大一高等数学函数

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1、返回返回上页上页下页下页 广义地说，初等数学之外的数学都是广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学高等数学. 通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微微积分学积分学，概率论与数理统计，线性代数等。，概率论与数理统计，线性代数等。 另外，我们这里也另外，我们这里也把微积分称为高等数学（把微积分称为高等数学（B).什么是高等数学? 微积分是近代数学中最伟大的成就微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分要性无论做怎样的估计都不会过分.返回返回上页上页下页下页 初等数学研究的是初等数学研究的是常量常量，高等数学研究的是

2、，高等数学研究的是变量变量。 高等数学有其固有的特点高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性性和广泛的应用性。 抽象性是数学最基本、最显著的特点抽象性是数学最基本、最显著的特点有了高度抽象和有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。广泛的应用。 严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。遵循思维的规律

3、。 初等数学与高等数学（广义）的区别初等数学与高等数学（广义）的区别返回返回上页上页下页下页 另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。 所以说，所以说，数学也是一种思想

4、方法，学习数学的过程就是思数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。维训练的过程。返回返回上页上页下页下页 首先，首先，理解概念理解概念。数学中有很多概念。概念反映的。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质是事物的本质,弄清楚了它是弄清楚了它是如何定义如何定义的、的、有什么性有什么性质质，才能真正地理解一个概念。，才能真正地理解一个概念。 要想学好高等数学，至少要做到以下四点要想学好高等数学，至少要做到以下四点: 其次，其次，掌握定理掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结件和结论两部分。对于定理除了要掌

5、握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。 返回返回上页上页下页下页 第三第三,在弄懂例题的基础上在弄懂例题的基础上做适量的习题做适量的习题。要特别提醒。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基础上做适量的习题。做题时要善于总结础上做适量的习题。做题时要善于总结- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才

6、能举一反三。有所收获，才能举一反三。 返回返回上页上页下页下页第四，第四，理清脉络理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。理解，还会对进一步的学习有所帮助。 返回返回上页上页下页下页 微积分是近代数学发展的里程碑微积分是近代数学发展的里程碑微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。识客观

7、事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。” 返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页 微积分是建立在实数、函数和极限的

8、基础上的。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 函数是微积分研究的函数是微积分研究的 对象对象,所以我们的讨论将从函数开所以我们的讨论将从函数开始。始。极限的思想是微积分的基础，极限的思想是微积分的基础， 一步就是要理解到一步就是要理解到“极限极限”引入的必要性：引入的必要性：学习微积分学，首要的学习微积分学，首要的 极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及数学思维的建立数学思维的建立 。第一节第一节 函数的概念及其基本性质函数的概念

9、及其基本性质第二节第二节 初等函数初等函数第三节第三节 经济学中常见的函数经济学中常见的函数返回返回上页上页下页下页 若若a属于集合属于集合A的元素，则称的元素，则称a属于属于A，记作，记作 ;否则否则称称a不属于不属于A ,记作记作 （或（或 ）。）。Aa Aa Aa 第一节第一节 函数的概念及其基本性质函数的概念及其基本性质 含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称为空集；用为空集；用表示空集。表示空集。 不是有限集也不是空集的集合不是有限集也不是空集的集合称为无限集。称为无限集。一一.集合及其运算集合及其运算集合集合：具有某种确定性

10、质的对象的全体，简称集。：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。集合的元素集合的元素：组成集合的各个对象。：组成集合的各个对象。 用大写的英文字母用大写的英文字母A、B、C表示集合，用小写的表示集合，用小写的英文字母英文字母a、b、c表示集合的元素。表示集合的元素。返回返回上页上页下页下页 表示集合的方法表示集合的方法:(1)列举法列举法将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内；(2)描述法描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质。在花括号内指明集合元素所具有的性质。 一般，用一般，用N表示自然数集，用表示自然数集，用Z表示整数集，用表示整数集，用

11、Q表示表示有理数集，用有理数集，用R表示实数集表示实数集返回返回上页上页下页下页子集子集设设A，B是两个集合，若是两个集合，若A的每个元素都是的每个元素都是B的元素，的元素，则称则称A是是B的子集，记作的子集，记作A B(或或B A ),读作读作A包包含于含于B包含（或包含（或B包含包含A ）.若若A B，且有元素，且有元素aB ，但，但a A，则说，则说A是是B的真的真子集子集.规定规定: A.相等相等若若A B ，且，且B A，则称，则称A与与B相等相等,记作记作A=B.返回返回上页上页下页下页并集并集由属于由属于A或属于或属于B的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合称为称为A与与B的并

12、集记作的并集记作A B ，即，即 AB =x|xA或或xB交集交集由同时属于由同时属于A与与B的元素组成的集称为的元素组成的集称为A与与B的交集，记的交集，记作作AB ，即，即AB =x|xA且且xBABAB差集差集由属于由属于A但不属于但不属于B的元素组成的集称的元素组成的集称为为A与与B的差集，记作的差集，记作AB 即即|BxAxxBA 但但ABBA或返回返回上页上页下页下页.:UI或积为成的集合称为全集又所研究的全部事物构全集.)(,_cAAAAIAIIAI或记为的补集，称为即则对于任意集合记为集，考虑对象的全体看作全若研究某一问题时将所 niniAAAA121定义 121iniAAAA

13、 niniAAAA121 121iniAAAA返回返回上页上页下页下页(1) AB =B A ， AB = BA ； (交换律交换律)(2) (AB)C= A(BC)， (AB)C= A(BC)； (结合律结合律) (3) (AB)C=(AC)(BC)， (AB)C=(AC)(BC)， (A - B)C=(AC)-(BC)； (分配律分配律) (4) 集合运算的基本规律：集合运算的基本规律：.).)().)(_摩根律德或（或（ccccCcBABABABABABABABA返回返回上页上页下页下页二二.区间与邻域区间与邻域 设设a和和b都是实数，将满足不等式都是实数，将满足不等式axb的所有实数组

14、的所有实数组成的数集称为成的数集称为开区间开区间，记作，记作(a,b)即即 (a,b) =x|axb,a和和b称为开区间称为开区间(a,b)的端点的端点,这里这里a (a,b)且且b (a,b).数集数集 a,b=x|axb为为闭区间闭区间,a和和b也称为闭区间也称为闭区间a,b的端点的端点 , aa,b且且ba,b.数集数集a,b)=x|axb和和(a,b=x|axb为为半开半闭间半开半闭间.以上这些区间都称为有限区间以上这些区间都称为有限区间,数数b-a称为称为区间长度区间长度. 返回返回上页上页下页下页无限区间无限区间.|),(.|),.|),(.|,(,|),(正无穷大与负无穷大分别表

15、示与记号xaxaxaxabxxbbxxbRxx返回返回上页上页下页下页为这邻域的半径。的中心为这邻域称点记作邻域的为点称数集是某一正数是一个给定的实数设,),(,| :,000000 xxUxxxxxx00 x() 0 x 0 xx|0|),( ),(,),(00000000 xxxxUxUxxxU即记作邻域的去心为称.)(),(,00000的某去心邻域的某邻域和分别表示用径时当不需要指出邻域的半xxxUxU返回返回上页上页下页下页三三. 映射定义映射定义 定义定义 设设A和和B是两个非空集合，若存在一个确定的规则是两个非空集合，若存在一个确定的规则f，使使是集合则称与之对应都有唯一确定的按照

16、fByfAx,).(),(,)(,.),(),(|:AfRfAxxfyByyxfxADfAfyxxfyxffxyyxfBAfBAff或的值域，记作称为映射的集合的像的所有元素作的定义域，记称为映射集合下的原像在映射为而称即下的像，记为在映射为并称或的一个映射，记为到集合返回返回上页上页下页下页的满射；到为则称若的映射到对于BAfBAffBA,)(,的单射；到为则称都有（若BAfxfxfxxAxx),()(),212121.映射为双射，双射也叫一一称既是满射又是单射，则若ff0,), 0(, ,),12yRyyBRxxyyxA且（设例.2是单射这个映射是满射，但不的一个映射到轴上就建立了上的每一

17、点投影到将平面上抛物线BAyxy 返回返回上页上页下页下页逆映射四.)(|:|1ffyxfxygBAyxf的逆映射，记为为一个双射，称映射的到是：设定义.,11ffffDRRD这时yxyffRyyyBRxxxAxyxf|:, 0|, 0|:212的逆映射为的一个双射，则到是设例. 1. 6 . 585pp作业：返回返回上页上页下页下页复合映射五.|:,|:,|:的复合映射则称且设定义yxgfDRuxgyuffg)()(xgfxgfy其中.sin:, 0() 1 , 1(,sin|:,|:22xyxgfDRxuxguyuffg复合映射，所以有）因为设例返回返回上页上页下页下页.)(,000处处的

18、的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域上的函数，称为定义在的一个映射到，则为非空实数集设定义DRDfRDD:.),(Dxxfy函数记为为演算方便起见，常将.为因变量为自变量，称yx函数五.返回返回上页上页下页下页约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.21xy 例例如如，1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D表达的函数，我们对于一个仅由数学试子返回返回上页上页下页下页要使数学式子有意

19、义，要使数学式子有意义，x必须满足必须满足.1142的的定定义义域域求求函函数数 xxy21 ,1,2,01,042 xxxxx由由此此有有即即因此函数的定义域为因此函数的定义域为(1,2例例1解解返回返回上页上页下页下页例例2 2.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3: fD故故返回返回上页上页下页下页函数的图形函数的图形: :.)(),(),(的图形称为函数点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD .解析式也不同的函数的不同取值范围内，函数分段函数：在自变量的

20、返回返回上页上页下页下页反函数六.1的反函数为是双射，则称其逆映射若函数定义fff.)(),).(),(,),(11的反函数表示（因变量，故约定用表示表示自变量，由于习惯上常用字母其反函数表示为对于函数fDfxxfyyxDfyyfxDxxfy.)()(),()()(1111-对称图形关于直线的图形与内则在同一坐标系对换成和的变量若将内它们是同一图形，但关系，故在同一坐标系之间的相互对应与表示（和由于xyxfyxfyxfyyxyfxyxyfxxfy返回返回上页上页下页下页)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP反函数 xfy1返回返回上页上页下页下页例例1 设函数设函数 ,求求

21、f -1(x+1).)1(1)1(xxxxf,0,1)(uuuuf令令 u=x+l 则则0,1)1(11)1( ,11)( 11 xxxxfuufy因因此此所所以以解解.-11, 1-) 1-(yuyu从而,0,1uuuy即返回返回上页上页下页下页221, 101,02xxxx , ,例例2 求下列函数的反函求下列函数的反函 数数 f(x)= ,21x21y1y21,011,15yyyy21,011,15xxxx当当 1x0时，由时，由y=得得 x =当当 时，由时，由y=x2+1得得x= 交换交换x,y的位置，得反函数的位置，得反函数，y1于是，有于是，有xy20 x解解51 , y返回返回

22、上页上页下页下页,uy 如由,12xu 21xy可得复合函数定义定义:.,为因变量为中间变量，为自变量称yux七七.复合函数复合函数. 11- x其定义域为返回返回上页上页下页下页注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的函数的;,arcsin uy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.2,cot,2cot复合而成的可以看成是由例如xvvuuyxy交集为空集，故的定义域的的值域与由于uyxuarcsin22返回返回上页上页下页下页21xx211x例

23、例 设设f(x)， (x)求复合函数求复合函数f( (x)和和 (f(x)2222111121 ()1xxx222211121()1xxxxf( (x) (f(x) 解解 返回返回上页上页下页下页函数的运算八.),()(,相等与则称都有且若和定义域分别为和设有两个函数gfxgxfAxBABAgf.定义域和对应法则函数的两个基本要素：.0,)(, 1)(.,cossin)(, 1)(22却不是相同的函数与而数两个相等（相同）的函是和例如RxxxxgRxxfRxxxxgRxxf返回返回上页上页下页下页.0)(| )(,)()()(;),()()(;),()()(;),()()(,xgxBAxxgx

24、fxgfBAxxgxfxgfBAxxgxfxgfBAxxgxfxgfgfBABAgf（：的和、差、积、商如下和则定义若和定义域分别为和设有两个函数返回返回上页上页下页下页五五.函数的基本性质函数的基本性质1. 单调性单调性定义定义3 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D, 对于任意的对于任意的x1，x2I，且，且 x1x2，(1)若有若有f(x1) f(x2), 则称则称f在在D内是内是单调减少单调减少的；的；(3) 若有若有f(x1) f(x2),则称则称f在在D内是内是不减不减的的;(4) 若有若有f(x1) f(x2),则称则称f在在D内是内是不增不增的的.函数的

25、单调增加和单调减少统称为函数的单调增加和单调减少统称为单调单调,区间区间I称为称为f的的单调单调区间区间.注注：I可以是开区间或闭区间，也可以是半开半闭区间可以是开区间或闭区间，也可以是半开半闭区间.返回返回上页上页下页下页xOyyx单调增加)(xfy 单调减少)(xfyO.),(,;,), 0(,222就没有反函数而即，有反函数例如xxyxyyxxxy.）的数也是单调增加（减少存在反函数，且其反函函数必）单调增加（减少）的定理（反函数存在定理单调函数的图形特征返回返回上页上页下页下页2. 奇偶性奇偶性奇函数的图形关奇函数的图形关于原点对称于原点对称,而偶而偶函数的图形关于函数的图形关于y轴对

26、称轴对称 定义定义4 设函数设函数f(x)的定义域的定义域D关于原点对称关于原点对称(即若即若xD,则则-xD),对于任意的对于任意的xD，(1)若有若有f(-x)=-f(x),则称则称f为为D内的内的奇函数奇函数；(2) 若有若有f(-x)=f(x)，则称，则称f为为D内的内的偶函数偶函数返回返回上页上页下页下页例例 讨论函数讨论函数 的奇偶性的奇偶性. )1ln()(2xxxf 所以所以f(x)是（是（,+）上的奇函数）上的奇函数. 函数函数f(x)的定义域（的定义域（,+）是对称区间，）是对称区间，)( )1ln()11ln( )1ln()(222xfxxxxxxxf 解解返回返回上页上

27、页下页下页3.有界性有界性定义定义5 设函数设函数f的定义域为的定义域为D，区间，区间 I D,如果存如果存在正数在正数M，使得对任意的，使得对任意的xI，都有，都有 f(x) 成立成立,则称则称f在在I内是内是有界的有界的,否则称否则称f在在I内是内是无界的无界的.-2 , 1 1）内无界，内有界，但在（在例如 xy.有界，则“界”不唯一不难发现：若f返回返回上页上页下页下页 定义定义6 设函数设函数f(x)在在D内有定义，若存在数内有定义，若存在数M，使，使得对任意的得对任意的xD，都有，都有f(x)M(或或f(x)M)成立成立, 则称则称f(x)在在D内内有上界有上界(或或有下界有下界)

28、.01）内有下界，但无上界，在（例如xy.又有下界既有上界是上有界的充分必要条件在区间显然，fIf返回返回上页上页下页下页例如例如: 函数函数y=sinx在其定义域在其定义域(-,+)内是有界的，内是有界的，因为对任一因为对任一x(-,+)都有都有|sinx|1.函数函数 在在(0,1)内无上界，但有下界内无上界，但有下界xy1 返回返回上页上页下页下页 函数有界的几何意义函数有界的几何意义： 设设y=f(x)在区间在区间(a,b)内有界，即存内有界，即存在在M0，使得对任意的，使得对任意的x (a,b),有有 f(x) M,即即 M f(x) M.因此因此,y=f(x)在在(a,b)内有界在

29、几何上表示内有界在几何上表示y=f(x)在区在区间间(a,b)内的函数图形必夹在两平行于内的函数图形必夹在两平行于x轴的直线轴的直线y=M之间之间.反之亦然反之亦然. 返回返回上页上页下页下页4.周期性周期性例如例如,函数函数f(x)=sinx的周期为的周期为2 ; f(x)=tanx的周期是的周期是 .显然，若显然，若T为为f的周期，则的周期，则kT(kZ)都是都是f的周期通常函数的周期通常函数的周期是指它的最小正周期的周期是指它的最小正周期(如果存在的话如果存在的话) 定义定义7 设设函数函数f的定义域为的定义域为D,若存在常数若存在常数T0,使得对任使得对任意的意的xD,有有xTD,且且

30、f(x+T)=f(x),则称则称f为周期函数为周期函数,T称为称为f的周期的周期返回返回上页上页下页下页思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式.1._)(ln31)(2的定义域为的定义域为，则函数，则函数，的定义域为的定义域为、函数、函数xfxf._32复合而成的函数为复合而成的函数为，、由函数、由函数xueyu ._2lnsin4复合而成复合而成由由、函数、函数xy 返回返回上页上页下页下页._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，为为）的

31、定义域）的定义域（，则，则，的定义域为的定义域为、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf是否存在反函数？. 0, 0, 1,)(. 6xxxxxf返回返回上页上页下页下页思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf1.返回返回上页上页下页下页2、,3ee； 3、2xey 4、xvvuuy2,ln,sin kk2,2;1 ,aa .21,-1 ,210时，定义域为当时，定义域为当aaaa 5、-1,1; ;, . 6.不存在反函数不存在反函数.返回返回上页上页下页下页第二节第二节 初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1.

32、 常值函数：常值函数：定义域为定义域为(- ,+ ).函数图形为平行于函数图形为平行于x轴的直线轴的直线. y=C,其中其中C为常数为常数本初等函数以下六类函数统称为基返回返回上页上页下页下页2. 幂函数幂函数:)( 是是常常数数 xy 定义域和值域因定义域和值域因 的取值不同而有所不同，但的取值不同而有所不同，但无论无论 为何值为何值,函数在函数在(0,+)内总是有定义的内总是有定义的.函数的图形下面给出几个常见的幂返回返回上页上页下页下页 其定义域是其定义域是(,+),值域为值域为 图象通过图象通过点点(0,1),且总在且总在x轴上方轴上方.当当a1时时,函数是单调增加的；函数是单调增加的

33、；当当0a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a0,a1).的反函数对数函数是指数函数xay 并且由直接函数与反函数的关系可知：并且由直接函数与反函数的关系可知：返回返回上页上页下页下页科学技术中常用以科学技术中常用以e为底的对数函数为底的对数函数y=logex,它被称为自然对数函数，简记作它被称为自然对数函数，简记作 y=lnx返回返回上页上页下页下页5三角函数三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有正弦函数正弦函数 y=sinx; 余弦函数余弦函数 y= cosx ;正切函数正切函数 y=tanx； 余切函数余切函数 y=cotx;正割函数正割函数y=secx； 余割函数余割函数y

34、=cscx .其中自变量以弧度作单位来表示其中自变量以弧度作单位来表示.2,2内的图形注意：切记其在返回返回上页上页下页下页正弦函数和余弦函数都是以正弦函数和余弦函数都是以2 为周期的周期函数，它们为周期的周期函数，它们的定义域都为的定义域都为(-,+),值域都为值域都为-1,1正弦函数是奇正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数函数，余弦函数是偶函数., 0内的图形注意：切记其在返回返回上页上页下页下页正切函数正切函数 的定义域为的定义域为xxxycossintan,2) 12(,|为整数nnxRxxD,|为整数nnxRxxDxxxysincoscot 余切函数余切函数 的定义域为的定义域为正切函

35、数和余切函数的值域都是正切函数和余切函数的值域都是(,+),且它们都且它们都是以是以 为周期的函数，它们都是为周期的函数，它们都是奇函数奇函数.返回返回上页上页下页下页.)2,2(内的图形注意：切记其在.), 0(内的图形切记其在返回返回上页上页下页下页正割函数正割函数y=secx;余割函数余割函数y=cscx.xxxxsin1csc , cos1sec且返回返回上页上页下页下页6. 反三角函数反三角函数 反三角函数是各三角函数在其反三角函数是各三角函数在其特定的单调区特定的单调区间间上的反函数上的反函数 .(1) 反正弦函数反正弦函数y=arcsinx，它，它是正弦函数是正弦函数y=sinx

36、在区在区间间 上 的 反 函 数 其上 的 反 函 数 其 定 义 域 为定 义 域 为 -1,1值 域值 域为为 ,为为单调增函数单调增函数。,2 2 ,2 2 返回返回上页上页下页下页 (2) 反余弦函数反余弦函数yarccosx，它，它是余弦是余弦函数函数y=cosx在区间在区间0, 上的反函数其定上的反函数其定义域为义域为-1,1,值域为值域为0, .为单调减函数。为单调减函数。. 01arccos,21arcsin) 1arccos(,2) 1arcsin(值：请记住几个特殊的函数返回返回上页上页下页下页(3) 反正切函数反正切函数y=arctanx，它，它是正切函数是正切函数y=t

37、anx在区间在区间 内的反函数其内的反函数其定义域为定义域为(,+),值域为值域为 为单调增函数。为单调增函数。 ,2 2 ,2 2 返回返回上页上页下页下页(4) 反余切函数反余切函数y=arccotx，它，它是余切函数是余切函数y=cotx在区间在区间(0, )内的反函数，其内的反函数，其定义域定义域为为(,+),值域为值域为(0, ).为单调减函数为单调减函数请记住它们的图形：);5)(1 (3);4)(2( 1);4)(2(3);5)(3(2);8)(7)(4)(1 ( 12419Pp作业：返回返回上页上页下页下页二、初等函数二、初等函数 由基本初等函数经由基本初等函数经有限次有限次四

38、则运算和四则运算和有限次有限次复合复合运算所构成的运算所构成的能用一个解析式表示能用一个解析式表示的函数称为初等函的函数称为初等函数，否则称为非初等函数数，否则称为非初等函数.21,)1ln(,2cos211222等都是初等函数例如xxeyeyxxyxy返回返回上页上页下页下页. 0, 1 0, 0 , 0, 1sgnxxxxy，几个常见的分段函数几个常见的分段函数:1. 符号函数符号函数定义域定义域D=(- ,+ )，值域，值域R=-1,0,1.xOy11 。返回返回上页上页下页下页是偶函数是偶函数,周期函数周期函数,任何有理数都是它的周期，但没有最任何有理数都是它的周期，但没有最小正周期小

39、正周期.为无理数为有理数xxxDy, 0, 1)(狄利克雷函数返回返回上页上页下页下页 ,0,0 ,xxxxxy绝对值函数绝对值函数定义域定义域D=(- ,+ )，值域，值域R =0, + ).xOy返回返回上页上页下页下页4 . 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x返回返回上页上页下页下页5 . 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg返回返回上页上页下页下页第三节第三节 经济学中

40、常见的函数经济学中常见的函数一、成本函数一、成本函数固定成本固定成本(FC)：是不取决于产量多少的成本：是不取决于产量多少的成本.可变成本可变成本(VC)：是随产量：是随产量x的增加而增加的成本的增加而增加的成本.),(VCFC)(TC 表示产量表示产量其中其中xxx 总成本总成本(TC) ：由固定成本和可变成本组成：由固定成本和可变成本组成返回返回上页上页下页下页 对应于总成本、固定成本和可变成本，有相应的对应于总成本、固定成本和可变成本，有相应的平平均成本均成本、平均固定成本平均固定成本和和平均可变成本平均可变成本，分别记作，分别记作AC、AFC和和AVC .)(VC)(AVC,)(FC)

41、(AFC,)(TC)(ACxxxxxxxxx返回返回上页上页下页下页二、收益函数二、收益函数收益收益 ：厂商销售商品的收入：厂商销售商品的收入. 收益分为总收益和平均收益收益分为总收益和平均收益总收益总收益(TR) ：是销售量是销售量x与销售单价与销售单价p的乘积的乘积.平均收益平均收益(AR) ：是销售单位商品的收益是销售单位商品的收益xpxTRARTR即即返回返回上页上页下页下页三、三、 利润函数利润函数利润利润是厂商总收益和总成本的差额是厂商总收益和总成本的差额,记作记作L,即即 L(x)=TR(x)-TC(x)当当TR(x)TC(x)时时,厂商盈利；厂商盈利；当当TR(x)TC(x)时

42、时,厂商亏损；厂商亏损；当当TR(x)=TC(x)时时,厂商不赔也不赚，厂商不赔也不赚，当产量当产量x0使得使得TR(x0)=TC(x0),即即L(x0)=0时时,称称x0为盈亏平为盈亏平衡点产量衡点产量 返回返回上页上页下页下页四、四、 需求函数与供给函数需求函数与供给函数 一般降价使需求量增加一般降价使需求量增加,涨价使需求量减少涨价使需求量减少.若不考虑其若不考虑其它影响需求量的因素它影响需求量的因素(如消费者收入等如消费者收入等),可以认为需求量可以认为需求量Qd是价格是价格p的单调减函数的单调减函数,称为称为需求函数需求函数,记为记为Qd=fd(p) 最简单的需求函数是线性需求函数，

43、即最简单的需求函数是线性需求函数，即Qd=a bp，其中其中a,b均为正常数均为正常数 返回返回上页上页下页下页 一般涨价使供给量增加，降价使供给量减少一般涨价使供给量增加，降价使供给量减少.从而可以从而可以认为供给量认为供给量Qs是价格是价格p的单调增函数的单调增函数,称之为称之为供给函数供给函数,记为记为Qs=fs(p) 最简单的供给函数是线性供给函数最简单的供给函数是线性供给函数,即即Qs=dp c,其中其中c与与d均为正的常数均为正的常数.返回返回上页上页下页下页 若市场上某种商品的供给量与需求量相等，则我们若市场上某种商品的供给量与需求量相等，则我们说这种商品的供需达到了平衡此时该商

44、品的价格称为说这种商品的供需达到了平衡此时该商品的价格称为均衡价格均衡价格，常用，常用pe表示表示 注注 在经济学的消费理论中，需求函数一般写成在经济学的消费理论中，需求函数一般写成Qd=fd(p)的形式，它强调的是既定价格之下的需求量，与此相反，的形式，它强调的是既定价格之下的需求量，与此相反，在厂商理论中，厂商所面临的需求函数一般写成反函数在厂商理论中，厂商所面临的需求函数一般写成反函数形式，即形式，即 P=fd -1(Qd)，它强调的是厂商的销售量既定时，它强调的是厂商的销售量既定时产品的单价，有时也称它为价格函数产品的单价，有时也称它为价格函数返回返回上页上页下页下页例例1 某种产品每

45、台售价某种产品每台售价90元，成本元，成本60元，若顾客一次元，若顾客一次购买购买100台以上，则实行降价，降价方法为；当一次性台以上，则实行降价，降价方法为；当一次性购买量购买量x100时，所买的全部产品每台降价时，所买的全部产品每台降价100100 x (元元/台台)，但最低价为，但最低价为75元元/台台(1) 试将每台的实际售价试将每台的实际售价p表示为销售量表示为销售量x的函数的函数(2) 把利润把利润L表示成一次性销售量表示成一次性销售量x的函数的函数(3) 当一次性销售量为当一次性销售量为1000台时，厂家可获多少利润台时，厂家可获多少利润?解解 (1) 由题设，当x100时，实际

46、售价p=90，当x100时，实际售价p=90-(x-100)001返回返回上页上页下页下页而90-(x-100)00175，即x1600，故 当100 x1600时，实际售价 p=90-(x-100)001，当x1600时，实际售价p=75 所以，实际售价p与一次性销售量x的函数关系为90,10090(100) 0.01,100160075,1600 xxx xP= 返回返回上页上页下页下页(2) 因总收入TR(x)= 90 ,10090 ( -100) 0.01 ,1001600751600 x x- xxxx, x总成本TC(x)=60 x，因此总利润函数为L(x)=TR(x)-TC(x)= 30 ,10030 -( -100) 0.01 ,100160015 ,1600 x xxxx xx x返回返回上页上页下页下页 (3) 由(2)可知L(1000)=301000-(1000-100)0011000=21000(元)返回返回上页上页下页下页例例2 某种产品每台售价500元时，每月可销售1500台，每台售价降为450元时，每月可增销250台，试求该产品的线性需求函数解解 设所求函数为由题设有15005001750450abab解得a=4000,b=5,从而所求需求函数为bpaQdpQd54000