重积分的计算法课件

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1、一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分二、小结二、小结 思考题思考题第二节第二节 二重积分的计算法（二重积分的计算法（1 1）一、利用直角坐标系计算二重积分 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(在直角坐标系下，二重积分在直角坐标系下，二重积分1. 积分区域的分类：积分区域的分类：X型区域、型区域、Y型区域、一般区域型区域、一般区域如果积分区域为如果积分区域为 bxaxyxD)()(:21 （1）X型区域型区域X-型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交轴的直线与区域边界相交不不多于两个多于两个交点交点.oxy)(1xy

2、 ab2( )yx x如果积分区域为如果积分区域为（2）Y型区域型区域Y-型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交轴的直线与区域边界相交不不多于两个多于两个交点交点. dycyxyD)()(:21 oxy)(1yx cd2( )xy yoxy（3）一般区域：）一般区域：1D2D3D 可以用平行于坐标轴可以用平行于坐标轴的直线把的直线把 D 分解成有限分解成有限个个 x-型区域型区域或或 y-型区域型区域.123DDDD2. 二重积分的计算二重积分的计算-( , ).DXf x y dxdy先讨论型积分区域的12( )( ):xyxDaxb ,义义

3、根根据据二二重重积积分分的的几几何何意意 V Ddxdyyxf),(ozxyDab( , )z f xy xxoaby( )baVA x dx ( )A x10( )x 20( )x 0.xyoz过过 作作平平行行于于面面的的平平面面0 , ,a bx在在区区间间上上任任意意固固定定一一点点0( , )zf x y 截截面面为为曲曲边边梯梯形形0()A x 2010()0()(, )dxxf xyy 0()A x其其面面积积为为：根根据据已已知知截截面面面面积积立立体体的的体体积积公公式式，知知( )baVA x dx 21( )( )( , )dxaxbf x yxy d 0 x 即即21(

4、 )( )(), )d,xxbaDf xf x y dxdyyydx 21( )( )( , )dxxbadf x yxy yx先先对对 积积分分、后后对对 积积即即把把二二重重积积分分化化为为的的二二分分次次积积分分. .oxy)(1yx cd2( )xy 如果积分区域为如果积分区域为 Y-型型：类似的有：类似的有： Ddxdyyxf),( 21( )( )( , )ydcyfyddx yx 21( )( )( , )yydcf x y ddxy 二二重重积积分分转转化化成成二二次次积积分分确确定定关关键键：积积分分限限. .1 ()d d1,2,3.Dxyx y Dxxyx yx 例例求求

5、, , 由由直直线线围围成成:D解解 先先画画积积分分区区域域 的的图图形形1xy xy3 2xyoD为为 X-型区域型区域D:D12,x 3xyx ()d dDxyx y 231d()dxxxxy y 22311()2xxxyydx 2216x dx 14 两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()d dDxyx y 2120d()dxxxxyy.14033 2222 ()d d.Dxyx yDyxxy 例例求求, ,其其中中 由由和和围围成成:D解解 先先画画积积分分区区域域 的的图图形形2xy 2yx oxy11解法一解法一：将：将D看为看为 X-型

6、区域型区域:D01,x 2xyx 212201()2xxx yydx 2xy 2yx oxy11解法二解法二：将：将D看为看为 Y-型区域型区域2()d dDxyx y :D01,y 2yxy 1022)(yydxyxdydyyyy)3134(361023 14033 21301()3yyxyxdy 223 ,2,1DxdxdyD xyxxyy 例例求求其其中中 由由及及围围成成. .oyx21 xy2122 x11yx :D解解 先先画画积积分分区区域域 的的图图形形求求出出各各交交点点，如如图图将将D看为看为 X-型区域型区域:D12,x 1yxx 22d dDxx yy dyyxdxxx

7、 1222122111()dxxxxy 213)(dxxx49 oyx21 xy2122 x11yx 若将若将D看为看为 Y-型区域型区域1:D12,y 2yx 22d dDxx yy 1D2D21DDD 2:D11,2y 12xy 122222d dd dDDxxx yx yyy 22221yxdydxy 2121122yxdydxy 这样计算量就比这样计算量就比 X-型区域的计算量大的多型区域的计算量大的多因此，计算二重积分时，要因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域适当的选择积分区域.24 ,1 yDIedD yx yy 例例求求其其中中 由由及及 轴轴围围成成. .:D解解 先先画

8、画积积分分区区域域 的的图图形形oyxxy 11y 求求出出各各交交点点，如如图图1将将D看为看为 X-型区域型区域:D01,x 1xy 2yDed 2110yxdxedy 2yedy 无无法法用用初初等等函函数数表表示示，21yxedy 无无法法积积分分2110.yxdxedy 从从而而无无法法求求出出oyxxy 11y 1若将若将D看为看为 Y-型区域型区域:D01,y 0 xy 2yDed 2100yydyedx 210yyedy 21012ye )11(21e 注意：恰当的选择积分区域注意：恰当的选择积分区域.( , ) 01,01Dx yxyx 解解：积积分分区区域域D先先画画积积分

9、分区区域域 的的图图形形oyx1yx 1交换积分次序交换积分次序, 将将D看为看为 Y-型区域型区域:D01,y 01xy 1100d( , )dyIyf x yx 11005d( , )d.xIxf x yy 例例 改改变变积积分分的的次次序序21yx 2211116( , ).xxIdxf x y dy 例例 改改变变积积分分的的次次序序22( , ) 11,11Dx yxxyx 解解：积积分分区区域域21yx D先先画画积积分分区区域域 的的图图形形xyo111 1 交换积分次序交换积分次序, 将将D看为看为 Y-型区域型区域1D2D1:D01,y 11yxy 2:D10,y 2211y

10、xy 21yx I 1101( , )yydyf x y dx 220111( , )yydyf x y dx oxy)(1xy ab2( )yx d( , )dxf x yy oxy)(1yx cd2( )xy d( , )dyf x yx 1( )x 2( )x abX型型( , )d?Df x y 1( )y 2( )y cdY型型2122200107( , )( , ).x xxIdxf x y dydxf x y dy 例例 改改变变积积分分次次序序X解解：积积分分区区域域有有两两个个 型型区区域域构构成成. .21:01,02Dxyxx 2:12,02Dxyx 22xxy xyo1

11、xy 22D12Y转转换换积积分分区区域域为为 型型区区域域:D01,y 2112yxy 212011( , )yyIdyf x y dx 2222228( , )1=12.xoyDx y xyxyzxy 例例 求求以以面面上上的的圆圆域域为为底底，圆圆柱柱面面为为侧侧面面，抛抛物物面面为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体体体积积解解：所所求求曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积22(2)DVxy dxdy xyo111 1 221xy 将将D1看为看为 X-型区域型区域1:D01,x 201yx 21122004(2)xVdxxy dy 32 D由由 和和被被积积函函数数的的对对称称性性，1224(2)DV

12、xy dxdy yxyxR1020),( ( (万万元元/ /平平方方千千米米) ) .试试计计算算该该市市总总的的税税收收收收入入( , ),DIR x y dxdy 解解：总总税税收收D如如右右图图31612400(20 +10 )xIdxxy dy 3124yx 1620195(720150)d16xxx =14080（万元）（万元）二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf

13、 x yyf x yx Y型型X型型思考题思考题改改变变积积分分次次序序.思考题解答思考题解答:100( )d( )d ,xf xxf yy 100( )d( )dyf yyf xx 110( )d( )dxf xxf yy ，100( )d( )dxf xxf yy 1100( )d () ( )d xxf xxf yy11200( )d( )d.f xxf yyA练练 习习 题题三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .练习题答案练习题答案