理学静不定结构学习教案

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1、会计学1理学理学(lxu)静不定结构静不定结构第一页，共67页。（2）安全系数(nqun xsh)高（3）结构中任意一部分构件(gujin)的刚度变化会造成结构中的内力重新分布（4）静不定结构(jigu)会产生温度应力和装配应力温度应力第1页/共67页第二页，共67页。装配(zhungpi)应力第2页/共67页第三页，共67页。1.静不定结构(jigu)和静不定次数内静不定：仅由平衡(pnghng)方程无法求出全部的内力。 外静不定(bdng)：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。“多余约束” ：并非维持结构的平衡所必需的约束。AB注意： 多余约束力对维持平衡是多余的，但对工程实际并不多余，是为

2、提高强度、刚度而加上去的。ABCDAB梁中B端可动铰支座，桁架中的CB杆称为多余约束，相应约束力或内力为“多余约束力”。第3页/共67页第四页，共67页。外静不定次数(csh)=全部约束力个数-独立的平衡方程数 =多余约束力个数 静不定次数(csh)的判断：（1） 外静不定(bdng)结构（2）内静不定结构 将结构切开一个或n个截面去掉内部多余约束使其变成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是内静不定次数。切开截面内力分量的总数=该截面内部多余约束数 第4页/共67页第五页，共67页。（a）切开一个(y )链杆（二力杆），只有FN，相当 于去掉1个多余约束。P（b）切开一个单铰，有 2个内力分

3、量：FN，FS 相当于去掉2个多余(duy)约束。PPPNFNFSFNFSFNF第5页/共67页第六页，共67页。（c）切开一处刚性联结，有3个内力分量(fn ling)FN，FS，M， 相当于去掉3个多余约束。 （d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆， 相当于去掉1个多余约束(yush)（静不定次数减1)。F平面(pngmin)问题，多一个闭合框架，就多3次静不定。单铰-连接2杆, n次复铰-连接n+1杆n次复铰=n个单铰F第6页/共67页第七页，共67页。(3) 内外混合静不定 静不定次数=外静不定次数+内静不定次数 =多余约束数（内外多余约束数） =多余未知力个数（约束力和内力） =未

4、知力个数-平衡(pnghng)方程数(e)桁架(hngji)结构杆数 S ,节点(ji din)数 n ,若S=2n-3 静定桁架若S2n-3 静不定桁架ABCDS=6,n=4, 6-(24-3)=1次静不定第7页/共67页第八页，共67页。例1次静不定(bdng)4次静不定(bdng)1次静不定(bdng)0次静不定=静定第8页/共67页第九页，共67页。“相当”：相当系统(xtng)的受力变形状态与原静不定结构 完全相同。 1. 基本静定系和相当系统16.2 力法求解静不定结构第9页/共67页第十页，共67页。m（基本(jbn)静定系1）（相当(xingdng)系统1）1Xm基本静定系和相

5、当(xingdng)系统的选取：不唯一。（基本静定系2）（相当系统2）1Xm第10页/共67页第十一页，共67页。P3X2X1XP3X2X1XP1X2X3X（相当(xingdng)系统5）（相当(xingdng)系统4）（相当(xingdng)系统3）PP1X2X3X（相当系统1）（相当系统2）P1X2X3X3次静不定第11页/共67页第十二页，共67页。（2）位移(wiy)法：以位移(wiy)为基本未知量，将多余未知力表示为位移(wiy)的函数，然后按平衡条件建立方程，从而通过求解未知位移(wiy)来求解多余未知力。（1）力法：以多余未知力为基本未知量，将位移表示为未知力的函数，然后按位移协

6、调条件(tiojin)建立方程，从而解出多余未知力。本章(bn zhn)重点：力法2.求解静不定结构方法（三条件法）第12页/共67页第十三页，共67页。FABF1XFBFw1静不定次数：1次 2静定基和相当系统01BXBFBwww3位移协调条件（保证相当系统在多余约束处的位移与原静不定系统相同）3.力法求解简单静不定(bdng)结构1BXw1X第13页/共67页第十四页，共67页。 EIFlwBF4853 EIlXwBX3311物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力 51XFX1651 4物理条件：位移表达为力的函数FBFw1BXw1X01BXBFBwww03485313EIlXEIFl可

7、用图乘法(chngf)计算第14页/共67页第十五页，共67页。 2） 求出后，原静不定系统就相当于在F及 共同作用下的静定梁（相当系统）,进而可按静定梁的方法求内力、作内力图、求应力和变形、进行强度和刚度计算。1X1X1） 即为原静不定结构B端的约束力 。A端的3个约束力可由静力平衡方程求出。1XF1XFAB相当(xingdng)系统原静不定(bdng)系统讨论(toln)：第15页/共67页第十六页，共67页。将上例中的位移(wiy)协调方程改写一下： BBFBXwww11B（B是 作用处） 1X111XBXw力与位移(wiy)成线性关系 111X=FBFw11Bw则 - 力法正则方程11

8、111FX16.3 力法正则方程第16页/共67页第十七页，共67页。11111FX（16.1)力法正则方程11相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。F1相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。1静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义位移。（一般为 = 0 ） 1双下标第一下标表示位移发生地点(ddin)，第二下标 表示引起位移的原因。第17页/共67页第十八页，共67页。 若为二次静不定，2个多余(duy)约束， 2个多余(duy)未知力X1，X22222222111212111FFXXXX(16.2)qABCq第18

9、页/共67页第十九页，共67页。n次静不定(bdng)：iiFjnjijX1i=1,2,nnnFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX2211222222121111212111(16.3)说明(shumng)：（1）系数 组成n阶方阵ijnnnnnn212222111211主系数 恒为正 ii（i=1,2,n）副系数jiij)(ji 可正可负可为零 （位移(wiy)互等定理）第19页/共67页第二十页，共67页。iiFjnjijX1i=1,2,nnnFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX2211222222121111212111(16.3)（2）自由项iF可正可负可为零（3）右端项i

10、原静不定(bdng)系统在多余约束处的位移多数(dush)为零第20页/共67页第二十一页，共67页。（4）系数 及自由项 的求法：iFij即根据其物理(wl)意义在相当系统上求一系列位移：ij为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统 在 Xi作用点处的位移iF为仅有原载荷作用时，相当系统 在 Xi作用点处的位移图乘法例如(lr)：FFll1FF111第21页/共67页第二十二页，共67页。（5）解出全部多余未知力Xi 后，在相当系统上进一步可求其它约束力、内力(nil)、应力、位移等。（6）求静不定(bdng)系统上某点位移，可用单位载荷法单位(dnwi)载荷加在相当系统的该点上单位载荷加在原

11、静不定系统的该点上例如：求内力可用叠加法iniiFMXMM1第22页/共67页第二十三页，共67页。1次静不定(bdng)正则方程：11111FX画出原载荷作用下的弯矩图 图FM及仅有X1 = 1 作用下的弯矩图 图1M例 题 16-1 例题(lt)求解图示静不定系统。解：Fll1相当系统Fll1=0第23页/共67页第二十四页，共67页。系数(xsh)计算：例 题 16-1 例题(lt)相当系统Fll1(MF)Fl11= 图自乘 )(1MEIllllEI3823222211311)(1M2lF1)(FM= 与 图互乘 )(1MEIFllFllEIF652652113101111FXFXF16

12、51111第24页/共67页第二十五页，共67页。例 题 16-2 例题(lt)F1X（相）l11X)(1MF2/Fl)(FM法1:1次静不定(bdng)3 EIllllEI332211311EIFllFllEIF4856522211314 、 代入正则方程：11F1IaAlFAlX3165331EAaXXF111112.正则方程： 求DB杆的内力。1.相当系统:切断B点，系统为梁ABIaAlFAlFNDB316533F2/ lABCD2/ la第25页/共67页第二十六页，共67页。例 题 16-2 例题(lt)法2：1 相当(xingdng)系统31113311aEAEIlEIFlF485

13、3101111FX2 正则方程：1X1XFABCD1X1X11Xl11NFMF2/FlNFFFM4IaAlFAlX31653315 （拉）IaAlFAlXFNDB3165331切断DB杆，系统为梁AB+杆DB第26页/共67页第二十七页，共67页。例 题 16-3 例题(lt)1相当(xingdng)系统3系数计算：EIlllllllEI343221131101111FX 2正则方程： l)(1M11X解：1次静不定22ql22ql)(FM22ql求出刚架全部支座约束力。2l2lqlBA第27页/共67页第二十八页，共67页。例 题 16-3 例题(lt)lqllllqllqllEIF2221

14、24323112221EIql4344代入正则方程求出：qlXF1691111l)(1M11X22ql22ql)(FM22qlqlFBy1692l2lqlBA第28页/共67页第二十九页，共67页。例 题 16-3 例题(lt)5.求其余(qy)支座 约束力2l2lqlBAqlFBy169qlqlqlFAy167169根据整体平衡条件：qlFAx（ ）（ ）1692qlMA()qlFAy167qlFAx1692qlMA第29页/共67页第三十页，共67页。例 题 16-4 例题(lt) 绘出图示平面(pngmin)刚架的 M 图。q1X2Xqaa解：2 次静不定。相当系统如图：第30页/共67

15、页第三十一页，共67页。例 题 16-4 例题(lt)0022221211212111FFXXXX3. 求系数(xsh)：FF2122211211,),(,2正则方程 q22qa)(FM112111X)(1Ma)(2Ma122212Xaq1X2X第31页/共67页第三十二页，共67页。例 题 16-4 例题(lt)EIaaaaEI332211311EIaaaaEI221132112EIaaaaaaaEI3432211222q22qa)(FM22qa112111X)(1Ma)(2Ma122212Xa第32页/共67页第三十三页，共67页。例 题 16-4 例题(lt)EIqaaaqaEIF422

16、1421EIqaaqaaaaqaEIF8543231214222q22qa)(FM22qa112111X)(1Ma)(2Ma122212Xa第33页/共67页第三十四页，共67页。例 题 16-4 例题(lt)4以上(yshng)各式代入正则方程联立解得： qaX2831qaX7322211MXMXMMF5 画 M 图：q22qa)(FM22qa11X)(1Ma)(2Ma12Xa142qa282qa9892qaa73a/27 /a第34页/共67页第三十五页，共67页。例 题 16-5 例题(lt) 在载荷P作用下，梁AB挠曲线如虚线所示。若AB梁与杆CD的材料及截面形状、尺寸完全相同，且知梁

17、截面关于形心轴上下对称，截面高 ，又知 ，10lh 302lAI求（1）图中D点的铅垂位移 。 （2）图示的转角 A 。 （3）结构中横截面上的 、 、 DmaxmaxminlPABDEIEAllCA第35页/共67页第三十六页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)解：1一次静不定(bdng)，相当系统（将CD杆切断,系统包括AB梁和DB杆）如图：P2Pl(MF)11X11X1NF2l)(1NFM 65PFN12PllPABDEIEAllCA第36页/共67页第三十七页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)3 EIllllEI3221211EIl53322121lPllEIFEIPl6

18、34 （压力） PX6515 EIPlEAPlEIlXD366531P2Pl(MF)11X11X1NF2l)(1NFM 2 01111FX正则方程lPABDEIEAllCA第37页/共67页第三十八页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)6.画出M图11X11X1NF2l)(1NFM P2Pl(MF)2211MXMXMMFlPABDEIEAllCA65PFN12Pl(M)第38页/共67页第三十九页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)EIPlPllEIA24211222112EIPlAB24211BADCM17求 AlPABDIIllCA在相当系统A端加单位力偶,画出M1图65PFN

19、12Pl(M)第39页/共67页第四十页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)8求 及 maxmax 梁AB： IlPlIhM20122maxmaxmaxIPl2402IPl2402maxIPl2402max65PFN12Pl(M)第40页/共67页第四十一页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)杆CD： IlPAPAFN3065652IPl362 IPl2402maxIPl362maxIPl362min对整个(zhngg)结构，有：IPl362max65PFN12Pl(M)第41页/共67页第四十二页，共67页。例 题 16-5 例题(lt)讨论：求 的法2 ，在相当系统上求AAPP

20、65 EIPlEIlPA24162622A65PFN12Pl(M)第42页/共67页第四十三页，共67页。16.4 利用(lyng)对称性简化静不定结构的计算结构对称，载荷对称，内力(nil)和变形必然对称结构对称，载荷反对称，内力(nil)和变形必然反对称。对称(duchn)的内力分量：轴力FN，弯矩M，反对称的内力分量：剪力FS，xzyw挠度dxdw转角若对称，一定反对称，反之亦然第43页/共67页第四十四页，共67页。 1 结构对称，载荷(zi h)也对称的奇数跨结构内力(nil)对称，C处只有 FN 、M 无 FScC处切开，改用滑动(hudng)固支座即可。C对称结构可根据对称轴处的

21、内力和变形特点，只取其一部分进行简化：原3次静不定结构的半边结构， 可等效为2次静不定结构。变形对称，C处只有铅垂位移， 无水平位移和转角第44页/共67页第四十五页，共67页。 2 结构对称(duchn)，载荷反对称(duchn)的奇数跨结构P内力(nil)反对称：C处只有剪力FS 无FN 、M。C处切开，改活动(hu dng)铰支座。 原3次静不定结构的半边结构 可等效为1次静不定结构。 PPc变形反对称：C处只有水平位移 和转角，无铅垂位移。第45页/共67页第四十六页，共67页。 3 结构(jigu)对称，载荷也对称的偶数跨结构(jigu)与情形1相比较，又CD杆中只有可略去(l q)

22、的轴力FN（对称），则用固定端代替滑动固支座即可。PcPPcA/2 A/2PPcA6次静不定原6次静不定结构(jigu)可等效为3次静不定结构(jigu)。P第46页/共67页第四十七页，共67页。4结构对称，载荷(zi h)反对称的偶数跨结构 等效PP2I2IPPcI由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它杆的内力。 SFSFPP2I2ISFSF第47页/共67页第四十八页，共67页。原6次静不定(bdng)结构可等效为3次静不定(bdng)问题。 而原中间(zhngjin)竖杆的内力等于现两竖杆内力之和。 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不计。

23、SFP2IPP2I2ISFSF第48页/共67页第四十九页，共67页。5双对称(duchn)结构： 结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，取四分之一结构进行(jnxng)计算。qq3次（内）静不定1次静不定第49页/共67页第五十页，共67页。例 题 16-6 例题(lt)已知：EI=常数，求AB两点间的相对位移 。AB解：1原3次静不定结构(jigu)。 双对称，四分之一结 构可等效为1次静不 定结构(jigu)。 ABDECa2aPACD2/P（等效）2解1次静不定，相当系统如图 ：3正则方程 01111FX1X2 /P（相当系统）DCA第50页/共67页第五十一页，共67页。EIaEIa

24、EIadxadEIdsEIMMa57.22120011112002112sin21aFFdxPadPaEIdsEIMMEIPaPaPaEI222221例 题 16-6 例题(lt)1X2/PACDDCAsin2PaMACF2PaMCDF4 11X的弯矩方程：原载荷(zi h)下的弯矩方程：11M（AD段）第51页/共67页第五十二页，共67页。例 题 16-6 例题(lt)5 PaXF389. 011116求原静不定(bdng)系统的弯矩 11MXMMF原7 求 ，在相当系统上去掉P及 ，在A处加单位力A1XsinaMACaMCEPaPaMAC389. 0sin2PaPaPaMCE111. 0

25、389. 021ACEsin2PaMACF2PaMCDF11M（AD段）第52页/共67页第五十三页，共67页。例 题 16-6 例题(lt)dsMMEIA1200111. 0sin389. 0sin21adxaPaadaPPaEI2023111. 0sin389. 0sin21dEIPa111. 0cos389. 02sin412120203EIPaEIPa31147. 08 EIPaAAB3229. 02第53页/共67页第五十四页，共67页。静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都会产生内力和应力。（载荷、装配(zhungpi)误差、温度、湿度等）静定结构：只在载荷(zi h)作用下才产

26、生内力和应力。16.5 装配应力(yngl)和温度应力(yngl)装配应力和温度应力求解思路：静不定系统相当系统（ 为多余未知力） iXaa1X2X列装配应力或温度应力的力法正则方程、求解第54页/共67页第五十五页，共67页。1. 装配内力(nil)和应力 一次静不定系统(xtng)装配内力的力法正则方程： 11111eXn次静不定系统装配(zhungpi)内力的力法正则方程ie：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只 保留原尺寸误差e，由e引起的 作用点沿 iX 方向的广义位移。iX位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。 可正、可负、可为零。 ieiXieiiejnjijX1i=1,2,n

27、第55页/共67页第五十六页，共67页。2. 温度(wnd)内力和应力 一次静不定系统(xtng)温度内力的力法正则方程： 11111tXn次静不定系统温度(wnd)内力的力法正则方程it：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只 保留温度变化t，由t引起的 作用点沿 iX 方向的广义位移。iXiitjnjijX1i=1,2,n位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。 可正、可负、可为零。 itiXit第56页/共67页第五十七页，共67页。ij仍为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统 在 Xi作用点处的位移右端项i仍为原静不定系统在多余约束Xi 处的位移多数为零注意计算系数 时，不计尺寸误差或温

28、度变化。ijiiejnjijX1i=1,2,n装配应力正则方程iitjnjijX1i=1,2,n温度应力正则方程第57页/共67页第五十八页，共67页。例 题 16-7 例题(lt)设 ， ,求2杆尺寸误差产生的内力 21EE 21AA 321,NNNFFF解：1一次静不定(bdng)，2 01111eX3在相当系统中，只保留 计算内力（不计误差e）11X压）(cos2121NNFF1 3NF则333113321111cos2cos4cos2AElAElAEllAE1 23le1X相当系统1 3l2e 12311X相当系统：解除中间的铰第58页/共67页第五十九页，共67页。例 题 16-7

29、例题(lt)e14在相当系统中，去掉 ，只 保留误差e，则 1Xee15 33311333111111cos2cos2AEAEAEAEleXe6 333113331113cos2cos2AEAEAEAEleXFN（拉）3331123311321cos2coscos2AEAEAEAEleFFFNNN（压）第59页/共67页第六十页，共67页。例 题 16-7 例题(lt)2有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配 合，自行车轮的车条(ch tio)与轮缘的配合。 可以求出各杆应力：（压）MPa3 .6521（拉）MPa9 .1123装配应力不可忽视！,200321GPaEEE,10001le,32

30、1AAA,30讨论：1若设1 23le第60页/共67页第六十一页，共67页。例 题 16-8 例题(lt)ABCDEIEIlla求当BC杆温度下降(xijing)t 时，BC杆内产生的应力，已知材料的线膨胀系数为 。解：1. 1次静不定，相当系统如图（切开BC杆）；ABCDEIEIlla1X1X2.正则方程011111tX第61页/共67页第六十二页，共67页。例 题 16-8 例题(lt)3.求系数(xsh)：令 画内力图11X11NFM ABCDEIEIlla1X1X=1=11ll)(1M)(1M)(1NFEAaEIlEAaEIlll321132212311第62页/共67页第六十三页，

31、共67页。例 题 16-8 例题(lt)ABCDEIEIlla4.求 1t ：去掉 ，当BC杆下降t 温度时，在切断BC处产生的相对位移为：1Xtat1t5.aIAltaEIAEAaEIltaXFtNBC32332331111（拉）6.拉）(3233aIAltaEIAFNBCBC第63页/共67页第六十四页，共67页。例 题 16-8 例题(lt)例如(lr)：ABCDEIEIllaCtmmImmdBCCmlaGPaE20,10,20,/11010,1,200496杆直径MpaBC3 .33第64页/共67页第六十五页，共67页。1强度、刚度(n d)比相应的静定结构显著提高3求解内力(nil

32、)的方法： 2引起结构中产生内力和应力(yngl)的原因：16.6 静不定结构的特点静定结构：载荷静不定结构：载荷，温度改变、制造误差、支座 移动等各种变形因素静定结构：静力平衡方程静不定结构：除静力平衡方程，还需变形几何条 件（协调条件）及物理条件第65页/共67页第六十六页，共67页。4内力分布(fnb)的特点5静定结构任何一个(y )约束（内、外）遭破坏， 立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。静定结构：只与载荷(zi h)有关静不定：除载荷外，还与材料性质和截面尺寸相关因此静定结构截面尺寸设计简单：（求出内力后，由强度条件即可确定截面尺寸）。而静不定结构中各部分内力分配与各部分相对刚度有关。改变一根杆的截面尺寸，会使得所有杆件受力重新分布。而静不定有多余约束，当多余约束破坏时，整个结构仍能维持原位，不发生刚体位移，还有一定承载能力。第66页/共67页第六十七页，共67页。