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1、专题一 智者千虑有一失 例谈集合中的空集 在数学解题过程中，常常因考虑不周而造成求解不全，甚至错误。而这些问题正是帮助学生澄清概念，培养思维严密性的绝好素材。正所谓“智者千虑，必有一失”，而在解决集合问题时，空集经常是那“一失”。【金题典例1】（必修1第44页复习参考题A组第4题）已知集合，集合，若，求实数的值.【错解】由题；， 或，解得；。【错题剖析】本题以方程的解为载体，考查了集合的子集概念。易忽视空集的情况，即空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。概念不清造成漏解。【正解】 由题；， 当时，则，而时，；时，；综上可得；。变式1. ，且，则的取值是_.【答案】【解析】由 ，当 时，
2、 ，当时， ， 所以 或,所以或,所以变式2关于x的不等式的解集为空集，求实数k的取值范围.【答案】【解析】（1）当 时，原不等式化为，为空集，符合题意； (2)当时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足： 解得，综合(1)(2)得的取值范围为.变式3.已知，若，求实数m的范围。【答案】1下列说法中，正确的是（ ）A空集没有子集 B空集是任何一个集合的真子集C空集的元素个数为零 D任何一个集合必有两个或两个以上的子集2下列四个集合中，是空集的是（ ）A BC D3.，MP|P为A的子集，NQ|Q为B的子集，那么（ ）A. B. C. D. 4.已知集合，集合，若，实数的值为_.5.已知集合若
3、，则的取值范围为_.6若关于x的不等式|x1|x2|a2+a+1（xR）的解集为空集，则实数a的取值范围是 7已知集合， 为实数.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若是单元素集，求的值；（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围.8已知：（1）若求的值；（2）若求的值.9已知集合，其中，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.10已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.11已知函数的值域是集合，关于的不等式的解集为，集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.参考答案1C【解析】A空集是任何集合的子集，即A不正
4、确；B空集是任何一个非空集合的真子集，故B不正确； C空集不含有任何元素，故C正确；D空集只有1个子集，即D不正确故选C2D【解析】A中；B中； C中； D中3.B5.【答案】 【解析】集合，集合 若，则或即或 那么，则评注：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足 的的取值范围，再利用补集思想转回来解决了问题所以只要是出现 求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用解决问题方便的原则来考虑6.【答案】（，1）（0，+） 【解析】分析：根据绝对值的性质，我们可以求出|x1|x2|的最大值，结合不等式|x1|x2|a2+a+1 （xR）的解集为空集，
5、可得|x1|x2|a2+a+1恒成立，即a2+a+1大于|x1|x2|的最大 值，解不等式可得实数a的取值范围 解：|x1|x2|=|x1|2x|x1x+2|=1 若不等式|x1|x2|a2+a+1（xR）的解集为空集， 则|x1|x2|a2+a+1恒成立，即a2+a+11 解得x1或x0，实数a的取值范围是（，1）（0，+） 反思：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式 左边的最值是解答的关键7.【答案】（1） （2）0或1； （3）9或.【解析】分析：（1）由方程无解列，解不等式可得的取值范围；（2）按一次与二次分类讨论方程解的个数：当时， ；
6、当时， .解方程可得的值；（3）中至多只有一个元素，就是（1）与（2）两者情况，所以取并集得的取值范围.试题解析：（1）若是空集，则只需无实数解， 显然方程显然有解，故，所以只需，即即可.当时，原方程化为解得；当时，只需.即，故所求的值为0或1；综合（1）（2）可知， 中至多有一个元素时， 的值为9或.8.【答案】（1）（2）或.9.【答案】(1) ；(2) 为或.【解析】分析：(1)求解分式不等式得到集合B，然后求解二次不等式得到集合A，最后去并集可得；(2)由题意得到关于实数m的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是或.解析：（1）集合 当时， ，可化为，解得，所以集合， 故 （2）方
7、法一：（1）当时， ，不符合题意。（2）当时， .当，即时， 又因为，所以，所以 当，即时， 又因为，所以，所以 综上所述：实数的取值范围为或方法二：因为，所以对于， 恒成立. 令，则，即， 解得或，所以实数的取值范围为或 10.【答案】存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）【解析】方法一 假设存在实数a满足条件AB=，则有（1）当时，由ABB=，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得（2）当 时 ，则有 ，解得；综上（1）、（2），知存在满足条件AB= 的实数 其取值范围是11.【答案】（1）；（2）.【解析】分析（
8、1）依据题设条件先求出，再解不等式由求得 ，然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式的解集，得到实数的取值范围为.（2）依据题设条件解不等式求得，再借助，分和两种情形分类求出和，最后再整合求出实数的取值范围.解析：（1）因为，所以在区间上单调递增，所以，所以.由，可得，即，所以，所以.又因为，所以 所以，解得，所以实数的取值范围为（2）由，解得，所以因为，当，即时， ，满足；当，即时， ，所以，解得，又因为，所以， 综上所述，实数的取值范围为.反思：解答本题的第一问时，先依据题设条件先求出，再解不等式由求得集合 ，然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式的解集，得到实数的取值范围为.第二问的求
9、解依据题设条件解不等式求得，再借助分和两种情形分类求出和，最后再整合求出实数的取值范围是.在集合中有一个特殊的集合空集，而且作为初学者，空集是一个难理解的抽象的概念，同时也是在解题过程中常常容易忽略的一个知识点。1.理解空集的概念：空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作符号我们可以举几个在数学解题中经常出现的空集的形式，比如方程、不等式无解的情况来理解空集的概念：例如方程无解；不等式的解集为空集.2.几个“相近”概念的理解：问题思考：0，0，之间有什么关系？ 解：元素与集合的关系：集合与集合的关系：从以上的关系，我们可以发现：由于数字0，在人们的观念里表示“没有”，所以容易和空集的概念进行混淆，于是对上面4个概念要区分清楚：（1）0只是一个数字. （2）0是含有一个元素0的集合.（3）是不含有任何元素的集合，即空集. （4）是含有一个元素的集合.同时要注意两点：1.空集是任何集合的子集；2.空集是任何非空集合的真子集.9
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