地质统计学(11)课件

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1、地质统计学(11) 4. 普通克里格方程组和简单克里格方差普通克里格方程组和简单克里格方差（E(Z(x)=m 未知）未知） 要使估计量要使估计量 是无偏的，就必须增加限制条件：是无偏的，就必须增加限制条件： （1）无偏性条件）无偏性条件 若要使若要使ZV*为为ZV的无偏估计量，即要求的无偏估计量，即要求 EZV*- ZV =0 因为：因为： 又因为：又因为： 所以得无偏性条件为：所以得无偏性条件为：niiiVZZ1*mxxZEVZEVVd)(1)(niiniiiniiiVmZEZEZE111)()(11nii地质统计学(11) （2）普通克里格方程组）普通克里格方程组 在区域化变量在区域化变量

2、Z(x) 满足二阶平稳的条件下类似于简单克里格方法满足二阶平稳的条件下类似于简单克里格方法的估计方差的推导，同样可以得到估计方差：的估计方差的推导，同样可以得到估计方差： 在无偏性条件在无偏性条件 下，要使得估计方差最小，从而求得诸权下，要使得估计方差最小，从而求得诸权系数系数 i , (i=1,2,n)，这是一个求条件极值的问题，要用拉格朗日乘这是一个求条件极值的问题，要用拉格朗日乘数法。数法。 令：令： ，为，为n个权系数个权系数 I和和 的的(n+1)元函数。元函数。-2 是拉格朗日乘数。求出是拉格朗日乘数。求出F对对 i , (i=1,2,n)以及以及F对对的偏导数，并的偏导数，并令其

3、为零，得到普通克里格方程组。令其为零，得到普通克里格方程组。nininjjijiiiExxCVxCVVC1112),(),(2),(11nii1212niiEF地质统计学(11)普通克里格方程组：普通克里格方程组： 整理得：整理得： 这这n+1个方程的方程组，称为普通克里格方程组。个方程的方程组，称为普通克里格方程组。 012), 2 , 1( 02),(2),(211niinijiiiiFnixxCVxCF1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC地质统计学(11)普通克里格方差：普通克里格方差： 将上式克里格方程组中的第一式（前将上式克里格方程组中的第一式（前

4、n个方程）两边乘以个方程）两边乘以 i ，再，再对对i 从从1到到n求和得：求和得： 将此式代入到普通克里格估计方差公式中得：将此式代入到普通克里格估计方差公式中得：1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC),(),(111VxCxxCiniininjjiji),(),(12VxCVVCiniiE地质统计学(11) （3）用变差函数表示的普通克里格方程组与普通克里格方差）用变差函数表示的普通克里格方程组与普通克里格方差 若若Z(x)只满足本征假设，而不满足二阶平稳假设时，则利用协方只满足本征假设，而不满足二阶平稳假设时，则利用协方差函数与变差函数的关系差函数与变

5、差函数的关系C(h)=C(0) - (h) 可得用变差函数可得用变差函数(h)表示的表示的普通克里格方程组与普通克里格方差：普通克里格方程组与普通克里格方差：),(),(12VVVxniiiE1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVxxx地质统计学(11) （4）信息样品为非点承载时的普通克里格方程组与普通克里格方差）信息样品为非点承载时的普通克里格方程组与普通克里格方差 若样品的承载不能看作是点承载，而是以若样品的承载不能看作是点承载，而是以x i为中心，其体积为为中心，其体积为v i的承载时，样点之间的协方差的承载时，样点之间的协方差C(xi ,x j )，就变为样品

6、域之间的平均协，就变为样品域之间的平均协方差方差 ，相应的普通克里格方程组与普通克里格方差分别写成：，相应的普通克里格方程组与普通克里格方差分别写成： 用变差函数用变差函数(h)表示的普通克里格方程组与普通克里格方差：表示的普通克里格方程组与普通克里格方差：niiiKVvCVVC12),(),(1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvCvvC),(jivvC),(),(12VVVvniiiK1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvvv地质统计学(11) （5）普通克里格方程组及其方差的矩阵的表示法）普通克里格方程组及其方差的矩阵的表示法 为简单起

7、见，我们仅给出样品点为非点承载下的普通克里格方程为简单起见，我们仅给出样品点为非点承载下的普通克里格方程组及其方差的矩阵表示形式：组及其方差的矩阵表示形式： 其中：其中： K称为普通克里格矩阵，它是一个对称矩阵，因为有：称为普通克里格矩阵，它是一个对称矩阵，因为有： 估计方差表示为：估计方差表示为： 1),(),(),( ,2121VvCVvCVvCMnnjivvCvvCijji , ),(),( MK MVVCTK),(2 01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCK地质统计学

8、(11) 用变差函数表示时，普通克里格方程组的矩阵表示形式为：用变差函数表示时，普通克里格方程组的矩阵表示形式为： 1),(),(),( ,2121VvVvVvMnn01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvvvvvvvvvvvvvvvvvK MK ),( 2VVMTK地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 1. 只有当协方差矩阵只有当协方差矩阵C(vi,vj)nn（即矩阵（即矩阵K的左上角的左上角nn阶方阵）是严格正定的，克里格方程组才有唯一解。阶方阵）是严格正定的，克里格方程组才有唯一解。因为此时其系数矩阵的行列式严格大

9、于零。因此，要求所因为此时其系数矩阵的行列式严格大于零。因此，要求所用的点协方差函数用的点协方差函数C(h)是正定的。（若用变差函数是正定的。（若用变差函数(h)表表示，则要求示，则要求- (h)是条件正定的），且数据承载无一重合。是条件正定的），且数据承载无一重合。因为若有因为若有vk=vj，则，则C(vi,vk)= C(vi,vj) (i=1,2,n)，从而矩阵，从而矩阵C(vi,vj)nn中有两列（行）完全相等，故其行列式的值为中有两列（行）完全相等，故其行列式的值为零。零。地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 2. 克里格估值是一种无偏的内插估值。即若待估块段克里格估值是一种无偏

10、的内插估值。即若待估块段（承载）（承载）V与有效数据的任意承载与有效数据的任意承载vi重合，则由克里格方程重合，则由克里格方程组给出组给出ZK*=Z(vi)及及K2=0。这在制图学中称为这在制图学中称为“克里格估克里格估值曲面通过实测点值曲面通过实测点”。传统的估计方法并没有这种性质。传统的估计方法并没有这种性质。这也说明了克里格估值精度高于其它估值方法。这也说明了克里格估值精度高于其它估值方法。地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 3. 对于克里格方程组所用到的协方差函数对于克里格方程组所用到的协方差函数C(h)和变差和变差函数函数(h)的模型，不论它们所表征的基本结构如何均可，的模型

11、，不论它们所表征的基本结构如何均可，它们可以是各向同性的，也可以是各向异性；既可以是单它们可以是各向同性的，也可以是各向异性；既可以是单一结构，也可以是套合结构。一结构，也可以是套合结构。地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 4. 普通克里格方程组和方差只取决于结构模型普通克里格方程组和方差只取决于结构模型C(h)或或(h) ，以及，以及各承载的相对几何特征（或说相对空间位置），而不依赖于数据各承载的相对几何特征（或说相对空间位置），而不依赖于数据Zi 的的具体数值。因此，只要知道结构函数具体数值。因此，只要知道结构函数C(h)或或(h)以及样品的空间位置以及样品的空间位置（数据构形），

12、在开钻前就可得普通克里格方程组及其方差。这样，（数据构形），在开钻前就可得普通克里格方程组及其方差。这样，就可以根据钻孔的空间位置不同，得出不同的克里格方差，从而选择就可以根据钻孔的空间位置不同，得出不同的克里格方差，从而选择较小的克里格方差所对应的钻孔位置构形，在已知结构函数前提下确较小的克里格方差所对应的钻孔位置构形，在已知结构函数前提下确定最优的布孔方案。定最优的布孔方案。地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 5. 普通克里格矩阵普通克里格矩阵K ，只取决样品承载，只取决样品承载vi (i=1,2,n)的几何特征的几何特征（空间位置），而完全不依赖于待估块段的承载（空间位置），而完

13、全不依赖于待估块段的承载V。因此，只要所用。因此，只要所用的信息样品相同，即使对不同的待估块进行估值，克里格方程组的系的信息样品相同，即使对不同的待估块进行估值，克里格方程组的系数矩阵数矩阵K 也相同。从而只需求一次逆矩阵也相同。从而只需求一次逆矩阵K -1。若估计构形（待估。若估计构形（待估承载与全体样品承载的构形）也相同，则矩阵承载与全体样品承载的构形）也相同，则矩阵M也不变。即只需解也不变。即只需解一次克里格方程组，就可得到线性估计量中的权系数一次克里格方程组，就可得到线性估计量中的权系数i (i=1,2,n)，大大地节省计算时间。（规则勘探网格就满足这一要求）大大地节省计算时间。（规则

14、勘探网格就满足这一要求）地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明 6. 普通克里格方程组及其方差考虑了以下四个方面的因素：普通克里格方程组及其方差考虑了以下四个方面的因素： （1）待估承载）待估承载V 的几何特征（的几何特征（ (V, V) ）；）； （2）数据构形的几何特征（）数据构形的几何特征（ (vi, vj) ）；）； （3）信息样品承载）信息样品承载vi 与待估承载与待估承载V之间的距离（之间的距离（ (vi, V) ） ； （4）反应区域化变量）反应区域化变量Z(x)空间结构特征的变差函数模型（空间结构特征的变差函数模型（ (h) ） 。地质统计学(11)进一步的说明进一步的说明

15、 7. 纯块金效应对普通克里格方程组及其方差的影响纯块金效应对普通克里格方程组及其方差的影响 如果原来变差函数如果原来变差函数1(h) ，后来增加了一个块金常数，后来增加了一个块金常数C0成为：成为：则当所有信息样品承载则当所有信息样品承载vi (i=1,2,n)大小相等，和待估块段大小相等，和待估块段V 彼此都不相彼此都不相交，且交，且V比比vi 大很多（这些条件在实际中常能被满足）时，块金效应（即大很多（这些条件在实际中常能被满足）时，块金效应（即增加了一个块金常数）对普通克里格方程组的影响只是在原普通克里格增加了一个块金常数）对普通克里格方程组的影响只是在原普通克里格矩阵的主对角线上前矩阵的主对角线上前n个元素中减去块金常数。这时方程组变为：个元素中减去块金常数。这时方程组变为：0 0 0)()(01hChhh1),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(111021211121212210212111111211211101niinnnnnnnnnnVvvvCvvvvVvvvvvCvvVvvvvvvvC地质统计学(11)