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1、x年高一数学新课标人教a版必修四向量减法运算及其几何意义学案?2.2.2向量的减法运算及其 几何意义 学习目标 1. 通过实例,掌握向量减法的运算,并理解其几何意义; 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 学习过程 一、课前准备 ，预习教材P85P87， 复习:求作两个向量和的方法有 法则和 法则. 二、新课导学 探索新知 探究:向量减法三角形法则 问题1:我们知道在数的运算中减去一个数等于加上这个数的相反数向量的减法是否也有类似的法则,如何理解向量的减法呢, ,aa,a1、相反向量:与 的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 . ,a,a问题2:任一向量与其相反向量的和是
2、什么, ,aba,b,ab，,如果、是互为相反的向量，那么 ， ， . 1、 向量的减法:我们定义,减去一个向量相当于加 ,上这个向量的相反向量,即是互为相反的向量,那么a=_,bab，,=_,=_。 ab，,ab，,问题3:请同学们利用相反向量的概念思考的作图方法. ，,OAaOBb,ab3、已知，在平面内任取一点O，作，则_=，即ab,a可以表示为从向量_的终点指向向量_的终点的向量，如果从向量的ab,终点到的终点作向量，那么所得向量是_。这就是向量减法的几何意义. 以上做法b称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”. 典型例题 例1、阅读并讨论P
3、86例3和例4 变式:如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) ?A. AB,DC B. AD，AB,AC ?C. AB,AD,BD D. AD，CB, 0OBCAC例2、在?ABC中，是重心，、分别是、的中点，化简下列两DEFAB式: ,CBCEBA,，?; ,OEOAEA,，?. ,ABFEDC，变式:化简. 三、小结反思 1、向量减法的含义; 2、求两向量的差; 3、两向量不的差起点,终点和指向。 aba,b学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为， ，. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测，时量:5分钟 满分:10分，计分: 1、化简下列各式:
4、, ?, ABACDB,?ABBCADDB，,. ,2、在平行四边形ABCD中,BCCDAD，,等于， ， ,A,AC B, C, D, BABDAB,3、下列各式中结果为的有， ， O,? ABBCCA，,? OAOCBOCO，,? ABACBDCD,，,MNNQMPQP，,，? A,? B,? C,? D,? ,4、下列四式中可以化简为的是， ， AB,? ? ACCB，ACCB,? ? OAOB，OBOA,A,? B,? C,? D,? ,OAaOBbOCc5、已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中则,=， ， EF,A, B, ab，ba,C, D, cb,bc,课后作业
5、,1、化简:ABDABDBCCA，,=_。 ,ababab,，2. 已知、是非零向量,则时,应满足条件 . ,3、在?ABC中,向量可表示为， ， BC,? ? ABAC,ACAB,? ? BAAC，BACA,A,? B,? C,? D,? ?2.2.3向量数乘运算及其 几何意义 学习目标 1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义; 2. 理解两个向量共线的含义;掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 学习过程 一、课前准备 ，预习教材P87P90， 复习: 向量减法的几何意义是什么, 二、新课导学 探索新知 探究:向量数乘运算与几何意义 ,a问题1:已知非零向量作出: ,aaa，,，,，,aa
6、a?,?. ，通过作出图形同学们能否说明它们的几何意义, , a1、一般地,我们规定_是一个向量,这种运算称做向量的数乘记,作,它的长度不方向规定如下: ,a,，1，=_; |,a,，2，当_时,的方向不的方向相同;当_时,的方向不方,aa,aa,向相反,当_时,=。 ,aO问题2:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义. 2、向量数乘运算律,设为实数。 ,，1，_; ,()a,，2，_; (),，,a,，3，_; ,()ab，,，4，_=_; (,)a,，5，_; ,()ab,、，6，对于任意向量,任意实数恒有=_。 ab,(ab+)1212问题3:引入向量数
7、乘运算后你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系, ,ba3、两个向量共线，平行，的充要条件:向量不非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数,使得 。 对此定理的证明,是两层来说明的: ,b=ab 其一,若存在实数,使,则由实数不向量乘积定义中第(2)条可知不,aba平行,即不平行. ,|b,其二,若不平行,且不妨令,设，这是实数概念，,接下来看=baa?0|a,、方向如何:?、同向,则,?若、反向,则记,总而abababb=ab=-a,言之,存在实数，戒，使. =-b=a 典型例题 例1、计算: ,?,，76a; ，,?; 438ababa，,，,?. 54232abcabc,，,，例2:
8、如图,在中,已知、分别是、的中点,用向量方法证明:ABCNACMAB1MNBC/ 2AN MC题 2B,例3、已知两个向量和不共线，求证:eeABee,BCee,28CDee,，3312121212、三点共线. ABD,ABCDABa,ADb,例4、如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，你能用,abCM、表示AM、BM、DM吗, 三、小结反思 ,，1，aaa不的积还是向量,不是共线的; ，2，向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; ，3，运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 学习
9、评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为， ，. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测，时量:5分钟 满分:10分，计分: ,1、8()7()acacc，,=_。 (92)(2)abcbc，,，=_ _。 ,11，aaba,2(2)8(42)abab，,= ; =_ _。 ，,，32，,ABCACABa,ACb,2、在中,、分别是、的中点,若,则等于EFABEF， ， ,11 A. B. ab，ab,，22,11 C. D. ba,，ab，22,33、点C在线段AB上,且,则。 ACAB,ACCB,_5,4、设是两个不共线向量,若,不共线,则实数的值,ee,bee,，,ae
10、e,2121212为 . ,5、设两非零向量不共线,且,则实数k的值为 ee,keeeke()/()，121212课后作业 ,11. 中，且与边相交于点，的中线与,ABCDEBC/AC,ABCDEEAMADAB,3,相交于点N.设，用、分别表示向量AECBDECEDNNA,. ABa,ACb,ab,2、若,则的取值范围是， ， ABAC,8,5BCA.3,83,83,133,13 B. C. D. ，,?2.3.1平面向量基本定理 ?2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 学习目标 1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义; 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一
11、、课前准备 ，预习教材P93P96， ,复习1:向量、是共线的两个向量,则、之间的关系可以表示为 . babaa,0，,复习2:给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、. ee32ee，ee,2121212二、新课导学 探索新知 探究:平面向量基本定理 ,问题1:复习2中平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢, ,ee，11221. 平面向量的基本定理: ,如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有aee12,一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平e,e,1212,面内所有向量的基底。 注意: (1) 我们把不共线向量，叫做表示这一平面内 ee
12、21所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一，关键是不共线; ,(3) 由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解; aee21, (4) 基底给定时，分解形式惟一. ，是被，唯一确定的数量 aee1221问题2:如果两个向量不共线则它们的位置关系我们怎么表示呢, ,OA,OB,2.两向量的夹角与垂直:我们规定:已知两个非零向量a,b，作a,b，则 ,叫做向量b，AOB,a与的夹角。如果则,的取值范围是 。 ,ab当 时，表示与同向; ,b当 时，表示a与反向; ,ab,b当 时，表示a与垂直。记作:. ,90在不共线的两个向量中，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_，叫做把向
13、量正交分解。 问题3:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数,即它的坐标,表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢, 3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取不x轴、y轴方向相同的两个_作为基底。对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有,一对实数x,y使得_,这样,平面内的任一向量都可由_唯a一确定,我们把有序数对_叫做向量的坐标,记作_此式叫做向量,的坐标表示,其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向aa量的坐标表示 ,_,_,_ijo 典型例题 学法引领:首先画图分析,然后寻找表示。 例1、已知梯形ABCD中，,ABDC/，且ABCD
14、,2，、分别是DC、的中点，设，。试用ADa,ABb,ABEF,ab,为基底表示、. DCBC,OOA例2、已知，,xOA60是坐标原点，点在x象限，求向量的坐标. OA,43A三、小结反思 1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决实际问题; 2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示 3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为， ，. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测，时量:5分钟 满分:10分，计分: 1、已知点A的坐标为，2,3，,点B的坐标为 ,，6,5，,O为
15、原点,则=_,=_。 OAOB,|4,a2、已知向量的方向不x轴的正方向的夹角是30?,且,则的坐标为aa_。 ,3、已知两向量、不共线,若不共线,则实数,abeeaee,，2bee,32,121212= . 4. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC不的交点,下列向量组,其中可作为这BD个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是， ， ,?不?不BC?CA不DC?OD不OB ADABDAA.? B.? C.? D.? ,AC5、已知,是?,:的,:边上的中线,若,则,， ， baABAM,11,， , b， , ,， , b， aa22,11:,， ，b， ,， ，b， aa22课后作业 ,A
16、BCDACOOC1、在矩形中,不BD交于点,若BCe,5,DCe,3,则等于多少？ 122, 已知点A，2,2，, B，-2,2，, C，4,6， , D，-5,6，, E，-2,-2，, F，-5,-6， ,在平面直角坐标系中,分别作出向量并求向量的坐标。 ACBDEFACBDEF ?2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 学习目标 1. 在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式，夹角公式，; 2. 理解模长公式不解析几何中两点之间距离公式的一致性. 学习过程 一、课前准备 ，预习教材P106P107， ,abab,复习:1.向量不的数量积= . ,2.设、是非零向量，是与
17、方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ,abebab,? ; abab,? ; a,? . cos,二、新课导学 探索新知 探究:平面向量数量积的坐标表示 ,axybxy,问题1:已知两个非零向量怎样用与的坐标表示呢, abab,，11221. 平面向量数量积的坐标表示 ,a=x,y,b=x,y,ab=,已知两个非零向量 ，1122，坐标形式，。 这就是说:，文字语言，两个向量的数量积等于 。 ,axy,aAxy,Bxy,问题2:如何求向量的模和两点间的距离, ，11222.平面内两点间的距离公式 ,2a=a，1，设a=(x,y),则_戒_。 ABAxy,Bxy,(2)若，则=_(平面内两点间的
18、距离公式)。 ，1122,axybxy,问题3:如何求的夹角和判断两个向量垂直, ，1122,3,两向量夹角的余弦:设是不的夹角,则,_,abcos,_ ,向量垂直的判定:设则_ a=x,y,b=x,y,a,b,，1122 典型例题 例1、已知 ，A2,1,B3,2,C,1,4,1,试判断的形状，并给出证明. ,ABC(2)若ABDC是矩形，求D点的坐标。 ,例2、已知求a与b的夹角. ，a,1,3,b,3,1,3,k=则变式:已知_. a=(3,0),b=(k,5)ab且与的夹角为4三、小结反思 1、平面向量数量积的坐标表示. 2、向量数量积的坐标表示的应用. 学习评价 自我评价 你完成本节
19、导学案的情况为， ，. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测，时量:5分钟 满分:10分，计分: ,21、若，则= a,4,3b,5,634aab,，,a,3,2bk,4,5355abba,2、已知，若，试求的值. ，k，,3、已知,当k为何值时, ab,(1,2),(3,2)，,，1，垂直？ kabab，,与3,，2，平行吗？它们是同向还是反向？ kabab，,与3,a,3,4bx,2,cy,2,ab/ac,4、 已知,且,求: ，,bc,bc，1，; ，2，、的夹角. 课后作业 ,1. 已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说CA1,2B4,1,，,ACB90y，
20、明理由;若能，求点坐标. C,132. 已知,(3，,1)，,. ab，,22,(1)求证: ; ab,(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x,a，(t,3) b，,ka，tb，且x y，试求函数关系式k,f(t); y(3)求函数k,f(t)的最小值, ?2.5.1平面几何中的向量方法 学习目标 1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用;会用向量知识解决几何问题; 2. 能通过向量运算研究几何问题中点,线段,夹角之间的关系. 学习过程 一、课前准备 ，预习教材P109Px1， 复习: ,，1，若O为重心,则+= ,ABCOAOBOC,1，2，水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形A
21、BCDDC|AD|BCAB2 为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? ，3，两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 二、新课导学 探索新知 ,问题1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，ACABAD,，,，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗, DBABAD,结论: ABCDDC问题2:平行四边形中，点、分别是、边的中点，、分别与EFADBEBFACTC交于、两点，你能发现、之间的关系吗, RTARRT面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养
22、学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合结论: 问题3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ ? ? ? 145.286.3加与减（三）2 P81-83 典型例题 ,1、在中，若，判断的形状. ,ABC,ABCCACBCACB，,0，22222、设ABCD是四边形，若ACBD,，证明: ABCDBCDA，,，三、小结反思 二次方程的两个实数根1、理解并能灵活运用向量加减法不向量数量积的法则解决几何问题. 2、选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 锐角A的
23、正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为， ，. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 6、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。 当堂检测，时量:5分钟 满分:10分，计分: (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.1/1、在梯形ABCD中,CD AB,E、F分别是AD、BC的中点,且EF,，AB，CD，. 2若a0，则当x时，y随x的增大而减小。/求证:EF AB CD. (二)知识与技能：2、求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.课后作业 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.?221. 已知直线ax，by，c,0与圆O:x，y,4相交于A、B两点，且|AB|,23，则OA?OB,_. 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(,1,2)，B(2,3)， C(,2,1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; ?(2)设实数t满足(AB,tOC)?OC,0,求t的值,
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