最新高中理科数学解题方法篇圆锥曲线3优秀名师资料

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1、高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线3)圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P(x,y)在曲线C上f(x,y ,0000)=0; 0点P(x,y)不在曲线C上f(x,y)?0 ,00000两条曲线的交点 若曲线C，C的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则

2、1212f(x,y)=0 100点P(x,y)是C，C的交点 ,00012f(x,y) =0 200方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集:,M,OM,=r,，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是 222(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是 222x+y=r (2)一般方程 22当D+E-4F,0时，一元二次方程 22x+y+Dx+Ey+F=0 22DE-4F，DE叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程22222x+

3、y+Dx+Ey+F=0化为 22DE-4F，DE22(x+)+(y+)= 42222当D+E-4F=0时，方程表示一个点 DE(-,-); 2222当D+E-4F,0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y)，则 00,MC,r点M在圆C内， ,MC,=r点M在圆C上， ,第 1 页 共 57 页 ,MC,r点M在圆C内， ,22其中,MC,=. (x-a)，(y-b)00(3)直线和圆的位置关系 ?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 ,直线与圆相切有一个公共点 ,直线与圆相离没有公共点 ,?直线和圆的位置关

4、系的判定 (i)判别式法 Aa，Bb，C(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系22A，B来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 线 椭 圆 双曲线 抛物线 性 质 点集:(M,MF+,点集:M,MF,-,点集M, ,MF,=点M11轨迹条件 MF,=2a,F F,MF,. 到直线l的距离. 21222a, =?2a,FF,2a. 22圆 形 2222xyxy+=1(a,b,0) -=1(a,0,b,2222标准方程 y=2px(p,0) 2abab0) A(-a,0),A(a,0); 12顶 点 A(0,-a),

5、A(0,a) O(0,0) 12B(0,-b),B(0,b) 12对称轴x=0,y=0 对称轴x=0,y=0 轴 长轴长:2a 实轴长:2a 虚轴长:对称轴y= 短轴长:2b 2b P，0) F(F(-c,0),F(c,0) F(-c,0),F(c,0) 1212焦 点 2焦点在长轴上 焦点在实轴上 焦点对称轴上 ,FF,=2c， F,=2c, ,F 1212焦 距 c= c= a2-b2a2，b222paa x=-x=? x=? 2cc准 线 准线与焦点位于顶点准线垂直于长轴，且准线垂直于实轴，且在两侧，且到顶点的距在椭圆外. 两顶点的内侧. 第 2 页 共 57 页 离相等. cce=,0

6、,e,1 e=,e,1 离心率 e=1 aa4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0,e,1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e,1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度

7、单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h (1) 或(2) y=y+k y=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 222(x-h)(y-k)ax=h (?c+h,k) +=1 x=?+h 22y=k cab椭圆 222(x-h)(y

8、-k)ax=h (h,?c+k) + =1 y=?+k 22y=k cba222(x-h)(y-k)ax=h (?c+h,k) -=1 =?+k 22y=k cab双曲线 222(y-k)(x-h)ax=h (h,?c+h) -=1 y=?+k 22y=k cabpp2+h,k) x=-+h (y-k)=2p(x-h) y=k 22pp2+h,k) x=+h (-抛物线 (y-k)=-2p(x-h) y=k 22pp2+k) y=-+k (h, (x-h)=2p(y-k) x=h 22第 3 页 共 57 页 pp2+k) y=+k (h,- (x-h)=-2p(y-k) x=h 22二、知识

9、点、能力点提示 (一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标. 三、 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程; . (

10、2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四(对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络,

11、着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定

12、22在哪个坐标轴上时，可设方程为mx+ny=1(m,0,n,0). 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大第 4 页 共 57 页 小. 【例题1】 22yx【例1】 双曲线=1(b?N)的两个焦点F、F，P为双曲线上一点， ,1224b2|OP|,5,|PF|,|FF|,|PF|成等比数列，则b=_. 1122解:设F(,c,0)、F(c,0)、P(x,y),则 12222222|PF|+|PF|=2(|PO|+|FO|),2(5+c), 121222即|PF|+|PF|,50+2c, 12222又?|PF|+|PF|=(|PF|,|PF|)+2|PF|?|P

13、F|, 121212依双曲线定义，有|PF|,|PF|=4, 1222依已知条件有|PF|?|PF|=|FF|=4c 121217222?16+8c,50+2c,?c, 35172222又?c=4+b,?b,?b=1. 33答案:1 202221，x,，y,【例2】 已知圆C的方程为，椭圆C的方程为 12322xy2，C的离心率为，如果C与C相交于A、B两点，且线段AB，,1ab,0，212222ab恰为圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C的方程。 122c22222解:由 e,得,a,2c,b,c.2a222xy设椭圆方程为 ，,1.222bbA(x,y).B(x,y).由圆心为(2,1).

14、设 1122y？x，x,4,y，y,2. 12122222xyxy1122A又 ，,1,，,1,22222bb2bb2222x,xy,y1212两式相减，得 ，,0.C1222bbFFO(x，x)(x,x)，2(y，y)(y,y),0,1 212121212xBy,y12又x，x,4.y，y,2.得,1. 1212x,x12？直线AB的方程为y,1,(x,2). y,x，3即 第 5 页 共 57 页 22xy将 y,x，3代入，,1,得222bb223x,12x，18,2b,0. 2 ？直线AB与椭圆C相交.？,24b,72,0.2202由 AB,2x,x,2(x，x),4xx,.12121

15、23224b,72202,.得 3322xy2b,8.解得 故所有椭圆方程 ，,1.1682【例3】 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的21椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右2焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. 22c21a,b22解法一:由e=,得,从而a=2b,c=b. ,22a2a222设椭圆方程为x+2y=2b,A(x,y),B(x,y)在椭圆上. 1122222222则x+2y=2b,x+2y=2b,两式相减得， 1122y,yx，x22221212,(x,x)+2(y,y)=0, .1212x,xy，y

16、2()1212x0设AB中点为(x,y),则k=, 00ABy2y01y=xB211又(x,y)在直线y=x上，y=x, 000022x0于是,=,1,k=,1, AB2y0FxFo21设l的方程为y=,x+1. A右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y), ,y,1,x,1,x,b 则 解得,y,1,byx，b,，1,22,992222,a,由点(1,1,b)在椭圆上，得1+2(1,b)=2b,b=. 168第 6 页 共 57 页 28x162?所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=,x+1. ，y992221ca,b22,从而a=2b,c=b. 解法二:由e=,得,222aa222

17、设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方程为y=k(x,1), 22222将l的方程代入C的方程，得(1+2k)x,4kx+2k,2b=0, 24k2k则x+x=,y+y=k(x,1)+k(x,1)=k(x+x),2k=,. 12121212221，2k1，2k2x，xy，y,k12k11212,直线l:y=x过AB的中点(),则, ,2222221，2k1，2k解得k=0，或k=,1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=,1，直线l的方程为y=,(x,1),即y=,x+1,以下同解法一. 22xy解法3:设椭圆

18、方程为 ，,1(a,b,0)(1)22ab1y,x过AB直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。 l2l的方程为y,k(x,1)(2)故可设直线 2222222222(2)代入(1)消y整理得: (ka，b)x,2kax，ak,ab,0(3)222ka设A(x，y)B(x，y)， 知:x，x,112212222ka，b又y，y,k(x，x),2k代入上式得: 1212222221112kka，bb2，又e, ？k,k,？k,k,k,2222222x，x2kaka122222(a,c)2b2？直线l的方程为y,1,x， ？k,2，2e,122aa222222此时a,2b， 方程(3

19、)化为3x,4x，2,2b,0,16,24(1,b),8(3b,1),032222222又c,a,b,b， ？b,椭圆C的方程可写成:x，2y,2b(4)3？右焦点F(b，0)设点F关于直线l的对称点(x，y)， 00y,0,1,x,b,0则， ,x,1，y,1,b,00yx，b,00,1,22,第 7 页 共 57 页 332又点(1，1,b)在椭圆上，代入(4)得:， ？b,1，2(1,b),2b439922？b,a,， 16822yx所以所求的椭圆方程为: ，,19981627【例4】 如图，已知?POP的面积为，P为线段PP的一个三等分点，1212413求以直线OP、OP为渐近线且过点

20、P的离心率为的双曲线方程. 122解:以O为原点，?POP的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系. 1222yxy设双曲线方程为,=1(a,0,b,0) 2P22ab2b3cb13222,由e=，得. ,1，(),()2a2a2a33?两渐近线OP、OP方程分别为y=x和y=,x 12P22ox33设点P(x, x),P(x,x)(x,0,x,0), 1112221222P1PP1则由点P分所成的比=2, PP12PP222x，xx,x1212,得P点坐标为(), 32224yx又点P在双曲线,=1上， 22a9a22(x，2x)(x,2x)1212,所以=1, 229a9a2222即(x+

21、2x),(x,2x)=9a,整理得8xx=9a ? 1212129139132222|OP|,x，x,x,|OP|,x，x,x又1111222424232，2tanPOx1221sinPOP, 1229131，tanPOx11，411131227？S,|OP|,|OP|,sinPOP,xx,POP121212122241349即xx= ? 12222由?、?得a=4,b=9 第 8 页 共 57 页 22yx故双曲线方程为=1. ,4922yx222【例5】 过椭圆C:，,1(a,b,0)上一动点P引圆O:x +y =b的两22ab条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M

22、、N两点。(1) 已知P点坐标为(x，y )并且xy?0，试求直线AB方程;(2) 若椭圆的00002225ab短轴长为8，并且，求椭圆C的方程;(3) ，,2216|OMON椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直,若存在，请求出存在的条件;若不存在，请说明理由。 解:(1)设A(x，y)，B(x， y) 112222切线PA:，PB: xx，yy,bxx，yy,b112222?P点在切线PA、PB上，? xx，yy,bxx，yy,b101020202?直线AB的方程为 xx，yy,b(xy,0)000022bb(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0);令x=0，则N(0，

23、) xy00222222yx25abaa00()?，,，, ? 2222216b|OMONbab22 2?2b=8 ?b=4 代入?得a=25, b =16 22yx?椭圆C方程: (注:不剔除xy?0，可不扣分) ，,1(xy,0)2516(3) 假设存在点P(x，y)满足PA?PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知， 00222四边形PAOB为正方形，|OP|=2|OA| ? ? x，y,2b00222222又?P点在椭圆C上 ? ? ax，by,ab0022222b(a,2b)ab22由?知x ,y,002222a,ba,b22?ab0 ?a ,b0 222(1)当a,2b0，即ab

24、时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直; 第 9 页 共 57 页 22(2)当a,2b0，即ba0 6kmx，x,为方程*的两根，则 设x,x121221,3kx，xm3km12y,kx，m,？x, 0002221,3k1,3km3km故AB中点M的坐标为(，) 221,3k1,3kmkm13y,x,?线段AB的垂直平分线方程为: ()()22k,k,k13132将D(0，,1)坐标代入，化简得:4m=3k,1 22,m，1,3k,0,22故m、k满足，消去k得:m,4m0 ,2,4m,3k,1,解得:m4 12又?4m=3k,1,1 ?m, 41故m. ,(,0),(4,，,)4

25、【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 第 26 页 共 57 页 2x21(斜率为1的直线l与椭圆+y=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) 445410A.2 B. C. 55810 D. 522(抛物线y=ax与直线y=kx+b(k?0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x,x,12直线与x轴交点的横坐标是x,则恒有( ) 3A.x=x+xB.xx=xx+xx 312 121323C.x+x+x=0 D.xx+xx+xx=0 123122331二、填空题 553(已知两点M(1，)、N(,4，,)，给出下列曲线方程:?4x+2y,1=0, 4422xx2222?x+y=3,?+y=1,?,y=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是22_. 24(正方形A