八上全等三角形经典培优习题汇集学而思

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1、 全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，求证：【补充】如图所示：，求证：【例2】 已知：如图，、四点在同一条直线上，求证：【补充】已知：如图，求证： 【补充】如图，在梯形中，为中点，连结并延长交的延长线于点求证：【例3】 如图，相交于点，、为上两点，求证：【补充】已知，如图，求证：【例4】 如图，垂足分别为，试说明【例10】 如图所示， 已知，证明：【例11】 、分别是正方形的、边上的点，且求证：【补充】、分别是正方形的、边上的点，求证：【例12】 在凸五边形中，为中点求证：【补充】如图所示：，求证：【例13】 （1）如图，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形

2、ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由.图2（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？【例14】 如图，中，是上一点，且，交于点求证：【例15】 中，为上一点，使得，为上一点，使得，连、交于点试求的度数，并写出你的推理证明的过程【例16】 如图，是的内心，且若，求和的大小【例17】 已知：是的高，点在的延长线上，点在上，求证：；【例18】 如左下图，在矩形中，为延长线上一点且，为的中点求证： 如右下图，在

3、中，、分别为边、的高，为的中点，于求证： 18.补充：如图，已知，且求证：是等腰三角形 【例19】 如图，为边长是的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交于，于，连接，形成一个求的周长家庭作业【习题1】 已知：如图， 求证：【习题2】 已知：DEFMNP，且EFNP，FP，D48，E52，MN12cm，求：P的度数及DE的长.【习题3】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长【习题4】在四边形中，的平分线交于求证：当是的角平分线时，有月测备选【备选1】 如图所示：，、相交于点求证：平分【备选2】 如图所示，在中，于点，求证：【备选3】 如图，ABC

4、中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DEDF，交AB于点E，连结EG、EF.（1）求证：BGCF.（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？【补充】已知：中，是中线求证：【例2】 已知：如图，梯形中，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点求证：【例3】 如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，求证：【例4】 如图，中，是中线求证：【例5】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【例6】 如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且

5、，求证 【例7】 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线【例8】 已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【例9】 在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】 已知ABC，B=C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE 【例11】 如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证(勾股定理的内容，选做) 【例10】 在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_家庭作业【习题1】 如图，在等腰中，是的中点

6、，过作，且求证： 【习题2】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在中，若，为边的中点求证：【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F求证：E=F【备选2】如图，中，是中点，与交于，与 交于求证：，第三讲 全等三角形与角平分线问题【例1】 在中，为边上的点，已知，求证：【例2】 已知中，、分别是及平分线求证：【例3】 如图，在中，、分别平分、，且与的交点为求证：【例4】 如图，已知的周长是，分别平分和，于，且，求的面积ADOCB【补充】如图所示：，、相交于点求证：平分【例5】

7、已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【例6】 如图，已知是上的一点，又，求证：【例7】 如图所示，是和的平分线，求证：【例8】 如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【例10】 如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？【补充】长方形ABCD中，AB=4，BC=7，BAD的角平分线交BC于点E，EFED交AB于F，则EF=_【补充】在中，是的平分线是上任意一点求证： 【例11】 如图，在中，的平分线交与求证：【例12】 如图，中，平分交于点求证：【巩固】已知等腰，的平分线交于，则 【例13】 如图所示，在中，平分，于，求证 【例14】 如图，中，、分别为两

8、底角的外角平分线，于，于求证： 【例15】 如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系 家庭作业 【习题2】如图，在中，的平分线交与求证：【习题3】是的角平分线，交的延长线于，交于求证： 【习题4】如图所示，AD平行于BC，AD=4，BC=2，那么AB=_【习题5】中，为中点，交的平分线于点，于 于求证： 月测备选【备选1】在中，平分，求的值 【备选2】如图，已知在中，求证： 【备选3】如图所示，在四边形中，的平分线交于，求证：当是的平分线时，有第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形（1）求证：（2）求证：CD=CE

9、(3) 求证：CF平分MCN（4） 求证：DEAB【例2】 如图，四边形、都是正方形，连接、求证：【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点求证： 【例4】 如图，是等边内的一点，且，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 【例5】 如图，等腰直角三角形中，为中点，求证：为定值 【补充】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：【例6】 (2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求证：【补充】如图所示，在四边形中，于，若四边形 的面积是16，求的长【例7】 、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证： 【巩固】如图，正方形的边长为，点在线

10、段上运动，平分交边于点求证：设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及若不存在，请说明理由 【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EFBEFD;(2) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 家庭作业【习题1】 如图，已知和都是等边三角形，、在一条直线上，试说明与相等的理由【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点求证：【习题3】 在梯形中，是中

11、点，试判断与的位置关系，并写出推理过程 【习题4】 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形、分别是、 的高求证：月测备选【备选1】 在等腰直角中，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化 【备选2】 如图，正方形中，求证： 【备选3】 等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在中，求【补充】在中，求【例2】 的两边和的垂直平分线分别交于、，若，求【例3】 如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则是等边三角形；当为多少度时，是等腰三角形？【例4】 如图，在中，在上，在上取一点

12、，使得，求的度数【例5】 如图，为等边三角形，延长到，又延长到，使，连接，求证：为等腰三角形【例6】 如图，在中，为锐角，分别为边、上的点，满足，且求证： 板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由【例8】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？【例9】 如图，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小 【补充】如图，、为的边、上的两个

13、定点，在上求一点，使的周长最短 【例10】 已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小 【补充】已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小 【补充】已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大 【例11】 如图，正方形中，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值 【补充】例题中的条件不变，求的最小值与最大值【补充】如图，已知正方形的边长为8，在上，且，是上的一个动点，则的最小值是 家庭作业【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，则这个等

14、腰三角形的底边的长为( )A B C或 D无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为，求的取值范围【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 月测备选【备选1】 的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是( )A B或 C 或 D 或【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰中，的上一点，满足，在斜边 上求作一点使得长度之和最小 【备选4】 在正方形中，在上，在上，求和的长度之和的最小值

15、 第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【例3】 ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75，BMC=45，则AB的长为 ( )A. B. C. D. 【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【例5】 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点求证：平分 【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 【例7】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE板块二、全等与角度【例10】 如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 【例11】 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.