函数的极限课件

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1、 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件,RA , 0.)( AxfA).()( xAxfAxfx )(lim 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件 A AA0 AyAy, 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件. 212lim xxx证：对于证：对于, 0 要使要使 xxx1212只要只要 .1 x取取 0, 0,1 X则当则当 时时 , ,有有Xx 212xx所以所以. 212lim xxx注注:不需取整不需取整! 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件. 0sinlimxxx:.20情形情形

2、xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且:.10情形情形x.)(limAxfx.arctanlim.xx 求例 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件 010lim)2( ; 02lim)1( xxxxx 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件则称常数则称常数 为为 当当 时的时的极限极限，记为：记为：A)(xf0 xx 或或Axfxx )(lim0Axf)( 0 xx 定义定义2 2 设

3、设 在在 的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义. . 如果对于如果对于 当当 时，时， 有有 )(xf0 x 00 xx Axf)(, 0, 0注意注意:(1) 有没有极限，与有没有极限，与 在点在点 处处是否有定义没有关系。是否有定义没有关系。)(xf)(xf0 x).(2) (2) 是任意的，是任意的， 是相应的是相应的. .不不唯唯一一 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件AAA0 x0 xAxfxx )(lim0 xy0 x, 0 ),(0 xU ),(0 xUx )(xf Ay Ay 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件)(

4、;lim) 1 (00 xxxx; 5) 12(lim)2(2xx; 424lim)3(22xxx)0( ;lim)4(000 xxxxx;16lim)5(24xx; 01lim)6(1xxx;22sinlim)7(4xx. 12lim)8(0 xx 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件4用倒推法导出希望的条件用倒推法导出希望的条件, 是从是从 出发导出出发导出 ,满足满足: ;4套极限的定义复述套极限的定义复述,即：即： 。用函数极限定义证极限： 当当 时时, ,有有 00 xx Axf , ,当当 时时, ,有有 00 xx Axf0, 0 00 xx Axf0

5、高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件证：证：(2)(2)对于对于, 0 要使要使225) 12(xx取取 0, 0,2 5) 12( x则当则当 时时 , ,有有20 x只要只要 .22x所以所以. 5) 12(lim2xx 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件(4)(4)证：因为证：因为000 xxxxxx 所以所以00limxxxx 则当则当 时时 , ,有有 0 xx 00 xx00,minxx故对故对 要使得要使得 ，只要只要 即即 ，, 0 ,00 xxx00 xxx0 xx00 xxx 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的

6、极限PPT课件课件(5)(5)证：因为证：因为44162 xxx故对故对 取取 , 0 9, 1min 在在 x 4x 4时，可以限制时，可以限制 即即14 x53 x49162 xx 162x49 x94x则当则当 时有时有 40 x 162x16lim24xx 2,21min 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件定义定义3 3（单侧极限单侧极限）设）设 在在内有定义内有定义. .若对若对 当当时，恒有时，恒有则称则称A为为 f（x）当当 时的时的右极限右极限. .记作记作)(xf)0)(,(00 xx, 0, 0 00 xxx Axf)(0 xx Axfxx )(

7、lim00)0(0 xf00 xxx Axfxx )(lim00)0(0 xf结论：结论： 的充分必要条件是的充分必要条件是 Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx0000limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,.)(lim0不不存存在在xfx例例2 2证证1xxxxxx0000limlim1 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当

8、使当.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且:.10情形情形x.)(limAxfx 结论：结论： 的充分必要条件是的充分必要条件是 Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(xf0 x., 000MxfxUxM）（）时，有，（当, 0)(lim0Axfxx, 0),(00 xUx02)(Axf 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件, 0)(lim0Axfxx, 0

9、),(00 xUx02)(Axf),(00 xU,)(lim0Axfxx0)(xf0A),(00 xU),()(xgxf,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx. ba 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件Axfxx)(lim00 x0 x nx.)(limAxfnn证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当Axfxx )(lim0 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn

10、且且又又 以上关于函数极限性质附注:仅限在当,0程时在自变量的其它变化过时xx .性质仍成立 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件例例: : .1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取. 00limnnnxx且则0sinlim1sinlimnxnnn而, 0lim nnx; 0 nx且且二者不相等二者不相等, ,.1sinlim0不存在不存在故故xx ，则取221nxn. 122sinlim1sinlim）（而nxnnn 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件极限任给存在 当 恒有Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfx)(limAxfx)(lim 高等数学（上）高等数学（上）函数的极限函数的极限PPT课件课件; 9lim)1(23 xx0)(lim)2( xaxx0)(xf,)(limAxfaxAxfax)(lim