微分中值定理应用

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1、wordLiaoning Normal University2011届本科生毕业论文(设计)题 目：微分中值定理的应用研究学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学班级序号：09数学23号 学 号：20091122060020学生某某：李石 指导教师：李劲松 2011年5月18 / 20目 录摘要1AbstractKey words1前言21微分中值定理与其证明3罗尔定理3拉格朗日中值定理3柯西中值定理4泰勒公式4常用微分中值定理与内在联系52 微分中值定理的应用5证明方程根的存在性5证明不等式6讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值7求极限8泰勒公式8求近似值9用来证明函数恒为常数9中值点

2、存在性的应用10一个中值点的情形102.8.2 两个中值点的情形142.8.3 含中值点的积分等式的证明143小结16参考文献17致谢18微分中值定理的应用研究摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的根本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以与确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式AbstractKey words：The mid-value theorems is very important in mathematics

3、 analysis, it is the basic theorem munication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the ex

4、istence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words:Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula 前 言微分中值定理是微分学的根本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到

5、了很多相关资料。本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以与泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比拟细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一局部的典型例题进展整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的根底。1微分

6、中值定理与其证明, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的根本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的根本定理, 是研究函数形态的有力工具.假如函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；,如此在内至少存在一点使得罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，如此至少存在一条切线.证明：因为在上连续，所以有最大值与表示，现分两种情况来讨论：1假如,如此在上必为常数，从而结论显然成立.2假如,如此因使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值

7、点，由条件在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个根本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.假如函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；如此在内至少存在一点使得 1 显然，特别当时为罗尔定理。这明确罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数显然，(=0),且在上满足罗尔定理的另两个条件，故存在使，移项既得到所要证明的1式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线,我们在证明中引入辅助函数，正是曲线与直线.设函数满足

8、：在闭区间上连续；在开区间内可导；不同时为零；如此存在，使得证明：作辅助函数.易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得因为否如此由上式也为零，所以可把上式改成。注:假如有=0，如此假如如此.当函数在这明确在的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运算上最方便，且具有很好的性质.泰勒1685-1731,英国数学家最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.假如在上有直到阶连续导数，在上阶导数存在，如此其中注意:当令:中值定理条 件结 论罗尔中值定理在闭区间上连续，内可导如此，使得柯西中值定理如此，使得如此，使得拉格朗日中值定理，在

9、闭区间上连续，内可导，0，如此，使得泰勒公式在上有直到阶连续导数，在上阶导数关系柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广 表1-12 微分中值定理的应用把要证明的方程转化为用下述方法：（1） 根的存在定理假如函数在区间上连续，且，如此至少存在一点，.（2） 假如函数的原函数在上满足罗尔定理的条件，如此在内至少有一个零值点.（3） 假如函数的原函数在处导数也存在，由费马定理知即.（4） 假如在区间上连续且严格单调，如此在内至多有一个零值点.假如函数在两端点的函数或极限值同号，如此无零值点，假如函数在两端点的函数或极限值异号，如此有一个零值点.（5） 用泰勒公式证明根的存在性.（6） 反

10、证法.（7） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.例1假如在上连续，在内可导，证明：在内方程至少存在一个根. 证明：令显然在上连续，在内可导，而且根据罗尔定理，至少存在一个，使至少存在一个根.不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.(1) 拉格朗日定理适用于函数导数的条件，证明涉与函数值的不等式(2) 泰勒公式适用于函数的高阶导数的条件，证明涉与函数值或低阶导函数值的不等式.例2 求证分析：根据不等式两边的代数式选取不同的,应

11、用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据取值X围的不同进展讨论,得到不等式.证明：当时，显然设对在以1与为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与之间的，使,即当时，但此时注意与均为负值，所以仍有，即对不等式恒成立.当时，所以有.注：学会把隐藏的条件找出来，即，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.例3 证明当时，证法一 分析：要证成立，只要证 成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，证明：设 由在上连续，在内可导,且，知在上严格递减，由，即成立，知成立，即成立，所以成立.证法二 证明：要证，只要证成立 (1)设，由在上连续，在内可导,且于是，即 故原式成立.注：证明某

12、些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比拟或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比拟，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.一样的一道题可以有多种解法.,并利用函数的单调性求极值利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:假如函数在上连续, 在内可导, 如此有:如果在内,如此在上单调增加;如果在内, 如此在上单调减少. 另外, 在内除有个别点外,仍有 (或) ,如此在上仍然是单调增加(或减少) 的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再

13、利用函数的单调性与函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域,并求出 ,然后求出定义域内的所有驻点,并找出连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值.例4求证时,证明：令因为在上连续, 在内可导,且=当时, 所以当时,是单调增加的.故当时,即,从而例5 求的极值.解：函数的定义域为.而,令,即,解得驻点,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而当时,;当时,.所以,是函数的极小值点, 其极小值为.利用函数的单调性可证明某些不等式注：在求极值时，假如极值的怀疑有导数不存在

14、的点时，只能用列表法.对于有些求极限的题，如果使用洛必达法如此,使用微分中值定理,然后求出极.例6求,其中.解：对应用拉格朗日中值定理,有=其中泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理. 它不仅在理论分析中具有很重要的作用,下面的例子说明它的应用.例7 求在处的泰勒公式.解 由于=，因此+微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法,只要构造出一个适当的函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值.例8 求的近似值.解：是函数在处的值.令,即.由微分中值定理得=.导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部X围. 而在整体上或比拟大的X围运用导数这一工具来研究函数性态,

15、主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具. 证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用.例9 设在上连续, ,且在内恒有. 其中为小于1 的常数,试证:为常数函数.证明：,不妨设,如此,而,所以有=, 其中.同理 , , 其中所以 ,其中.又在上连续, 从而有界. 故.即(当时同样成立) , 从而, ， .故在上为常数函数.中值点存在性的应用在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函数，构造辅助函数最根本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同.1直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所

16、证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.例10 函数在上连续，在内可导，证明:在内至少存在一点，使得.分析：结论等号左侧显然是函数在区间两端点函数值的差与区间长度之商,于是联想到对函数使用拉格朗日中值定理.证明：令，显然在上满足拉格朗日中值定理条件.于是知：在内至少存在一点，使 得，而，即得结论 .例11 函数在上连续，在内可导，试证：存在，使得.分析：将结论变形为，等式左端的形式很容易联想到柯西中值定理，辅助函数显然可取为.证明：令，易知，在上满足柯西中值定理的条件，于是可得存在，使 ，即 ，亦即.2 积分法这种方法的根本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的换成，通过恒等变

17、形将结论化成的形式，然后用观察或直接积分如果不易通过观察得到求得原函数，积分常数取为0. 例12 设函数在上连续，在内可导，且.证明：至少存在一点，使.分析：结论即要证明函数在内有根，而 ，即证明函数在，于是辅助函数可取为.证明：令，显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知至少存在一点，使，而，故，即.注：例10，例11也可使用这种方法证明.例13设函数，在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使.分析：结论即要证明函数在变形为 ，即要证明函数在，显然与的导数有一样的零点，于是可取原函数为.证明：令,显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知至少存在一点，使，而，故，又，于是.当所证

18、明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.例14 设函数在上有二阶导数，且,，证明:在内至少存在一点，使得.分析：结论即要证明函数在内有零点，可考虑对函数使用罗尔定理,关键是要找到使得，易知，而由题设知显然在上满足罗尔定理条件，故必存在点,使得，在上对函数使用罗尔定理即得结论.证明：显然在上满足罗尔定理的条件，故存在点,使得.因为，由条件易知在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知在内至少存在一点，使.例15 设函数在上二阶可导，且，.试证：1在内；2至少存在一点，使.分析:1类似，或多用反证法证明.2仍可考虑使用罗尔定理，关键是寻找辅助函数，结论可变形为，即证函数在.故可取为原

19、函数.证明：1假设存在一点使，显然在上满足罗尔定理条件.于是存在，使得，.而在上又满足罗尔定理条件，于是存在，使得内.2令，显然在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知至少存在一点，使得，又，故.由(1)知，即得 .当题设中出现高阶导数三阶或三阶以上的导数时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.例16假如函数在上有三阶导数，且，设，试证：在内至少存在一个点，使.分析：由题设显然函数在上有三阶导数，故考虑利用的泰勒展开式.证明：在处的二阶泰勒展开式为：至少存在一个点，使得.因为 ，所以 ，于是得.而，故 .注：此题也可使用三次罗尔定理证明.例17设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，.试证：在

20、开区间内至少存在一点，使.证明：由，得在处的二阶泰勒公式为 介于0与之间，.由题设知 ，两式相减，可得.又在区间连续，从而在上也连续，故在区间上有最大值和最小值.从而有，由介值定理知，至少存在一点，使得.2.8.2 两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理.例18函数在上连续，在可导，试证:存在，使得.局部可看作函数与在点使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系.证明：令，易知与在上连续，在可导，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上两式得:存在，使即 .2.8.3 含中值点的积分等式的证明这种命题的根本思

21、路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数，这一函数通常即可作为辅助函数，再结合微分中值定理得到证明.例19 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使.分析：直接证明函数在内至少存在两个不同的零点比拟困难，假如令，而，故可证在内至少存在两个不同的零点.证明：设，如此，.又，由积分中值定理知存在，使得.而时，故.在区间上分别使用罗尔定理知存在，使得，. 即.例20 设函数在上连续，且，试证：至少存在一点，使.分析：将结论变形为,容易看出对函数，在上使用柯西中值定理即可.证明：设，显然，在上满足柯西中值定理的条件，于是知至少存在一点，使得， 即.注：将题设中的定积分转化为变限积分的

22、函数是定积分证明题中的常用方法.微分中值定理应用非常广泛(在使用时应特别注意验证定理的条件) ,以上只介绍了几种常见的应用. 通过对微分中值定理的研究,加深了对微分中值定理的理解,有助于更好掌握该定理的解题应用.3小结：微分中值定理是微分学的根本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述,其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。我们知道，运用微分中值定理证明有关命题的关键是

23、构造辅助函数，构造满足某个中值定理条件的而得到要证明的结论。而构造辅助函数技巧性较强，构造适宜的辅助函数往往是困难的。由于本人能力有限，查找的资料也有局限性，本文对辅助函数的构造还未进展深入的研究，这将是我以后研究的方向。参考文献：1主编：纪乐刚.数学分析.新世纪高等师X院校教材. 华东师X大学:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷2欧阳光中编著.大学应用数学丛书.简明数学分析. 复旦大学:2005年1月3数学分析,徐森林.亚东.薛春华.第三册.清华大学:2001年10月4陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中主编.数学分析第二版高等教育:1999年版5陈平尚,薛宗慈,曾昭著主编.数

24、学分析习作讲义.师X大学出版:2005年1月6数学分析，华东师大数学系主编，高等教育出版:2001年6月第3版致 谢本论文是李劲松教师精心指导和大力支持下完成的。李劲松教师以其严谨某某的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。她渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在此次毕业设计过程中我也学到了许多数学分析方面的知识，逻辑思维有了很大提高。在此感谢李劲松教师！在二年的学习期间，学校领导的关怀和帮助使我逐渐成长起来，非常感谢他们！我数学学业方面得到各科教师的精心教诲，非常感谢他们对我的帮助和支持，使我顺利完成大学期间的课程和学业。在论文的写作过程中，同时得到室友等许多同学的宝贵建议，在此一并致以诚挚的谢意。