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1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学第七章 常微分方程 高等数学（上）高等数学（上）河海大学理学院高等数学第四节 高阶线性微分方程河海大学理学院高等数学一、概念的引入例例: :设设有有一一弹弹簧簧下下挂挂一一重重物物,如如果果使使物物体体具具有有一一个个初初始始速速度度00 v,物物体体便便离离开开平平衡衡位位置置,并并在在平平衡衡位位置置附附近近作作上上下下振振动动.试试确确定定物物体体的的振振动动规规律律)(txx .解解平衡时，平衡时，xxoxcmgmadtdxxxcmg)(河海大学理学院高等数学,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd有阻尼自由振动的微分
2、方程有阻尼自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdtdxndtxdsin2222 有阻尼强迫振动的方程有阻尼强迫振动的方程这些都是二阶线性微分方程这些都是二阶线性微分方程河海大学理学院高等数学二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1) 1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 河海大学理学院高等数学二、线性微分方程的解的结构1.1.
3、二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数） 问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy河海大学理学院高等数学定定义义：设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间I内内的的 n个个函函数数如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得当当x在在该该区区间间内内有有恒恒等等式式成成立立 02211 nnykykyk， 那那么么称称这这n
4、个个函函数数在在区区间间I内内线线性性相相关关否否则则称称线线性性无无关关 河海大学理学院高等数学特别地特别地: : 若在若在 I 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个 线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方 程程( (1 1) )的的通通解解. . 例如例如:线性相关线性相关上在 Rxeexx33,线性无关线性无关河海大学理学院高等数学例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,ta
5、n12常常数数且且 xyy.sincos21xCxCy xxCxCycossin2sin2104 yyxxyxycossin2sin21，令.22121线性相关，yyyy河海大学理学院高等数学2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程 )2()()()(xfyxQyxPy 的的一一个个特特解解, , Y是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的 通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分 方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 例
6、例河海大学理学院高等数学y*yy 0)()()()()(* QyPyyQyyPyyyQyyPyy2211*21,yCyCyyCC使得2211*yCyCyy即y河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学例例 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.解解321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解, ,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, ,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 河海大学理学院高等数学.xxexxyxeyxxy 12, 1, 122322210)0(, 0)0(yy 1232131yyyCyyCy 通通解解：23, 221 CC. 12 xxeyx河海大学理学院高等数学定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理解的叠加原理
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