ewton迭代法课件

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1、ewton迭代法PPT课件有有展展开开在在点点数数将将函函假假定定有有近近似似根根设设已已知知方方程程,)(),0)(0)(kkkxxfxfxxf )()()(kkkxxxfxfxf 0)()(0)( kkkxxxfxfxf可可近近似似地地表表示示为为于于是是方方程程的的计计算算公公式式为为，则则根根为为这这是是个个线线性性方方程程，记记其其11 kkxx.), 1 , 0()()(1）法法这这就就是是牛牛顿顿（Newtonkxfxfxxkkkk 牛顿法及其原理牛顿法及其原理一、牛顿迭代法一、牛顿迭代法( (切线法切线法) )及其原理及其原理ewton迭代法PPT课件abkx1 kx*x)(k

2、xfyx牛顿法的几何解释牛顿法的几何解释)()(1kkkkxfxfxx ,)()()(xfxfxx 其迭代函数为其迭代函数为牛顿法也叫切线法牛顿法也叫切线法牛顿法几何解释ewton迭代法PPT课件3.Newton法的计算步骤（1）选定初始值0,x00计算f(x ),f (x )1111()(2)x,()()()kkkkkkkf xxxfxf xfx计算迭代一次得到近似值并计算以及1(3)x|kkx计算ewton迭代法PPT课件0)( xf 222)()()()()()()(1)(xfxfxfxfxfxfxfx 牛顿法对应的迭代方程为牛顿法对应的迭代方程为 显然是显然是f f( (x x)=0)

3、=0的同解方程的同解方程，故其迭代函数为故其迭代函数为 )()()(xfxfxx )()(xfxfxx )0)( xf)( xR 在在 f f( (x x)=0)=0的根的根 的某个邻域的某个邻域 内内, , 1)(* Lxx 邻邻近近在在邻近连续，且邻近连续，且在在邻近连续邻近连续在在设设*)()(xxxxf 0)()()()(2* xfxfxfx 5.Newton法的收敛性与收敛速度ewton迭代法PPT课件012.6( )( )( )(4)(),()( )( ) , ,newton()()( )0kkkkkf xf af babbafaf bxa bf xxxf xxf x定理设函数在区

4、间a,b上存在二阶连续导数且满足：（1）f(a)f(b)0(2)当x a,b时，f (x)0(3)当x a,b时，f (x)不变号则对于任意初始值由迭代公式确定收敛与在区间a,b内唯一的根x*ewton迭代法PPT课件这个定理的集合解释：（1）保证了根的存在；（2）保证函数单调，因此根唯一（3）保证曲线凹凸性不变（4）保证迭代过程能继续迭代下去ewton迭代法PPT课件. 01 xxe用牛顿法解方程用牛顿法解方程例例2.11xxexxfxexf)1()(, 1)( )1 , 0(0)(, 0)(,1 , 0, 01)1(, 01)0(* xxfxfxeff有唯一根有唯一根且且5 . 00 x取

5、取 5 . 0)()(:01xxfxfxxkkkk用用牛牛顿顿迭迭代代格格式式解解牛顿迭代法例题ewton迭代法PPT课件例2.12.用Newton迭代法求方程的根:0133xx解:13)(3xxxf设33)(2xxf由Newton迭代法)()(1kkkkxfxfxx得取初值,5 .00 xx0 =0.5;x1 =0.3333333333x2 =0.3472222222x3 =0.3472963532x4 =0.3472963553331323kkkkxxxx迭代四次精度达10-8 1kx*x)(xfy kxNewtonddf.mewton迭代法PPT课件牛顿法的特点牛顿法的特点优点优点: :

6、 收敛快收敛快! !缺点缺点: :程程序序常常发发生生中中断断和和每每一一步步都都要要计计算算),( )()1(kkxfxf附附近近才才能能保保证证收收敛敛只只在在根根初初始始近近似似*0)2(xx牛顿迭代法特点ewton迭代法PPT课件思考题思考题如何改进牛顿法呢如何改进牛顿法呢? ?简化的牛顿法.), 1 , 0()()(1）法法牛牛顿顿（Newtonkxfxfxxkkkk 改修为.), 1 , 0()()(01）法）法简化牛顿（简化牛顿（Newtonkxfxfxxkkk 注注意意仅适合于线性收敛仅适合于线性收敛!牛顿迭代法改进ewton迭代法PPT课件牛顿下山法牛顿下山法求求迭迭代代满满

7、足足单单调调性性：为为了了防防止止迭迭代代发发散散，要要)()(1kkxfxf .下下山山法法满满足足这这项项要要求求的的算算法法称称收收敛敛速速度度前前提提下下，用用牛牛顿顿法法加加快快保保证证函函数数值值稳稳定定下下降降的的起起来来使使用用，即即在在下下山山法法将将牛牛顿顿法法与与下下山山法法结结合合思路思路 kkkkxfxfxx 1结结果果为为此此，将将牛牛顿顿法法的的计计算算，改改进进值值适适当当加加权权平平均均作作为为新新的的与与前前一一步步的的近近似似值值kkkkxxxx)1(11 牛顿下山法ewton迭代法PPT课件称为牛顿下山法称为牛顿下山法其中其中.)2 , 1 , 0()(

8、 )(1 kxfxfxxkkkk 称称为为下下山山因因子子),10( 21,.41,21,1m 取取直到满足直到满足: :)()(1kkxfxf 牛顿下山法ewton迭代法PPT课件外外，每每步步除除计计算算用用牛牛顿顿法法求求解解方方程程的的根根)(kxf 2.2.5 2.2.5、割线法与抛物线法、割线法与抛物线法)( )(),( xfxfxfk比比较较复复杂杂时时，计计算算当当函函数数还还要要算算利利以以在在插插值值原原理理基基础础上上往往往往比比较较困困难难，为为此此可可,),(),(1 kkxfxf据据可可求求函函数数值值用用数数值值微微分分的的思思想想，根根)()( 均均差差代代替替

9、导导数数的的计计算算。来来回回避避导导数数值值kxfewton迭代法PPT课件11()()()().kkkkkkf xf xyf xxxxx).()()()(111 kkkkkkkxxxfxfxfxx不不难难导导出出：)( )()()( )(111kkkkkkkkkxfxxxfxfxfxfxx取取代代导导数数中中用用差差商商式式此此公公式式等等价价于于在在牛牛顿顿公公 11,( )0(),()kkkkxxf xf xf xy设是的近似根，利用构造一次插值多项式10( )0kyf xx用的根,与x轴的交点，作为的新的近似根ewton迭代法PPT课件割线法的几何解释割线法的几何解释abkx1 kx

10、yx1 kx2 kx3 kx弦截法几何意义双点割线法的集合意义ewton迭代法PPT课件弦截法与牛顿法的比较弦截法与牛顿法的比较法）都是线性化方法法）都是线性化方法弦截法与切线法（牛顿弦截法与切线法（牛顿牛顿法需要一个初始值，通常取根所在区间的中点，牛顿法需要一个初始值，通常取根所在区间的中点，而弦截法需要两个初始值而弦截法需要两个初始值, ,通常取根所在区间的端点。通常取根所在区间的端点。弦截法只需要计算函数值，而牛顿法既要计算函数弦截法只需要计算函数值，而牛顿法既要计算函数值，还要计算导数值值，还要计算导数值, ,弦截法计算强度小于牛顿法弦截法计算强度小于牛顿法. .弦截法收敛速度稍慢于牛

11、顿法弦截法收敛速度稍慢于牛顿法.弦截法与牛顿法比较ewton迭代法PPT课件例. 用简化Newton法和弦截法解例(2.12)中方程的根，0133xx解:13)(3xxxf设33)(2xxf由简化Newton法)()(01xfxfxxkkk3313203xxxxkkk并和Newton 迭代法比较由弦截法)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxxNewtonddf.mewton迭代法PPT课件x0=0.5x1= 0.3333333333x2 = 0.3497942387x3 = 0.3468683325x4 = 0.3473702799x5 = 0.3472836048x6 = 0.3472985550 x7 = 0.3472959759x8 = 0.3472964208x9 = 0.3472963440 x10 = 0.3472963572x11 = 0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2 = 0.3430962343x3 = 0.3473897274x4 = 0.3472965093x5 = 0.3472963553x6 = 0.3472963553简化Newton法由弦截法要达到精度10-8 简化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次