数学思维训练教材五年级上册

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1、word 目 录第1讲 平均数 1第2讲 倍数问题一 3第3讲 倍数问题二 5第4讲 假设法解题 7第5讲 作图法解题 9 第6讲 周期问题11第7讲 置换问题13第8讲 包含与排除15第9讲 估值问题17第10讲 一般应用题19第11讲 盈亏问题21第12讲 算式题23第13讲 行程问题25第14讲 火车行程问题27第15讲 灵活运用29终结性测试题一 31终结性测试题二 32第1讲 平均数专题简析把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数总数量

2、=平均数总份数总份数=总数量平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答： 原来三个数的和是23=6，后来个数的和是33=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。33-23=34-3=1答：被改的数原来是1。随堂练习：1、九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少

3、？分析解答： 先求五个数的和：385=190。在秋初前三个数的和：273=81，后三个数的和：483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的局部就是所求的中间的一个数。 273+483-385=35答：中间一个数是35。随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展训练1、化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨，这

4、个星期平均每天生产化肥多少吨？2、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?3、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?4、X红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?5、下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?捐款金额(元)35810人数14346、兴华小学四年级有3个班,一、二班的平均人数是55人

5、,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?7、15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了假如干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?8、甲、乙两地相距161千米。汽车从甲地到乙地用了3小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了1小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？9、爸爸、妈妈的平均年龄是36.5岁，儿子的年龄是11岁，再过3年，他们三人的平均年龄是多少岁？10、九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？11、韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是81分，数学成绩公布后，他的平均成绩

6、提高2分，他的数学成绩是多少分？12、五年级5个同学参加作文竞赛，其中4人的平均成绩是65分，加上李明的分数后，平均成绩就是70分，李明得了多少分？13、李华期末考试思想品德、语文、数学、英语、社会五科的平均成绩是89分，思想品德、数学两科的平均成绩是91分，语文、英语两科的平均成绩是84分，思想品德、英语两科的平均成绩是86分，且英语比语文多10分。问李华这五科的成绩各是多少分？第2讲倍数问题一专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指几个数的和或者差以与几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。 解答倍数问题，必须先确定一个数通常选用较小的数作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这

7、个数的关系，确定“和或者“差相当于这样的几倍。最后用用除法求出1倍数。 和数倍数1较小数 差数倍数1较小数例1两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少米？分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍。如此余下的铁丝相差2倍。这样很容易计算第二根余下的铁丝是：2618314厘米如此原第二根铁丝长30厘米。随堂练习：1、两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下局部第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？2、一筐苹果和一筐梨的个数一样，卖掉40个苹果

8、和5个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？例2 甲组有图书是乙组的3倍，假如乙组给甲组6本，如此甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？分析解答：甲组的图书是乙组的3倍，假如乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6318本，如此甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而承受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的532倍。因此后来乙组的图书是：6365312本。如此原来乙组为18本，甲组就是18354本。随堂练习：1、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人个买了5X，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少X画片？2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的

9、4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？拓展训练1、幼儿园买来的苹果的个数是 梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？2、两个数的和是682，其中一个数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个数。这两个数各是多少？3、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出40吨，乙粮库每天运出30吨。假如干天后，乙粮库的粮食全部运完，甲粮库还有80吨。甲乙粮库原来各有粮食多少吨？4、高年级同学分7人一组植树，杨树的棵数正好是杉树的2倍，如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么杉树正好分完，杨树还剩20棵。参加植树的一共有多

10、少人？5、兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元。弟弟买了3支笔，每支1.2元。现在弟弟的钱数是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少钱？6、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，如此男女生人数相等，如果参加的男生名额给4个女生，如此男生人数是女生的一半。原定夏令营中男女生各多少人？7、体育室有排球和篮球共65个，篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个。排球和篮球各有多少个？8、甲乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？9、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重

11、量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？10、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？第3讲倍数问题二例1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍，如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？分析解答：因为苹果是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果就应为6个，这样才会一起分完。可实际每组只分4个苹果，少分2个，剩下的16个苹果就告诉我们有8个组。因此苹果的个数是：841648个，梨有24个。随堂练习：同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍，如果每位老人拿2

12、个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个。问同学们把苹果分给了几位老人？ 例2 有两筐橘子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍。甲乙两筐原来各有多少个橘子？分析解答：“如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；表示两筐橘子相差16个，“如果从乙筐拿出13个放到甲筐，表示现在两筐的橘子差距是1613242个“甲筐里的橘子是乙筐的2倍说明现在倍数差是211倍，这样就可以计算现在乙筐的橘子数是：42142个如此原来就是55个。甲筐的计算就容易了。随堂练习：甲乙仓库存有货物，假如从甲仓库取31吨放入乙仓库，如此两仓库

13、存货物同样多；假如乙仓库取14吨放入甲仓库，如此甲仓库的货物是乙仓库的4倍。原来两仓库各存货物多少吨？ 拓展训练1、养鸡场新买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。买来母鸡、公鸡各多少只？思路：题中母鸡和公鸡只数的和是100只，就可以计算它们的4倍是400只。又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍，如此公鸡的只数是40只，母鸡就是60只。2、有两块地共有80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。这两块地各有多少公顷？3、养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍。

14、原来养鸡场一共养了多少只鸡？思路：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，如此母鸡应增加360只，这样才能保证母鸡是公鸡的6倍，实际上母鸡只增加了60只，少增加的300只就是母鸡只数是公鸡只数的4倍。所以现在的公鸡数是：606164150只原来的总数为：1506016630只。4、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？练习七：5、有1800千克的货物，分装在甲乙丙三辆车上。甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲乙丙三辆车各装货物多少千克？思路：把乙车看成1倍数，因为乙车比丙车多装200千克，甲车是乙车装的2倍，这样

15、在总数中加上200千克，就可以看成乙车的4倍。所以乙车装了500千克。甲车和丙车就好计算了。6、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？7、甲乙丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲乙丙三数各是多少？8、把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本。问：上中下三层各放书多少本？9、甲乙两个书架，甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？思路：先计算现在的甲书架的书的本数：60032400本，根据

16、甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，可计算现在乙书架的书的本数：4001502125本，因为从乙书架借出四分之三后是125本，所以原来的本数是：12514500本。10、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？第4讲 假设法解题专题分析：假设法解题是一种常用的思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的条件进展推算，并对照条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。例1 有5元和10元的人民币

17、共14X，共100元，问5元和10元的人民币各多少X？分析解答：先假设有14X5元的，如此总数是70元，那么与实际相差30元，所以这30元就是10元人民币少出来的，因此10远人民币的X数是301056X。也可以假设有14X10元的随堂练习：1、笼中共有鸡兔100只，鸡和兔的脚共248只，求笼中鸡兔各多少只？2、一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。问2分和5分的银币各有多少枚？3、营业员把一X5元的人民币和一X5角的人民币换成了28X票面为一元和一角的人民币。求换来的这两种人民币各多少X？例2 有一元、二元、五元的人民币50X，总面值为116元。一元的比二元的多2X，问三种面值的人民币各

18、有多少X？分析解答：如果减少2X一元的，那么，总X数就是48X，总面值就是114元，这样一元和二元的X数就同样多了。假设48X都是5元的，如此总面值为240元，比实际多了126元，这126元不仅包括把一元的假设为5元，而且包括把二元的假设为5元，这样在两X5元中就多了7元。所以二元的就有18X，一元的就有20X，五元的有12X。随堂练习：1、有3元、5元和7元的电影票400X，一共价值1920元。其中7元的和5元的X数相等，三种价值的电影票各有多少X？2、有一元、五元、十元的人民币共14X，总计66元，其中一元的比十元的多2X，问三种人民币各有多少X？3、有1角、2角、4角、5角的邮票共26X

19、，总计6.9元。其中，1角和2角的X数相等，4角和5角的X数相等。求这四X邮票各有多少X？拓展练习1、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。如果从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，白子余1个，而黑子余18个？思路：假设每次取出3个白子，黑子应取出6个，那么白子剩下1个时，黑子应剩下2个。而实际剩下了18个，是因为每次少取了2个黑子。所以取了18648次。2、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的3倍。如果从这堆棋子中每次同时取出黑子6个，白子3个，那么取了多少次后，白子余5个，黑子余36个？3、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。如果从这堆棋子中每次同

20、时取出黑子3个，白子4个，那么取了多少次后，白子余2个，黑子余29个？4、操场上有一群同学，男生人数是女生的4倍，每次同时有2名男生和1名女生回教室，假如干次后，男生剩下8人，女生剩下1人？操场上共有多少名同学？5、用大小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。现有18车货，价值3024元。假如每箱廉价2元，如此这批货物价值2520元。问大小汽车各多少辆？思路：根据“假如每箱廉价2元，如此这批货物价值2520元。可以知道一共廉价了504元，这样可以计算出货物有252箱。假设18辆都是大汽车，可以装324箱，比实际多装72箱。用一辆大汽车换一辆小汽车可少运6箱，所以有12辆小汽车。

21、6辆大汽车。6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次。平均每天运14次。这几天中有几天是雨天？7、有鸡蛋18箩，每只大箩装180个，每只小箩装120个，这批蛋共值302.4元。假如将每个鸡蛋廉价2分出售，这些鸡蛋可卖252元。问大箩、小箩各有多少个？8、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元。如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问有多少千克大西瓜？9、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？思路

22、：根据共得152分。其中甲比乙多得16分，可计算甲得84分，乙得68分。甲投10次，假设全中。应得100分，这样比实际多了16分，由于脱靶一次扣6分，所以甲脱靶一次应扣16分，这样可计算出甲脱靶了1次。同理可计算乙脱靶了2次。那么计算甲乙投中的次数就容易了。10、百货公司委托搬运站送500只玻璃瓶，双方商定每只运费0.24元。如果打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得运费115.50元。问搬运中打破了几只？第5讲 作图法解题专题分析：用作图法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易

23、的作用。在解答一个数或者几个数的和差、差倍以与相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进展分析，从而列出算式。例1五一班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱团，剩下的男生人数是女生的3倍。五一班原有男女生多少人？分析解答：先作图：由于男生人数和女生人数同样多，抽去18名男生和26名女生参加合唱团，说明男生比女生少抽8名，剩下的男生人数是女生的3倍，这8名正好是剩下男女生相差的2倍。这样很容易计算剩下的女生是4人。如此原有女生30名。随堂练习：1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下局部

24、，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？2、甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？3、哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元。二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？例2两根电线共长59米，如果第一根剪去3米，第一根电线的长度就是第二根的3倍。求原来两根电线各长多少米？分析解答：如果把第一根剪去3米，如此总长是56米，这56米正好是原来第二根电线的4倍。这样计算就十分容易了。随堂练习：1、甲乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍。甲

25、乙两筐苹果原来各重多少千克？2、学校图书室共有图书和故事书250本，又买来50本科技书后，科技书的本数是故事书的2倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有21人，如果女生减少5名，男生人数就是女生的3倍，参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人？拓展训练1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好一样。原来四个小组各植树多少棵？思路：我们把现在的丙组看成1份，丁组如此为4份，由于甲乙两组一组多2棵，一组少2棵，故总数不变。这样现在的丙组为：4514225棵其他组的计算就简单了

26、。2、甲乙丙丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4，四个数正好相等，求这四个数。3、甲乙丙三人分113个苹果，如果把甲分得个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数一样。三人原来分得苹果各多少个？4、甲乙丙丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减少20，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件就一样。求乙实际做了多少个？5、五一班全体同学做数学竞赛题，第一次与格人数是不与格人数的3倍多4人。第二次与格人数增加5人。使与格的人数是不与格人数的6倍。五一班有多少人？思路： 先作图，第二次与格人数增加5人，也

27、就是不与格的减少5人，因为第一次与格人数是不与格人数的3倍多4人。那么与格人数应减少15人，这样与格与不与格相差24人，这24人对应着63倍。第二次不与格的人数就是8人。其他问题就容易计算了。6、有两筐苹果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍。原来两筐水果各有多少个水果？7、某车间有两个小组，A组的人数不B组人数的2倍多2人。如果从A组中抽10人去A组，如此A组人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？8、五一班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，今年又有2位同学达标，这样达标人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有学生多少人？9、用绳子

28、测井深，把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量，井外余4分米，求井深和绳长。思路：把绳子三折来量，井外余16分米，就是绳长是井深的3倍多48分米，同理，把绳子四折来量，井外余4分米，就是绳长是井深的4倍多16分米，两次多余的差就正好是两次倍数的差。即井深是16分米。绳长计算就简单了。10、用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈，假如把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米。求大树的周长和绳长。第6讲 周期问题专题分析：周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有

29、关的问题。这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。例1 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析解答：24959139组6朵这六朵花包括5朵红花和1朵黄花。红花：59550朵黄花：99182朵绿花：139117朵随堂练习：1、170.142857142857，小数点后面第100个数字是多少？2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各占总数的几分之几？3、在100米的跑道两侧每隔2

30、米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？例2 下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？表示的数字是几吗？8 ？ 6分析解答：根据规律，第四个数一定是8，第二个数一定就是“6。不信你数数就知道了。随堂练习：1、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是14，你知道“？表示的数字是几吗？3 ？ 72、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是15，你知道“？表示的数字是几吗？你能填出其他数字吗？8 ？ 33、1998个7相乘，它的结果的末位数字是几？拓展训练1、2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？92713周1天

31、 星期一加上一天就是星期二了。2、2002年1月1日是星期二，2002年的儿童节是星期几？3、如果今天是星期五，那么80天后是星期几？4、以今天为标准，算一算今年你的生日是星期几？5、将奇数如如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问一问2001所在的列以哪个字母作为代表？A、 B、 C、 D、 E1、 3、 5、 715、13、 11、917、 19、21、2331、29、 27、25因为2001是一列数中的1001个数，所以100181251。即2001这个数在B为代表的列中。6、将偶数2、4、6、8按如下图依次排列，2014出现在哪一列？A、 B、 C、 D、 E8、 6、 4

32、、 2、 10、 12、14、1624、22、 20、18、26、 28、30、327、把自然数按下面规律排列，865排在哪一列？A、 B、 C、 D、 1、 2、 3、 6、 5、 47、 8、 912、 11、108、小学生小学生小学生热爱劳动热爱劳动热上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为小热，第二组为学爱。求460组是什么？9、有一个100位数，每位上的数字都是8，这个数除以7，当商是整数时，余数是几？8888887126984126984余数分别是146520循环1007164 所以余数就是5。10、有一个100位数，每位上的数字都是4，这个数除以3，当商是整数时，余数是几？第

33、7讲 置换问题专题分析：置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。“鸡兔同笼问题就是一种比拟典型的置换问题，解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法。2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。求苹果和梨的单价。分析解答：2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，如此20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132253

34、02.4元，其余的计算就容易了。随堂练习：1、6只鸡和8只羊共重78千克，5只鸡的重量和2只羊的重量相等。求每只鸡和每只羊的重量。2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。教师买了4支钢笔和6支圆珠笔共付了72元。求钢笔和圆珠笔的单价。3、用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重量正好等于3辆小汽车的载重量，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。求每辆大汽车比小汽车多装几吨货？例2中华学校买来史地书、科技书和文艺书共456本。其中科技书是史地书的的1.2倍，文艺书比科技书多31本。三种书各买了多少本？分析解答：先用史地书代换科技书，科技书加上31本又是文艺书，这

35、样三种书都可表示成史地书，如此史地书为：4563111.21.2125本。其他书的计算就简单了。随堂练习：某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，运来的西红柿的重量比黄瓜重量的3倍少60千克，菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？拓展训练1、一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？思路：假设甲乙都做6小时后，甲还要做2小时，乙还要做6小时。以后的计算相信你可以解决了。2、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？3、一辆

36、卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？4、买2条床单和3条毛巾只用210元，买同样的3条床单和2条毛巾只用280元。买一条床单和毛巾各需多少元？5、一条公路长72千米，由甲乙丙三个修路队共同修完。甲队修的千米数是乙队的2倍，丙队修的千米数比甲队少3千米。甲乙丙三队各修了多少千米？6、糖果店卖的水果糖、奶糖和巧克力糖有以下关系：买1.5千克奶糖的钱和买2.4千克的水果糖的钱相等；买2千克巧克力糖的钱和买3千克奶糖的钱相等。如果用买4.5千克巧克力糖的钱，可买水果糖多少千克？第8讲包含与排除专题分析：集合是指具有某种属

37、性的事物的全体，它是数字中的最根本的概念之一。集合中的每一个事物为这个集合的一个元素。两个集合可以做加法运算，把两个集合合并在一起，就组成了一个新的集合，新的集合的个数的思考方法主要是包含和排除。在解答包含和排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，提高数量关系和逻辑关系。例1 五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？分析解答：两个集合相加成了一个新的集合，采用排除法就可以计算重复的元素。即64489616人随堂练习：1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学都做完的有多少

38、人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人。问语文、数学都得优的有多少人？3、某班有50名学生，在一次测验中有26人总分为，在第二次测验中有21人得总分为。如果两次测验都没得过总分为的学生有17人，那么，两次测验都获得总分为的有多少人？例2 某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语的一种语言。有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少名外语教师？分析解答：把两个集合相加减去其中重复的元素即可。35342148人。随堂练习：1、某校的每个学生至少喜爱体育和文娱中的一种活动，有900人爱好体育，有85

39、0人爱好文娱活动，其中260人两种活动都喜欢。这个学校有多少个学生？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优。这个班有多少学生？3、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一道的有15人，做对第二道的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组一共有多少人？拓展训练1、在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有两种语言都懂的教师，问只懂英语的教师有多少人？思路：首先计算两种语言都懂的有20人，当然只懂英语的就只有55人了。2、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一道，做对第一题

40、的有30人，做对第二题的有21人，问只做对第一题的有多少人？3、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，语文65人得优，数学78人得优，求只有语文得优的人数。4、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打羽毛球又会打乒乓球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？5、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？思路：计算参加这两个组的总人数是838625144人用250人减去144人

41、就可以了。6、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么既不懂英语又不懂日语的有多少人？7、五1班有学生50人，在一次测验中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的有35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？8、教师在统计考试成绩，数学得优的25人，语文得优的有21人，两科中有一科得优的有38人。问两科都得优的有多少人？9、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？思路：只需理解“在获奖者中有16人不是四年级，有12

42、人不是五年级的的意思是有16人是五年级和其他年级的，有12人是四年级和其他年级的。这样其他年级是16122024人。如此全校获奖的有24人。10、五1小学举行小学田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有多少名？第9讲 估值问题专题简析：在日常生活中，某些量往往只需要作一个大致的估计，如对某厂下一年生产的总产值的估计就只能是一个大概数，很难也没有必要准确到几元几角几分。估算就是对一些量的粗略运算，不仅现在，就是今后科学技术相当兴旺了，这类计算仍然十分必要。如果我们的计算结果与粗略估计大相径庭，就说明我们的计算过

43、程必然有错。估算常采用的方法是：1、省略尾数取近似数；2、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值X围进展估算。例1 计算1234567891011121331211101987654321商的小数点后前三位数字是多少？分析解答：小的那个，就把被除数看小点，除数看大点，被除数用去尾，除数用进一；大的商被除数看大点，除数看小点，被除数就进一，除数就去尾。因此，可将被除数和除数同时舍去13位，各保存4位。原式的商大于12343122 0.3952 小于123531210.3957即商的小数点后前三位数字是“395。随堂练习：1、计算5.438262.01202保存两位小数。2、 312111

44、0198765432112345678910111213所得商的小数点后前三位数字依次是多少？3、在里填上“、“或“=。322212021213141565432102122203例2 请你在123456789987654321123456788987654322的里填上“、“或“=。分析解答：用分别求积再比拟的方法显然麻烦。如果我们根据乘法的分配律把两边的算式展开，就可以比拟它们的积的大小了。左边：123456789987654321=1234567881987654321=123456788987654321987654321右边：123456788987654322=1234567889

45、876543211=123456788987654321123456788比拟左、右两边展开的结果，显然左边大，因此，里填“。随堂练习：1、20012001200120012000200020012000的结果是多少？2、计算：34567023456693456713、在里填上“、“或“=45678876544567787655拓展训练1、 不计算出结果，仔细想一想，尽快选择“、“或“=符号填在 里。(1)0.10.010.0010.0001( )101(2)38.450.93( )38.450.93(3)18.745.6( )187.456100(4)93.8658.43( )93.86(5

46、8.43)2、如下算式中，商最小的是 。A、1.0250.05 B、10255 C、10250.5 D、1.0250.53、如下算式中，积最大的是 。A、999.999.99 B、999.9999.9 C、999999 D、99.99999.994、在里填“、“或“=。(1)a0.1=b1 ab(2)a0.1=b1 ab(3)a0.1=b1 ab(4)a0.1=b10 ab5、有一个六位数，它的前三位是“765，并且这个六位数是7、8、9的倍数，这个六位数最大是多少？6、有一个六位数，它的前四位恰好是1997，并且知道这个六位数既是11的倍数，又是13的倍数，这个六位数的末尾的两位是多少？7、

47、被7除或被6除，余数都是1.符合这一条件的最大四位数和最小四位数各是多少？8、李明有1角的人民币4X，2角的人民币2X，5角的1X，1元的人民币2X。如果从中取1至9X，那么他取出的总钱数可能有多少种不同的金额？9、有1克、2克、3克、4克和5克的砝码各一个，从中拿3个砝码放在天平的一边称物体，能称出多少种不同的重量？10、有1克、2克、3克、4克和8克5个砝码，从中选出2个砝码，使用时砝码只能放在天平的一边，能称出多少种不同的重量？第10讲 一般应用题专题简析较复杂的一般应用题中，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化向根本的问题靠拢。因此，我们在解

48、答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。例1 把一条大鱼分成鱼头、鱼身和鱼尾。鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条鱼重多少千克？分析解答：鱼身：44216千克鱼头：16412千克整鱼：1216432千克随堂练习：1、爸爸将钓来的一条大鲤鱼分成前中后三段。中段重量恰好比前后两段重量的和少1千克，后段重量等于中段重量的一半与前段重量的和。只知道前段重2千克。这条大鲤鱼重多少千克？2、一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半，这条大鲨鱼全长多少米？3、有一段木头，不知它的长度。用一根绳子来

49、量它，绳子多1.5米，如果将绳子对折以后再来量，有不够。正好差0.4米。问这根绳子长多少米？例2 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机，此时已漏进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶。50分钟把水抽完。每分钟漏进水多少桶？分析解答：181450800800桶 8005016桶随堂练习：1、一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完，进水管每分钟往池里进水0.8吨。请求出出水管每分钟放水多少吨？2、某工地原有水泥120吨，因工程需要，又派了5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥102吨，求这个

50、工地平均每天用水泥多少吨？3、一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时可以运完。如果让两队合作同时运送。几小时可以运完？拓展训练1、五一班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个、梨32个、橘子26个。那么，带梨和橘子的有多少个同学？2、在一次庆祝“六、一儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿着两种不同的气球，共有红、黄、绿三种颜色，其中红色有56只，黄色的60只，绿色的46只，那么，受拿红绿两种气球的有多少个同学？3、学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小组的同学每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加了球类小组，6人参加了美术小

51、组，7人参加了音乐小组的活动。问：参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？4、甲乙丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，结帐时，甲乙都要付给丙24元。每千克苹果多少元？5、甲乙拿出同样多的钱买一样的铅笔假如干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支。因此甲又给了乙6角钱。问每支铅笔多少钱？6、春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。求每个面包多少元？7、“六、一儿童节同学们做纸花，小华买了7X红纸，小英买了和红纸价格同样的黄纸5X，教师把这些纸平均分给了小英、小华和另外两名同学，结果另

52、外两名同学共付给教师9元钱。问教师怎样把这9元钱分给小华和小英？8、甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨。大小卡车跑一趟的耗油量分别是10公升和5公升。问用多少辆大卡车和小卡车运输时耗油量最少？9、五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不一样，并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？10、用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15X，那么最多可以买1角的邮票多少X？第11讲盈亏问题专题简析盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，如此分配后会有剩余盈；按另一种标准分，分配后又会有不

53、足亏，求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。盈亏问题的根本数量关系是：盈亏两次所分配之差人数。还有一些非标准的盈亏问题，它们可以分为四类：1、两盈：两次分配都有剩余。2、两亏：两次分配都不够。3、盈不足：一次分配有余，一次分配不足。4、不足适足：一次分配不够，一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变而来的。解题时我们可以记住：1、“两亏问题的数量关系式：两次亏的数量差两次所分配之差两次参与分配的对象总数。2、“两盈问题的数量

54、关系式：两次盈的数量差两次所分配之差两次参与分配的对象总数。3、“一盈一亏问题的数量关系式：盈亏两次所分配之差两次参与分配的对象总数。例1某校乒乓球队有假如干学生，如果少一个女生，增加一个男生，如此男生为总数的一半；如果少一个男生，增加一个女生，如此男生为女生人数的一半，乒乓球队共有多少人？分析解答：原女：1212217人总：77212人随堂练习：1、学校买来了白粉笔和彩粉笔假如干盒，如果白粉笔减少10盒。彩粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩粉笔的5倍，学校买来两种粉笔各多少盒？2、操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，如此两堆货物一样重，

55、假如甲乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。求这两堆货物一共有多少吨？3、五一班的优秀学生中，假如增加2各男生，减少1各女生，如此男女人数同样多，假如较少1个男生，增加1个女生，如此男生是女生人数的一半。这些学生中男女生各多少人？例2 幼儿园教师给小朋友分梨子，如果每人分4个，如此多9个；如果每人分5个，如此少6个。问有多少个小朋友？多少个梨子？分析解答：小朋友：965415个 梨子：154969个随堂练习：1、小明去买练习本，他付给营业员的钱买4本多1元，买6本又差2元。小明付给营业员多少元？每本练习本多少元？2、教师把一些铅笔奖给三好学生。每人5支如此多4支，每人7支如此少4支。教

56、师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？3、幼儿园教师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。大班比小班多3个学生，这筐苹果有多少个？拓展训练1、小红把自己的一些连环画借给她的几位同学。假如每人借5本如此、差17本；假如每人借3本，如此差3本。问小红的同学有几人？她一共有多少本连环画？同学：173537个 连环画：751718本2、六一班第一小队的同学去植树，如果每人栽8棵如此少27棵；如果每人栽6棵如此少5棵。六一班第一小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？3、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人9支缺15支；每人7支缺7支。问三好学生有多少人？铅笔

57、有多少支？4、教师将一批铅笔奖给三好学生。每人4支多10支，每人6支多2支？问三好学生有多少人？铅笔有多少支？5、幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？注：这箱饼干分给中班和小班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块，说明中班的人数是小班人数的641.5倍，因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到61.59块，一共可分到15块。664115块6、教师把一批书借给甲组的同学，平均每人借4本，如果只借给甲组的女同学，每人可借6本。如果只借给甲组

58、的男同学，平均每人可借到几本？7、甲乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每人一朵，如果把这些花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些花让乙组同学单独做。每人要做多少朵8、教师把一袋糖分给小朋友，如果只分给小班，每人可得12块，如果分给中班和小班，每人只能得到4块。如果这袋糖只分给中班。每人可分得多少块？9、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？注：减少一条船可以看成较少9个同学，同理增加一条船可以看成增加6个同学。船：96965条 同学：95136人10、教师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个

59、同学正好分得5个，如果增加一个同学，每个同学正好分得4个。求这篮苹果一共有多少个？第12讲算式题专题分析：算式谜一般是一些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四如此运算的规定，四如此运算算式中的数量关系以与数的组成，逐步确定算式中的未知数字哈运算符号。解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意：1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的局部做出局部判断。2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字。3、算式谜解出后，务必要验算。例 1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至到第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍，求原数。分析解答：先列出竖式，逐一推理，就可得出答案。153846随