近世代数讲义(电子教案设计) (1)

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1、word近世代数课程教案第一章 根本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义与应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的一样的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射与逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射与逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义与应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。教学重点：映射的定义与象与原象的定义，映射一样的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的

2、结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以与在比拟集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。教学难点：元素与集合的关系属于，集合与集合的关系包含；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广与满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射与逆映射的定义；同态映射在比拟两个集合时的结果；模n的剩余类。教学措施：网络远程。教学时数：8学时。教学过程：1 集合定义：假设干个有限或无限多个固定事物的全体叫做一个集合简称集。集合中的每个事物叫做这个集合的元素简称元。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是

3、任一集合的子集。1集合的要素：确定性、相异性、无序性。2集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。假设a是集合A中的元素，如此记为。表示集合通常有三种方法：1、枚举法列举法：例：A=1，2，3，4，B=1，2，3，100。2、描述法：元素具有的性质。例：。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征与集合之间的关系。3集合的蕴含包含定义：假设集B中每个元素都属于集A，如此称B是A的子集，记为，否如此说B是A的子集，记为.定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否如此称B不是A的真子集。定义：假设集合A和B含有完

4、全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，.4集合的运算集合的并：集合的交：集合的差：集合在全集内的补：集合的布尔和对称差：集合的卡氏积：注：中的元素可看成由A和B坐标轴所X成的平面上的点。卡氏积的推广：对上述集合运算，可以得到一批根本公式：例题：例1 A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=2A=1.2.3 B=4.5.6 那么AB=空集合.例2 A=1.2.3 B=2.4.6 那么AB=1.2.3.4.6 A=1.2.3 B=4.5.6 那么AB=1.2.3.4.5.62 映射定义：设是集合A到B的一个对应法如此：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法如

5、此叫做集合到集合D的一个映射。其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象。例1：A1=A2=.=An=D=所有实数作成的集合.：a1,a2,an a12+a22+an2=(a1,a2,an)是一个A1A2AN 到D的映射.例2 ：A1=东,西,A2=南，D=高,低1：西,南高=1西,南不是一个A1A2到D的映射.2:(西,南高，东,南低，如此2是一个A1A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.：aa 假设a 1 1b 这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合.：aa-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，到集合D的两个映射1与2是一样的，假设对任何一个

6、元来说，1=2。例5：A=D=所有正整数的集合.1：a1=1a2: a=2a 如此1与2是一样的.3 代数运算设给定，如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。例1：A=所有整数，B=所有不等于零的整数。D=所有有理数 0：a.b=ab 是一个AB到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个FV到V的代数运算.例3：A=1,B=2,D=奇，偶 0：1.2奇=12 是一个AB到D的代数运算.例4 A=1.2,B=1.2,D=奇，偶 0：1.1奇 2.2奇 1.2奇 2.1偶 是一个AB到D的代数运算.代

7、数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。设，如此运算表为：注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换。在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义：定义：假设的代数运算，如此可称是的代数运算或二元运算。4 结合律例题:A=所有整数，代数运算是普通减法那么a-b-ca-(b-c) 除非c=0.定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，如此称满足结合律。定义：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一

8、唯一的结果就可用来表示。论证思路因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。任取一种加括号的步骤，往证：对用数学归纳法。和分别是和个元素经加括号而运算的结果.，由归纳假设释之.5交换律 定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，如此称满足交换律。定理：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。论证思路采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.对的情形，任掉换的位置，使之成为.注意是的一个排列. 令.用结合律和归纳法假设证明之.6分配律代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以与的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称适合第

9、一分配律。例. 假设B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，如此 b (a1a2)=(ba1) (ba2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)定理1：设和如上，如果满足结合律，且满足第一分配律，那么，都有论证思路采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。先后利用：结合律的归纳假设的归纳假设直至完成证明。定义：设和同上，假设，假设有，那么称满足第二分配律.定理2：设和同上，假设适合结合律，而适合第二分配律。那么。7 一一映射、变换在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。例1：A=1，2，3，4，5 =2，4，6，8如此 ：1 2，2 4，36，

10、42，52。是一个A 到的映射.例2：A=1，2，3， =奇，偶 如此 ：1，3，5，奇，2，4，6偶 是一个A 到的映射.定义：假设是在一个集合到的映射下，的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个到的满射。定义：一个到的映射，叫做一个到单射，假设。定义：设是集合到的映射，且既是单的又是满的，如此称是一个一一映射双射。例3：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这明确：与它的一个真子集一样“大。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理：一个到的一

11、一映射带来一个通常用表示的到间的一一映射。证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，如此可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：1是双射可唯一确实定一个逆映射，使得：是双射；也是的逆映射，且；2是双射同时是有限集或同时是无限集。定义：一个A到A的映射叫做的一个变换。一个A到A的一一映射单射，满射时，也称为的一个一一变换单射变换，满射变换例4

12、：A=所有实数。 ：X是A的一个单射变换.例5：A=所有整数。 ：a假设a是偶数 a假设a是奇数 是A的一个满射变换.例6：A=1，2，31：11，22，332：12，23，31都是A的一一变换.8 同态定义：一个到的映射叫做一个对于代数运算来说的，到的同态映射，假设，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 。例1：a1 (a是A的任一元)是一个A到的同态映射，1是一个A到的映射，显然对于的任意两个整数a和b来说，有a1, b1,a+b1=11例 2：2 ：a1 假设a是偶数 a-1 假设a是奇数2是一个A到的满射的同态映射例 3：3 ：a-1(a是A的任一元) 固然是一个A到的映射，但不

13、是同态映射定义：假设对于代数运算来说，有一个到的满射的同态映射存在，如此称这个映射是一个是同态满射。在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定理1：假设对于代数运算和来说，A与同态，那么假设适合结合律，也适合结合律假设适合交换律，也适合交换律。证明：1任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明2定理2：假定，都是集合A的代数运算， 都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射，使得A与对于代数运算，来说同态。对于代数运算，来说也是同态，那么假设， 适合第一分配律， 也适合第一分配律假设， 适合第一交换律， 也适合第一交换律证明：1是满射.又因为是关于与的同态映射即.同理可证

14、明2。9 同构、自同构定义：一个到的一一映射是一个对于代数运算来说的，到的同构映射，假设，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有 。假设在一个与之间，对于代数运算来说，存在一个到的同构映射，如此称对于代数运算来说，与同构，记为。例1：A=1，2，3 . =4，5，6. 1 2 3 4 5 61 3 3 3 4 6 6 62 3 3 3 5 6 6 63 3 3 3 6 6 6 6各是A与的代数运算与的表，那么14，25，36，是一个A与之间的同构映射。定义：对于代数运算来说的一个到的一个同构映射叫做的一个对于来说的A的自同构。例2：A=1，2，3 代数运算由下表给定： 1 2 3 1 3

15、3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 那么：12，21，33 是一个对于来说的 A的自同构。10 等价关系与集合的分类定义：设为集合，对，错，那么一个到的映射就叫做的一个关系.也称为二元关系假设，就称与符合关系，记为假设，就称与不符合关系，记为由上述定义知，中任一对元，都可以判定与是否符合这个关系。例1：A=所有实数 R:(a,b) 对，假设是b-a是正的 (a,b) 错，假设是b-a不是正的 是A 的元间的一个关系。定义：设是集合的元间的一个关系叫做一个等价关系，如果满足以下规律：（1） 反射律反身性：（2） 对称律对称性：当时必有；（3） 推移律传递性：当且时，必有。当时，习惯称与等价。

16、定义：假设把一个集合A分成假设干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。定理1：集合的每个分类都决定了的元间的一个等价关系。证明：设是的一个分类，用我们可以规定上的一个二元关系：在同一类里，显然是的一个关系，须证是等价关系。（1） 反身性：。（2） 对称性：假设.3传递性：假设，。定理2：集合的一个等价关系决定的一个分类。证明：，令，如此确定的这些子集具有：1：由；2，当与不等价时：假设，由的对称性和传递性知，推出矛盾，所以。3：。的一个分类。注意：1“，“2假设因为设，由传递性推出再由1知。定义：假定我们有一个集合的分类，那么，一个类里的任

17、何一个元叫做这个类的一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团。注：由于，那么，这明确对等价类来说，中任何元素均可作为的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。一种重要的等价关系同余关系定义. 任取，可以在中确定一种等价关系如此称为模的同余关系，并将记为由同余关系确定的分类中的等价关系为模的剩余类。而由同余关系引导出来的商集习惯上记为.模的同余关系为：，其中第二章 群论教学目的与教学要求：理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法;理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想，理解假设群G同态G如此群G

18、的许多代数性质可以传递给它的同态象;理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性，弄清楚变换群和变换群的区别;理解置换群，n次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习;理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果i数量问题，(ii)构造问题，iii循环群的生成元;理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左右陪集的思想，理解陪集定义的最根本的两种出发点;教学重点：群的定义，根本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法;单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念;有限群的定义，利用有限群的思

19、想，利用定义证明有关定理和例子;群的同态定义，利用群的同态定义证明由G是群可以推出G也是群GG条件下;变换群的定义，Cayley定理，变换群的判定常用的方法;置换，转换群，n次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构;G=的定义，利用G=的定义，证明有关的定理和命题，如：循环群，乘余类加群;子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义，群G的子群H的阶，H在G里的指数；任两个左右陪集间存在双射的概念;教学难点：群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定;群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间

20、的关系和定理的证明;掌握群同态定义中的同态映射的要求;变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性;置换群中元素是n次置换非常具体，所以n次置换，与置换乘积是本节中较难的概念;G=a的构选问题，利用G=a的定义证明假设a为无限阶的，如此Z,+；假设a的阶为n，如此Zn，+;作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法;左右陪集的定义，利用左右陪集的定义掌握左右陪集的判别条件;教学措施：网络远程。教学时数：16学时.教学过程：1 群的定义群的第一定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假设:。G对于这个乘法来说是闭的；。结合律成立：a(bc)=(ab)c

21、对G的任意三个元都对；。对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是一个有限整数。 例 1：证明假设G包含一个元g，且乘法是gg=g，如此G对于这个第六法来说作成一个群。例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。群G有以下性质：。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让 ea=a对于G的任何元a都成立。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元，叫做a的一个左逆元，能让a=e成立。这里e是一个固定的左单位元。证明：略。群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来

22、说作成一个群，假设:。G对于这个乘法来说是闭的；。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让 ea=a对于G的任何元a都成立；。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让a=e。证明思路：1。一个左逆元也一定是一个右逆元； 2一个左单位元也一定是一个右单位元； 3最终结论。定义：一个群叫做有限群，假设这个群的元的个数是一个有限整数。否如此这个群叫做无限群。一个有限群元的个数叫做这个群的阶。定义：一个群叫做交换群，假设ab=ba对于G的任何两个元a,b都成立。2 单位元、逆元、消去律定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元e，

23、能使 ea-ae=a对于G的任意元a都对。提示：只须用反证法证唯一性。定义：一个群G的唯一的能使 ea=ae=aa是G的任一元的元e叫做群G的单位元。定理2：对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元，能使a=a=e提示：只须用反证法证唯一性。定义：唯一的能使 a=a=e的元叫做元a的逆元有时简称逆例1：全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，如此这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。例2全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a的逆元是-a.定义：群G的一个元a，能够使得=e的最小的正整数m叫做a的阶。假设是这样一个m不存在，我们说，a是无限阶的。例3：

24、G刚好包含=1的三个根：1，,对于普通乘法来说成一个群。，显然；。1是G的单位元；。1的逆元是1，的逆元是，的逆元是。定理3：一个群的乘法适合III消去律：假设 ax=ax , 那么x=x；假设 ya=ya ，那么y=y证明：略。推论：在一个群里，方程ax=b和ya=b各有唯一的解。3 有限群的另一定义假设是群，如此必满足1封闭性2结合律3消去律。但如果代数体系能满足12和3，是否可断定就是群呢？先看下面的例子：例：G=所有不等于零的整数对于普通乘法来说这个G适合I，II，III，可是不适合III。如果是有限集，那情形就不一样了。定理：一个有乘法的有限集合G，假设是适合I，II和III，那么它

25、也适合III。有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作成一个群，假设I，III，III能被满足。证明：只需证明方程和在中有解先证在中有解，.因为是有限集，不妨设，即，现用左乘中的每个元素，得到.由1中每个，所以又由于3只要，如此中也含有个元素，于是又由于，即使的解.同理可以证明有解.4 群的同态设和都是群，如果存在映射使都有，如此称是群同构态映射；如果是满射，如此必为群满同态映射，注：这是重要的一种同态，要特别关注简称 与 同态,并记为 ,此时也称是的同态像.我们已屡次谈到 “满同态的重要性质-具有 “传递作用.那么在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢?定理1：假设G与对于它们的乘法来

26、说同态，那么也是一个群。证明:对而言,“满足封闭性是显而易见的,而由于 中的 “ 满足集合律.有单位元和有逆元. 是群,设e是单位元并设 ,须证 是的单元.事实上,是满射，使,那么,同理, 由的任意性 是单位元. 为满射,如此 使，而是群,故有逆元,设，须证是的逆元。 事实上,同理 是的逆元,即= . 由上可知, 是个群.例1：设A=a,b,c,A的乘法由下表夫定： a b ca a b cb b c ac c a b的集合，G是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映射？且判断A是不是一个群。例2：=所有奇数。对于普通乘法不是一个群。G=e，G对于乘法ee=e显然作成群。但

27、显然是到G的一个同态满射。由定理1的证明可以直接得出定理2：假定G和是两个群，在G到的一个同态满射之下，G的单位元e的象是的单位元，G的元a的逆元的象是a的象的逆元。5 变换群本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变： 将改成:也就是说,过去我们的记法 “将变为“于是要当心： 用教材的话是说：当是映射时，用“. 当是变换时，使用“例1 设，现取出的几个变换即即即即可以看出是的全部变换其中和是双射并且是恒等变换习惯上记或。把A的全体变换作成一个集合S=例2. 利用例可以换算一下它们的合成乘积：；即这明确同理知利用是恒等变换如此这是因为并且又有定义对于这个乘法，S有一个单位元，就是的恒等映射对的任一

28、个变换，都有例3.事实上，有逆元.那么必有且.但我们会发现： 而 这说明即不能成为群。同理可知，也没有逆元上面的所以不能成为群，主要是和不是双射 它们没有逆元因此，我们有:定理1：假定G是集合A的假设干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换，假设是对于变换的乘法来说作成一个群，如此G只包含A的-变换。证明：任取.经证是满射又是单射.首先，因为.由于群必是中的单位元.是满射： 于是.这说明是的原象.是满射.是单射：设.如果， 那么 是单射由上分析知.是个双射.定义1：一个集合A的假设干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。定理2：一个集合A的所有的-变换成一个变换群。证明:设 ,须证满足群第

29、0定义. (1) .因为必是也是双射.即 .(封闭性) (2) 但凡映射都满足结合律中的元素必也满足结合律. (3) 因为恒等变换就是的单位元.(由结论) (4)是双射,由第一章知 必有逆映射使.故逆映射就是在群中的逆元.由(1)-(4)是一个变换群.定理3：任何一个群都同一个变换群同构。证明:设 是任意一个群,，利用,我们规定的一个变换,其中 ,这种变换是一个一一变换,事实上:那么 是满射. 假设 且 是单射.中元素确定的的变换集合其中每个这种变换都为一一变换.其次作,其中现须证是同构映射.是满射: 如此 ，是的原象是满射.是单射: 如果 那么 有 ， 由消去律知是单射保运算:由于.我们有:

30、这说明保运算于是知，而是群必是群.6 置换群定义：一个有限集合的一个-变换叫做一个置换。一个有限集合的假设干个置换作成的群叫做置换群。定义：一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群，记作Sn。定理1：n次对称群Sn的阶是n！.故此. :,.稍做修改: ：=.用=来描述的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为，,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进展研究工作了.例1. 计算如下置换的乘积:(1) , (2) , (3) .解: 注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.例2. 设,那么的全部一一变换构成的

31、三次对称群为.其中, , , , 所以.其中是的单位元.由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性:定义：Sn的一个把ai1变到ai2,ai2变到ai3,.ai变到ai1，而使得其余的元，假设还有的话，不变的置换，叫做一个-循环置换，用符号：i1i2.i，i2i3.ii1，.或ii1.i-1来表示。注意:循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆

32、环:所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.例3在中.叫作3循环置换. 叫作5循环置换. 叫作1循环置换定理2：每一个n个元的置换都可以写成假设干个互相没有共同数字的不相连的循环置换的乘积。证明：设是中任一个元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。 如果使中每个文字都不发生改变，如此，定理2成立. 假设最多变动个文字时，定理成立。现考察变动了个元的情形： 首先在被变动的文字中随意取一个文字，从出发找到在下的象,再找的象, ,直到找到，其中：.于是因为只变动了个文字，故.如果，如此本身就是一个循环置换:定理证毕。如果，模仿的做法。由于中只变动了

33、个文字，中只能变动个文字.由归纳假设，必可以写成假设干个不相连的循环置换之积:还需特别说明:中的所有循环置换中不可能再出现,否如此,当 因为是互不相连,只在中出现.将，但前面已有即将使保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：是互不相连的循环置换之积.定理3：每一个有限群都有与一个置换群同构。7 循环群例1 整数加群中，每个元素都是的倍数因为此群是加法运算，所以用“倍数这个词事实上，是的零倍：；正数是的的倍：，负数是的倍:定义：假设一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；G由元a所生成的，且用符号 G=a来表示，a叫做G的一个生成元。例2 模剩余类加群.中的运算是“

34、钟表加法，易知中每个元素都是的倍数定理：假定G是一个由元a所生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定。a的阶假设是无限，那么G与整数加群同构；a的阶假设是一个有限整数n，那么G与模n乘余类加群同构。证明：(1)当时，作.由上述的对应关系易知,2当时，作,由上述对应关系也易知,是双射 . 而且. 即8 子群定义：一个群G的一个集H叫做G的一个子群，假设H对于G的乘法来说作成一个群，记作：HG。例1 设为任意一个群，那么由的单位元组成子集，自然有，另外本身也有，所以一般有两个子群，统称它们为的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。例2 设为三次对称群，令和三次交

35、织群。易知定理1：一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是 （i） a,bH=abH（ii） aH=H。证明：假设，1显然成立，而上述性质2恰说明2成立.因为1成立中元素乘法封闭。结合律在中成立，自然在中也成立。由2，再由1知。由2于是可知推论：假定H是群G的一个子群，那么H的单位元就是G的单位元，H的任一元a在H里的逆元就是a在G里的元。定理2：一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是： iiia,bH=ab-1H。证明：. 由定理1中2，再由1知往证1和2成立.由条件知，即，那么，并且，所以1和2都成立，由定理1。定理3：一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个

36、子集的充要条件是： a,bH=abH。证明：必要性：显然。充分性：1条件明确满足封闭.2中满足结合律也满足结合律.3因为中满足消去律中也满足消去律.由1、2和3注是有限集定义：S生成的子群的定义结构过程教材上P64页中。9 子群的陪集子群的陪集思想是：实质上是用子群对群进展分类的问题，关于陪集的定义，有两种最根本的出发点，一种是利用子集的乘积的概念，另一种是等价关系的概念。记群G和G的一个子群H。规定一个G的元中的关系：ab,当且仅当的时候。因为： 1，所以ab 2.，所以abba 3. ，所以ab，bcac所以是一个等价关系。定义：由上面的等价关系所决定的类叫做子群H的右陪集，包含元a的右陪

37、集用符号Ha来表示。例1 G=,H=。那么H1=H13=H23=右陪集是从等价关系：ab,当且仅当的时候出发得到的。假设规定一个G的元中的关系：ab,当且仅当的时候同理可证是一个等价关系。定义：由等价关系所决定的类叫做子群H的左陪集，包含元a的左陪集用符号aH来表示。例2. 例1里H的左陪集是1H= 13H= 23H= 这和H的右陪集并不一样。定理1：一个子群H的右、左陪集的个数相等。它们或者都为无限大，或者都有限并且相等。证明： 设, . 作,其中.()( 必是映射),如果,利用明示4的对称性得,故有,即 ,这说明是个映射. ()( 必是满射),如此存在使 是满射.()( 是单射)设 ,.如

38、果 ,即 (由明示4) 是单射.由()()和()知,必是一一映射，命题得证.定义：一个群G的一个子群H的右陪集左陪集的个数叫做H在G里的指数。引理：一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。证明: 设 ,其中 .() ,作为在下的象是唯一确定的, 是映射.() ,如此显然有原象,是满射. () 设, 如果如此 必有(群的消去 律) 必是单射. 由(),()和()知是双射.定理2：设H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj证明: ,这明确在中的右陪集只有个,从而有的右陪集分解: 其中 由引理知, 所以 . 由上等式“知子群的阶是的阶的因子，于

39、是可得到下面定理3：一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。证明：由元素生成的一个循环子群 .由Lagrange定理知,但 故.例3：设置换群S3，其子群为H=1，12，分析H的右左倍集。10 不变子群定义：设，如果对于中任一个元，都有,那么称为的一个不变子群，记为.如果是不变子群，那么N的左右陪集统一叫做N的一个陪集。例1 群的平凡子群和都是不变子群。例2 设为群，而叫做的中心(centre of G)，不仅，而且有例3 如果是一个交换群，那么的任一个子群都是不变子群。因为.例4 设，其中，易知.定义.假定是一个群G的m个子集。那么由所有可以写成形式的G的集合叫做的乘积。这个乘积用表示。

40、定理1：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是： 对于G的任意一个元a都成立。证明：假假设N是不变子群，如此对于G的任意一个元a来说， aN=Na这样假假设对于G的任意一个元a来说那么故N是G的一个不变子群。定理2：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：证明：必要性由定理1显然。下证充分性：假定这个条件成立，那么对于G的任意一个元a来说这样，因为也是G的元，故有 故 由定理1，N是G的一个不变子群。证完。设，规定其陪集的运算法如此：欲使成为一个群，我们还需对它的代数运算进一步核实子集之积是否与代表元有关。设，那么中定义的运算是一个代数运算。证明：且.如果又有使.且.须证.事实

41、上，,即.,即.即这说明，尽管可能，或，但只要且，即运算与代表元的选择无关。定理3：设，那么关于运算做成一个群。证明：.由明示1和引理知是单位元，最后有逆元。定义：一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群。并记为。假设，那当时，如此11 同态于不变子群定理1：一个群G同它的每一个商群同态.证明：显然这里与教材一致，用左陪集的形式出现是一个映射，因为以为代表元的做陪集的唯一确定的又因为，那么是满射最后, 即一个群同态满射，即，或者说，是的同态象，与与同态。定义：设是一个群同态满射，那么的单位元的全部原逆象作成的G的子集叫做同态满射的核，记为。即 .定理2：设与是两个群，并且G与同态，

42、那么这个同态满射的核N是群G的一个不变子群，并且。证明：设是群同态映射，那么.设.故.由上知.由上知现定义，其中是映射:如果且. .但.即的对应关系与陪集的代表元选取无关是映射.是满射: ,是满射.使.故取,有.是满射.是单射,假设是单射.，即为群同态映射由知，是群同构映射，即。定义.设是群同态映射，假设，那么由子群中的元素在内的全部逆象构成的集合叫做的完全原象定理3：设与是两个群，并且G与同态，那么在这个同态满射之下的1假设 ,那么 ；2假设 ,那么 .证明:(1) 表示在 使 ,进而 ,因为 . 由上知 .(2) , 由(1),另外, , 于是 ，因为 即 定理4：设与是两个群，并且G与同

43、态，那么在这个同态满射之下的1假设 ,并ker；2假设 。证明：(3) ,那么 于是 另外,由上知 ，且 4 由 3，. 如此 , .第三章 环与域教学目的与教学要求：理解环的概念与相关性质；掌握交换环，有单位元的环,没有零因子的环和整环的概念；掌握整环与除环的区别和联系，整环的几种判定，域的运算规如此和域的判定法如此；理解环的特征的定义与特性；掌握子环等的定义，理解环同态的相关性质；明确未定元一元多项式的定义与性质；掌握理想和主理想的定义与表示；理解剩余类环的定义与环同态的相关性质；掌握极某某想的概念和判断极某某想的方法，理解极某某想而获得域的方法；理解商域的概念与属性。教学重点：理解环这种

44、代数体系中二种运算中的谐调关系；零因子的概念；除环的判定，域的运算法如此的证明；无零因子环的特征的定义与特性；环与子环之间的性质“变异问题，环同态的保性质问题；存在性定理；了解理想的根本概念和性质,还有理想的各种表现形式；环的同态定理，性质与剩余类的联系；极某某想的概念，极某某想与域关系；商域的构造。教学难点：零因子与消去律的关系；无零因子环的特征的定义与特性；环与子环之间的性质“变异问题，环同态的保性质问题；区别高等代数中多项式环的多项式新内容；了解生成理想的结构问题和传递问题；环的同态定理；由极某某想构造域；商域的结构与性质。教学措施：网络远程。教学时数：14学时。教学过程：1 加群，环的

45、定义定义：一个交换群叫做一个加群，假设把这个群的代数运算叫做加法，并用符号“+来表示。一个加群唯一的单位元用“0表示，并把它叫做零元。1. 0+a=a+0=a元a的唯一逆元用-a表示，并把它叫做a的负元。2. a+a=a-a=03. (-a)=a4. a+c=bc=b-a5. (a+b)=-a-b -(a-b)=-a+b定义: 一个集合R叫做一个环，假设 (1)是一个加群；(2)对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；(3)这个乘法适合结合律；(4)的乘法对加法+满足左右分配律,即且.例1. 中设为整数集,+和为是一个环.习惯上称它为整数环，记为.同理还有有理数环，实数环，复数环。上述的四个环

46、都是由数组成。故称为数环.例2. 偶数集对于整数通常的加法和乘法也是一个环.,按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环.由上一切一付元多项式组成的集合关于多项式称为关于的多项式,或一元多项式环.设R是一个环,那么有如下性质. 性质1: 且 性质2: 性质3: 性质4: 性质5: 假设,那么性质6: , 也就是说性质7: 性质8: , , 性质9: , , 2 交换律，单位元，零因子，整环一 交换环设为环,关于加法+而言,已可以交换,至于对于乘法,也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有定义：一个环R叫做一个交换环，假设,不管a,b是R的那两个元.易知,在1中所介绍的所有数环,

47、一元多项式,和剩余类环价矩阵环不是交换环.二有单元元的环设为环,就加法+中自然有单位元,习惯上换为群的零元,并记为0.对乘法而言,中是会有单位元呢?定义：一个环R的一个元叫做一个单位元,假设对于R的任意元a来说，都有。例1 偶数环没有单位元。定义：一个有单位元环的一个元b叫做元a的一个逆元，假设。因为偶数环中没有单位元,故中没有谈论逆元的“资格.整数环中有单位元(整数).但除了外,其余元都不可逆.在.而可逆.三无零因子环在1中：“但反之,“这样一条普通的计算规如此,在一般的环中未必成立譬如,在剩余类环中.但 譬如在二阶中, ,但,为什么会发生这种现象?定义.假设是在一个环里,但,那么称是的一个

48、左零因子,是的一个右零因子.(上例中2,都是左零因子,3,都是右零因子)在环中,关于零因子的概念要做如下解释:假设是的左零因子,一般未必同时是的右零因子.(比如,在中,只是右零因子,不是左零因子,其中,).显然,假设环是变换环时, 的每个左(右)零因子都是零因子.(中,和都是零因子)一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规如此消去律有着密切的联系.复习消去律的概念:设.左消去律:右消去律:定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：(1)a.(2)a.反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，如此这个环没有零因子。证明: (1),如果且那么.因为且中没有左零因子. (否如此就成了左零

49、因子)即由的任意性中满足左消去律. 设 ,如果显然,由左消去律,这说明的任意性中没有左零因子.推论：在一个环里如果有一个消去律成立，如此另一个消去律也成立。四 整环定义.一个叫作整环，假设(1)是交换环,(2)有单位元,(3)是无零因子环.整数环是整环.而不是整环的有:偶数环(无).矩阵环 (不变换且有零因子), (为合数,有零因子)。3 除环，域例1 R只包含一个元a,加法和乘法是：a+a=a,aa=a.R唯一的元有一个逆元。例2 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说是环，这个环的任意元,有逆元。定义：一个环叫做一个除环，假设至少包括一个非零元(至少含有两个元)；R有一个单位元；中每个

50、不等于零的元都有一个逆元.定义:一个交换除环叫做一个域。性质a:除环没有零因子。性质b:对除环而言,一切非零元构成的集合是一个乘法群.设是所有的复数对事实上，在中定义加法和乘法：其中 和表示和的共轭复数.可以证明: 是一个环.(略)又易知 是的单位元是一个幺环.任取的一个非零元 由于 不全为零 不全为零于是有 ，使 =.由 的任意性中每个零元都可逆是一个除环.另外,显然 , 而, 这说明 即 不是域.所以是一个非域的除环。 我们将上述除环称为哈米尔顿Hamiltom四元数除环，也简称为四元数除环。4 无零因子环的特征例1 我们看一个模p(p是素数)的剩余类环F。我们说，F是一个域。证明：利用群

51、的第三定义。例2设是两个循环加群,又设而.所以 .现令 并规定中加法“+:乘法“： 。可以验证 是一个环，但在加群中，而 .定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。证明：说明:()假设每个非零元的阶都是无限它的阶都一样.()假设,且中无零因子.假设如此,重复上述的证明,同理.即 .由的任意性它们的阶都一样.定义. 一个无零因子的环R的非零元的一样的对加法来说的阶叫做环R的特征。定理2：如果无零因子环的特征是有限整数n,那么是一个素数.证明：假设中每个非零元的阶都是.如果是合数。记其中.,但由于 且 ,进而知是左零因子,而是右零因子.这与R无零因子矛盾。不是合

52、数,又即为素数.推论:整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数.假设环的特征为素数,且可变换,如此有.5 子环。环的同态定义：一个环R的一个子集S叫做的一个子环,假设S本身对于的代数运算来说做成一个环。一个环R的一个子集S叫做的一个子除环,假设S本身对于的代数运算来说做成一个除环。设,也可以定义的子整环,子域:1、是的子整环 (). ()是可变换的 且 中没有零因子.2、是的子除环(). () ,且 (或说)3、是的子域既是的子整环也是的子除环例1. 对于环而言,零环和必是的子环的平凡子环为任意环,令如此必是一个子环,叫做环的中心。定理1.假设存在一个R到的满射，使得R与对于一对加法和乘法

53、来说都同态，那么也必是一个环.定理2.设是环同态满射,那么: 假设是中的零元必是的零元. 即 假设 是的单位元必是的单位元 即 . , 一个负元的象必是象的负元,即 假设可变换也可变换.例3设是环同态满射,其中:. 显然是整环. 中没有零因子,但在n不是素数时，有零因子。这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子. .在中定义运算:可以验证: R是一个环.现作一个对应:,其中,可以验证,是中的零元,当 且 中没有零因子.这明确:零因子的象可能不是零因子.是环同构时,其结果如此不同了.定理3.假定和都是环,且,那么是整环(除环,域)当且仅当是整环(除环,域).引理：假定在集合A与之间存在一个一一映射

54、,并且有加法和乘法,那么我们可以替规定加法和乘法，使得A与对于一对加法和乘法都同构。 证明: 任取.定义: 其中 所以 又的任意性.因为环,由定理1也是环 成了环同构.定理4：设是环的一个子环,S在R里的补足集合与另一环没有共同元，并且,那么必存在另一个与R同构的环,而且是的子环.证明:为了方便,令.而因 ,如此设 . 又令 今令,显然 作 其中 (也就是说,对于中的元,是恒等映射,对于中元,是) 显然, 是满射.另一方面,可分为三种情形逐一考虑(其中,).() 假设那么() 假设是同构映射. 当时必有() 假设，而时,但.因为.总之,当时, 是单射.综合上述为双射.由引理,因为为环,如此必可为定义加法和乘法,使为环且.成立.下面得证也成立,(即是的子环) 现设中的加法和乘法分别记为“和“,又设与中的加法和乘法分别记为“+和“.以下将证明假设局限在内,“与“+,与是一致的 于是 ， 如此有和使， 于是， 。这明确在中，加法“与“+是一致的。同理可证在中“与“也是一致的。所以是的子环，成立。6 多项式环一、多项式环的定义。 设是一个含有单位元的可变换环。又设是的子环且，现考察中含与 任取定元素的最小子环：显然每个.定义.一个可以写成n是0的整数形式的的元都叫做上的一个多项式