线)的距离为，点到定点(焦点)的距离为，如此：式就是椭圆比为定值的定义式.3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.PAB定点为短轴顶点，定值为

2、负值.定值如图，设为椭圆上一点(除外)，的斜率为，直线的斜率为，如此：式就是椭圆积为定值的定义式.证明：设，如此、于是，直线的斜率为：直线的斜率为：那么：由椭圆方程：，即：，即：，即：将代入得：.二、椭圆的性质定理口诀：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，方、方除以通径等于，切线方程用代替焦三角形计面积，半角正切连乘注解：1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴，短轴，焦距，如此：2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程： (方除以)准焦距：(焦准距)焦点到准线的距离：(方除以)3、通径等于2 ，切线方程用代替椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.通径

3、过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：4、焦三角形计面积，半角正切连乘焦三角形：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半. 如此焦三角形的面积为：证明：设，如此.由余弦定理：即：，即：.即：故：又：所以：椭圆的焦点三角形的面积为.三、椭圆的相关公式口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆

4、的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时过焦点的弦，那么切线是两个焦点弦的角平分线.F1F2Pq1q2证明：如下列图，红色直线为切线.设点的坐标为，如此：切线的方程：切线的斜率：的斜率：，的斜率：如此：而：由式可得：，即：.即：切线是两个焦点弦的角平分线.2、切点连线求方程，极线定理须牢记假如在椭圆外，如此过作椭圆的两条切线，切点为，如此点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线.P0P1P2O切点弦的直线方程即极线方程：(称为极线定理)当极点在椭圆上时，该点的切线就是极线，切线方程就是极线方程.3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条

5、直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距(焦准距)，其结果是：OMAB证明：如下列图，因为在椭圆上，故：，上面两式相减得：即：直线的斜率为：中点的坐标为：如此中线的斜率为：由得：由得：. 证毕.4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦的方程：在椭圆中，假如弦的中点为，弦称为中点弦，如此中点弦的方程就是，是直线方程.5、中点弦的方程的证明：A 设椭圆方程为：中点弦的方程为：两者相交于和，如此的中点坐标满足：，如此：故：B 将代入得：即：即：C 由韦达定理得：故：即：D 将代入式得：即：即：故：E 将代入式得：将代入式得：即：即：即：. 证毕.弦中点的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆点的弦，其中点的方程

6、就是，仍为椭圆.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设椭圆方程为：过点的直线方程为：即：，记：如此：B 设中点的坐标为如此：借用上题的结果：将代入上式得：即：即：，故：C 将和代入式得：即：，即：即：式就是弦中点的轨迹方程. 证毕.中点弦方程和弦中点的轨迹方程，这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-双曲线一、双曲线定义口诀：双曲线有四定义，差比交线反比例注解：PF1F2O1、定义1：(差)平面，到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.即：就是差为定值的双曲线的定义式.PF1F2OSL2、定义2：(比)平面，到给定一点

7、与一直线的距离之比为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.定直线叫双曲线的准线.如下列图，式就是比为定值的双曲线定义式.3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线.如下列图，蓝色线为圆锥面，红色线为平面，红色面与蓝色面的交线就是双曲线. 这就是本双曲线的定义.实际上，椭圆和抛物线也有这样的定义，所以将它们统一称为“圆锥曲线.4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象称为双曲线. 证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到. 证明：因为的对称轴是, ，而的对称轴是轴，轴，所以应该旋转. 设旋转的角度为

8、，顺时针如此有：，取，如此：而，所以，即： ()或 ()由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理口诀：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，方、方除以通径等于 2 ，切线方程用代替焦三角形计面积，半角余切连乘注解：1、实轴虚轴与焦距：形似勾股弦定理实轴，虚轴，焦距，如此：与勾股弦定理形似.2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程： 方除以准焦距(焦准距)：焦点到准线的距离： 方除以3、通径等于2 ，切线方程用代替双曲线的通径：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.通径过双曲线上点的切线方

9、程，用等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是：4、焦三角形计面积，半角余切连乘焦三角形：以双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点的一半. 双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点任意一点，如此双曲线的焦点三角形满足：其面积为；.证明：设，如此在中，由余弦定理得：即：即：即：即：即：那么，焦点三角形的面积为：故：同时：，故：双曲线的焦点三角形的面积为：.三、双曲线的相关公式口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的

10、焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时过焦点的弦，如此：切线是两个焦点弦的角平分线.如图，是焦点三角形，为焦周角，为双曲线的切线. 如此平分.证明：设在双曲线上，如此：即：点的切线方程为：切线的斜率为：的斜率为：的斜率为：设直线与的夹角为，直线与的夹角为如此：将代入得：将式和代入上式得：而：将代入式得：将式和代入上式得：由和式得：由于，故：即：切线是两个焦点弦的角平分线. 证毕.2、切点连线求方程，极线定理须牢记假如在双曲线外，以包含焦点的区域为，不包含焦点的区域为外，如此过作双曲选的两条切线，切点为、，如此点和切

11、点弦分别称为双曲线的极点和极线，切点弦的直线方程即极线方程是：称为极线定理3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距(焦准距)其结果是：证明：如下列图，因为在双曲线上，故：，上面两式相减得：即：直线的斜率为：中点的坐标为：如此中线的斜率为：由得：由得：. 证毕.4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦的方程：在双曲线中，假如弦的中点为，称弦为中点弦，如此中点弦的方程就是：，它是直线方程.弦中点的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点的弦，其中点的方程就是：，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千

12、万不要搞混了.5、中点弦的方程的证明：OMABA 设双曲线方程为：中点弦的方程为：两者相交于和如此的中点坐标满足：，如此：，故：B 将代入得：即：即：C 由韦达定理得：故：即：D 将代入式得：即：即：故：E 将代入式得：将代入式得：即：即：即：. 证毕.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设双曲线方程为：过点的直线方程为：即：记：如此：B 设中点的坐标为如此：借用上题的结果：将代入上式得：即：即：故：C 将和代入式得：即：即：即：式就是弦中点的轨迹方程. 证毕.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-抛物线一、抛物线定义口诀：抛物线，有定义，定点定线等距离注解：1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨

13、迹称为抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.2、二次函数的图象是抛物线.3、平面与圆锥相截，除了圆、椭圆、双曲线外，还有抛物线.二、抛物线性质口诀：焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦弦切线成直角，切点就是两端点端点投影在准线，连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线直角梯形对角线，交点就是本原点焦弦三角计面积，半个方除正弦注解：1、焦点准线极点线抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：，焦点，准线抛物线的顶点到定点和定直线距离相等.ABF所以，称为焦准距，是焦点到准线的距离.焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点和，如此称为焦弦.弦中点，焦弦方程：，为斜率.2、两臂点乘积不

14、变焦点三角形两边和的点乘积为定值，且夹角是钝角.OABF证明：A 焦弦满足的条件抛物线方程：因为焦弦过焦点，故其方程：由消去得：即：B 方程由韦达定理得：如此：如此：且，即：且：.故：焦点三角形两边之点乘积为定值.3、焦弦切线成直角，切点就是两端点即：焦弦两端点的切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：求导数：，即：故斜率：，于是：由上题式代入上式得：即：故：在焦弦端点的切线互相垂直.4、端点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.证明：准线方程故坐标,因为焦点故：，于是：将上题式代入上式得：故：即：焦弦端点在准线的投影点，如此.即：焦弦端点在准线的投影点与焦

15、点构成直角三角形.5、焦弦垂直极焦线，切线是角平分线假如焦弦对应的极点，如此为极焦线，于是：.证明：A 因为极线过焦点，焦点与准线是一对极点和极线，而点是的极点，所以由自极三点形可知：点在准线上.切线的斜率为：焦弦的斜率为：由可知，平分，即：故：切线是角平分线B 由抛物线定义知：故：同理：如此：为的中点， 故：C 设抛物线方程：，直线方程：如此：故点满足的方程为：即：由韦达定理得：由于，所以，而故：故：焦弦垂直极焦线. 证毕.6、直角梯形对角线，交点就是本原点即：直角梯形对角线相交于原点即：三点共线；三点共线.用向量法证明：，证明：向量法，如图由坐标，向量：，各分量之比：，由两臂点乘积不变得：

16、代入上式得：故：，即：如此：三点共线.同理：.三点共线.故：直角梯形对角线相交于原点.8、焦弦三角计面积，半个方除正弦即：焦弦三角形的面积为： (为焦弦的倾角)证明：如图FMEGO如如下图：焦准距如此：于是，代入得：因为为底边与的夹角，故面积故：即：焦弦三角计面积，半个方除正弦圆锥曲线必背口诀附：圆锥曲线必背-极坐标一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以焦准距和离心率来表示常量，以极径和极角来表示变量. ，以焦点为极点(原点)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为焦准距、且垂直于极轴的直线.极坐标系与直角坐标系的换算关系是：，或者：，特别注意：极坐标系中，

17、以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图，为极点，为准线，如此依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值)的点的轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住：极坐标系的极点是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；曲线上的点到焦点的距离是，到准线的距离是，根据定义：，即：，即：即：这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.对应不同的，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；对抛物线，开口向右.二、极轴旋转将极轴旋转，将极角加到角上，代入式得：此时的极坐标系下，此时有：极坐标系的极点是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；对应不同的，呈现不同的曲

18、线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.三、极轴旋转将极轴顺时针旋转，将极角加到角上，如此情况如图.圆锥曲线的方程为：此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且极点对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是轴上边的一支；对抛物线，开口向上.如果将极轴逆时针旋转，将加到极角上代入式，如此情况如图.圆锥曲线的方程为：此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是轴下边的一支；对抛物线，开口向下.所记要点：极轴右转，极角相加；极轴右转，极角相加.右转即是顺时针旋转.四、坐

19、标变换在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：即：，即：即：将，代入式得：即：当时：有：即：即：当时：令，如此：而：代入式得：这是标准的椭圆方程.当时：令，如此：而：代入式得：这是标准的双曲线方程.当时：由式得：即：即：这是标准的抛物线方程.五、直线在极坐标中的方程设在直角坐标系中的直线方程为：先将原点平移到焦点上，对于椭圆左移，对于双曲线右移，对于抛物线右移，如此平移后的直线方程为：(椭圆)；(双曲线)；(抛物线)然后将，代入得到极坐标的直线方程.这里特别注意的是：在极坐标中，对于直线，最重要的数据是极点到直线的距离，对于直线，可采用公式计算.圆锥曲线必背口诀附：圆锥曲线必背参数法圆锥曲线的参数法一

20、般要：将参数代入圆锥曲线方程后得到一个含参恒等式，一般是一个三角恒等式. 所以对三角恒等式必须熟悉.如果采用消参法，消参后得到一个圆锥曲线方程.一、椭圆椭圆的标准方程是：采用的参数方程一般是：，这样代入上式得：这是一个恒等式，相当于，即将椭圆的轴缩放是，椭圆缩放成圆.对于圆的方程：采用的参数方程一般是：，与椭圆参数方程相似.二、双曲线双曲的标准方程是：由得：即：采用的参数方程一般是：，这样代入上式得：也是一个恒等式.三、抛物线抛物线的标准方程是：假如经过变换后的抛物线方程为：如此由于有故可以采用参数方程为：，这样代入上式得：这个也是一个恒等式.一般很少采用抛物线的参数方程，大多采用消参的抛物线方程，就是消参后得到一个抛物线方程.31 / 31